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Sur quelques développements en séries

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES. E. C ATALAN Sur quelques développements en séries Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 9 (1870), p. 199-202. <http://www.numdam.org/item?id=NAM_1870_2_9__199_0>. © Nouvelles annales de mathématiques, 1870, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal. php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/.

(2) (. S U QUELQUES DEVELOPPE «ENT S EN SEMES; PAR. M. E . CATALAN.. Soit a,b, a. étant des constantes données. Il résulte, de cette relation : af(bx) — a a'f(b-.r) = ö «"-'ƒ(b«-lx) =: an/(bnx) -f- ««-'. puis (2) f(x)=za»f[bnx)-^x{o(x) + a<?(bx)-h On trouve, par un calcul semblable,. Cela posé, si le produit anf(bnx) tend vers une limite! quand n augmente indéfiniment, on conclut, de l'équation ( 2 ) , J(x)—\. -r- alim[<p(tf)-f. ay (b x) -f-. . .-t-«—•. Ainsi la série <p(or) ~\- av(b.r) A- a2y(b2.r) -f-. . .. est convergente ; et Ton a. (A). <t(. Ùïl.

(3) (. 2OO ). Quand, au contraire, le produit anf(bnx) ne tend vers aucune limite, la série est divergente ou indéterminée.. (£) De même, si le rapport —\-^- a une limite /*,. Les formules (A), (B), probablement connues, permettent de sommer certaines séries (*). Applications. Supposons que l'équation (i) soit : sin x •=. 3 sin \ x — 4 sin3}.»' ;. i°. de manière que f(x)=z. sinx,. y(x) =:sin3\x,. a = 3,. a = — 4>. h. — h-. On a > = lim. 3 n sin ( — j I = .r,. p — hm — ^ — = o ;. et, en conséquence, (C). sin»^ . * I . , I . ,o 3 . .r sin-- H- - sin3j: -h ^sin 3 3.r -f-. . . — T sin -^. o. ^. o2. 4. 3. ou plutôt (D). i i 3 sin3x -h - sin 3 3x -h — sin3 32.r - h . . . — T sin.r. Ó o* 4. (*) Je crois avoir communique à M. Gçrono, il y a quelques mois, formule (A),.

(4) 2O* çosa: = : — 3 COS ^ -f- 4. — cos 3 -». / ( ). cos3. ^î. « = — 3,. a = 4,. ^—3'. Le produit ( — 3 ) n c o s - - croît indéfiniment avec n (en valeur absolue). Ainsi la série cos J ~ — 3 c o s 3 ^ -h 3 2 cos 2 ~ — . . . est divergente. Au contraire, Km. ^- = p = o ; donc, par le chan-. gcment de x en 3 x , (E)7 cos 3 x — - cos33.r-f- —2 cos332x— —3 cos 1 3^-4-... = 3. 3. 3. 7 cosJ?.. 4. Cette formule résout la q u e s t i o n 9 8 7 , proposée par M . Laisant. 3°. cota? = 2 cot2o; -\- tang^r;. /(). û — 2,. a=l,. 6 = 2.. Le produit 2"cot(2 n x) ne tend vers aucune limite; le cot —n 2n. I. rapport • -u - a pour limite - ; donc la formule (B) esl seule applicable. Elle donne (F) tangx H- - tang 4 + -r tang ^ -+-... =. tang 2.x. «U, en particulier, ,«. x. [ C/ ). "ff. l. TT. I. K. f A. tanc — I — tanir —-: -f- -r tang - — h . . . = i ( - — i.

(5) ( 2O2 ). 4°. arc tangx = arc tang ( b x) -h arc tang. •—- • ^ 1 —f- O JT.. Si la constante £, supposée positive, est inférieure à l'unité, cette relation conduit à la formule (. \arc (H M. tang. (\ — b)x. TTT^. I. li—b)bx. + arc tang. 4- arc tang. , - H ^ (i-b)ù>* —-. I ~T~ 0. I. h . . . = arc tango; ;. X. d'où Ton conclut, par exemple, A. (' arc tang ^i -f- arc tang —2. h arc tang •— -f-. . . V. i if. 3. 33. 9. -4- arc tang •. h . . •=. -,. + i 4 Au contraire, b étant plus grand que i, on trouve. f. -+- arc tang. '. — i -f- b\x*. formule qui ne diffère pas de (H). Liège, 23 février 1870.. h.. . = arc cotx,.

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