Solutions optimales des problèmes de recouvrement sous contraintes sur le degré des nœuds

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Solutions optimales des problèmes de recouvrement sous

contraintes sur le degré des nœuds

Massinissa Merabet

To cite this version:

Massinissa Merabet. Solutions optimales des problèmes de recouvrement sous contraintes sur le de-gré des nœuds. Algorithme et structure de données [cs.DS]. Université Montpellier II - Sciences et Techniques du Languedoc, 2014. Français. �NNT : 2014MON20138�. �tel-01684758�

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◆♦✉# 'D#♦❧✈♦♥# ❝❡ ♥♦✉✈❡❛✉ ♣'♦❜❧2♠❡ ◆M✲❞✐✣❝✐❧❡ ❡♥ ✉&✐❧✐#❛♥& ❧❛ #&'✉❝&✉'❡ ❞❡ ❤✐D'❛'❝❤✐❡ ♦♣&✐-✉❡ D❧D♠❡♥&❛✐'❡ ❡& ❧❛ #&'✉❝&✉'❡ ❞❡ ❤✐D'❛'❝❤✐❡ ♦♣&✐-✉❡ #✐♠♣❧❡✳

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Chapitre

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❉❛♥# ❝❡++❡ #❡❝+✐♦♥✱ ♥♦✉# ✐♥+'♦❞✉✐#♦♥# ❧❡# ♥♦+❛+✐♦♥# ♣'1❧✐♠✐♥❛✐'❡# ♥1❝❡##❛✐'❡# A ❧❛ ❜♦♥♥❡ ❝♦♠✲ ♣'1❤❡♥#✐♦♥ ❞❡# ❝❤❛♣✐+'❡# #✉✐✈❛♥+#✳ ◆♦✉# '❛♣♣❡❧♦♥# 1❣❛❧❡♠❡♥+ ❞❡# ❞1✜♥✐+✐♦♥# ✐##✉❡# ❞❡ ❧❛ +❤1♦'✐❡ ❞❡# ❣'❛♣❤❡# ❡+ ♣'1#❡♥+♦♥# 2✉❡❧2✉❡# ❝♦♥❝❡♣+# ❢♦♥❞❛♠❡♥+❛✉① ❞❡ ❧✬♦♣+✐♠✐#❛+✐♦♥ ❝♦♠❜✐♥❛+♦✐'❡ ❡+ ❞❡ ❧✬❛♣♣'♦①✐♠❛+✐♦♥✳ ✶✳✷✳✶ ◆♦%❛%✐♦♥) ❖♥ ♥♦+❡ G = (VG, EG) ✉♥ ❣'❛♣❤❡ ♣♦✉✈❛♥+ G+'❡ ♦'✐❡♥+1 ♦✉ ♥♦♥ ♦'✐❡♥+1✳ ▲✬❡♥#❡♠❜❧❡ VG ❡#+ ✉♥ ❡♥#❡♠❜❧❡ ✜♥✐ ♥♦♥ ✈✐❞❡ ❞✬1❧1♠❡♥+#✱ ❧❡# 1❧1♠❡♥+# ❞❡ VG #♦♥+ ❛♣♣❡❧1# ♦♠♠❡$ ✳ EG ❡#+ ✉♥ ❡♥✲ #❡♠❜❧❡ +❡❧ 2✉❡ EG⊆ VG× VG✱ ❧❡# 1❧1♠❡♥+# ❞❡ EG #♦♥+ ❛♣♣❡❧1# ❛&❝ ✭♥♦+1# e = (u, v)✮ ❞❛♥# ❧❡ ❝❛# ♦'✐❡♥+1 ❡+ ❛&($❡ ✭♥♦+1❡# e = {u, v}✮ ❞❛♥# ❧❡ ❝❛# ♥♦♥✲♦'✐❡♥+1✳ ❖♥ ♥♦+❡ n =| VG |❧❡ ♥♦♠❜'❡ ❞❡ #♦♠♠❡+# ✭❧❛ +❛✐❧❧❡ ❞✉ ❣'❛♣❤❡✮ ❡+ m =| EG|❧❡ ♥♦♠❜'❡ ❞✬❛'G+❡# ❞✉ ❣'❛♣❤❡ G✳ ❙✐ ✉♥❡ ❢♦♥❝+✐♦♥ C : EG → R+∗ ❛##♦❝✐❡ ✉♥ ❝♦K+ CG(e) A ❝❤❛2✉❡ ❛'G+❡ e ∈ EG ❛❧♦'# ❧❡ ❣'❛♣❤❡ G ❡#+ ❞✐+ ❛'G+❡# ♣♦♥❞1'1❡#✳ ❙✐ ✉♥❡ ❢♦♥❝+✐♦♥ C′_{: V} G→ R+∗ ❛##♦❝✐❡ ✉♥ ❝♦K+ CG′ (v) A ❝❤❛2✉❡ #♦♠♠❡+ v ∈ VG ❛❧♦'# ✶✸

❧❡ ❣#❛♣❤❡ ❡'( ❞✐( '♦♠♠❡(' ♣♦♥❞.#.'✳ ❉❡❣#$ ❡% ✈♦✐)✐♥❛❣❡ ❯♥ '♦♠♠❡( v ∈ VG ❡'( ✈♦✐'✐♥ ❞✉ '♦♠♠❡( u ∈ VG ❞❛♥' G '✐ ❧✬❛#4(❡ {v, u} ∈ EG✳ ❖♥ ♥♦(❡ λG(v) ⊆ VG❧✬❡♥'❡♠❜❧❡ ❞❡' ✈♦✐'✐♥' ❞❡ v ❞❛♥' G✳ ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ❞❡❣#. ❞✬✉♥ '♦♠✲ ♠❡( v ❧❡ ❝❛#❞✐❛❧ ❞❡ ❧✬❡♥'❡♠❜❧❡ ❞❡ '❡' ✈♦✐'✐♥' ❡( ❧❡ ♥♦(❡ dG(v) = |λG(v)|✳ 9❧✉' ❣.♥.#❛❧❡♠❡♥(✱ '♦✐( ✉♥ ❡♥'❡♠❜❧❡ ❞❡ '♦♠♠❡(' X ⊆ VG✱ dG(X) = P v∈X dG(v)✳ ❖♥ ♥♦(❡ ∆(G) = max{dG(v) \ v ∈ VG} ❧❡ ♣❧✉' ❣#❛♥❞ ❞❡❣#. ❞❛♥' G ❡( ♣❛# δ(G) = min{dG(v) \ v ∈ VG} ❧❡ ♣❧✉' ♣❡(✐( ❞❡❣#. ❞❛♥' G✳ ❖♥ ♥♦(❡ Vd(G) ❧✬❡♥'❡♠❜❧❡ ❞❡' '♦♠♠❡(' ❞❡ ❞❡❣#. d ❞❛♥' G✳ ❯♥ ❣#❛♣❤❡ G ❡'( d✲regulier '✐ (♦✉' ❧❡' '♦♠♠❡(' ❞❡ G ♦♥( ✉♥ ❞❡❣#. .❣❛❧ ; d ✭Vd(G) = V (G))✳ ❯♥ ❣#❛♣❤❡ 3✲regulier ❡'( ❛✉''✐ ❛♣♣❡❧. ❣#❛♣❤❡ ❝✉❜✐1✉❡✳ ❙✐ dG(v) = 1 ❛❧♦#' ❧❡ '♦♠♠❡( v ❡'( ❛♣♣❡❧. ❢❡✉✐❧❧❡ ❡( '✐ ❝❡ '♦♠♠❡( ❛ ✉♥ ❞❡❣#. dG(v) > 1❛❧♦#' ✐❧ ❡'( ❞✐( )♦♠♠❡% ✐♥%❡#♥❡✳ ❖♥ ♥♦(❡ F(G) ❧✬❡♥'❡♠❜❧❡ ❞❡' ❢❡✉✐❧❧❡' ❞❡ G ❡( IN(G) ❧✬❡♥'❡♠❜❧❡ ❞❡' '♦♠♠❡(' ✐♥(❡#♥❡'✳ ❖♥ ❛ ♣❛# ❞.✜♥✐(✐♦♥ F (G) ∪ IN(G) = VG✳ ❖♥ ♥♦(❡ L(G) = |F (G)| ❈❤❡♠✐♥) ❡% ♣❛#❝♦✉#) ❯♥ ❝❤❡♠✐♥ ❞❡ u ; v ❞❛♥' G✱ ♥♦(. CHG(u, v)✱ ❡'( ✉♥❡ '.@✉❡♥❝❡ ❞❡ '♦♠♠❡(' < v0, ...., vk > ❛✈❡❝ v0 = u ❡( vk = v ❡( (❡❧❧❡ @✉❡ ∀i, 0 ≤ i < k✱ {vi, vi+1} ∈ EG✳ ▲❡ ❝❤❡♠✐♥ CHG(u, v) =< v0, ..., vk > ❡'( ❞✐( ❞❡ ❧♦♥❣✉❡✉# k − 1✳ ▲❡' '♦♠♠❡(' u ❡( v '♦♥( ❧❡' ❡①%#$♠✐%$) ❞❡ CHG(u, v)✳ ❖♥ ♥♦(❡ ♣❛# ℓ(G) ❧❛ ❧♦♥❣✉❡✉# ❞✉ ❝❤❡♠✐♥ ❧❡ ♣❧✉' ❧♦♥❣ ❞❛♥' G✳ ❯♥ ❝❤❡♠✐♥ ❡'( .❧.♠❡♥(❛✐#❡ '✐ ❝❤❛❝✉♥ ❞❡' '♦♠♠❡(' ❞❡ ❧❛ '.@✉❡♥❝❡ ❧❡ ❝♦♠♣♦'❛♥( ② ❡'( ♣#.'❡♥( ✉♥❡ '❡✉❧❡ ❢♦✐'✱ ✐❧ ❡'( ♥♦♥✲.❧.♠❡♥(❛✐#❡ '✐♥♦♥✳ ❯♥ ❝❤❡♠✐♥ ❡'( ❞✐( ❤❛♠✐❧%♦♥✐❡♥ '✬✐❧ ❝♦♥(✐❡♥( (♦✉' ❧❡' '♦♠♠❡(' ❞✉ ❣#❛♣❤❡ ❡( @✉✬✐❧ ❡'( .❧.♠❡♥(❛✐#❡✳ ❯♥ ❣#❛♣❤❡ ❝♦♥(❡♥❛♥( ✉♥ ❝❤❡♠✐♥ ❤❛♠✐❧(♦♥✐❡♥ ❡'( ❛♣♣❡❧. ❣#❛♣❤❡ ❤❛♠✐❧(♦♥✐❡♥✳ ❯♥ ♣❛#❝♦✉#' P(G) ❞✬✉♥ ❣#❛♣❤❡ G ❡'( ✉♥ ❝❤❡♠✐♥ @✉✐ ❝♦♥(✐❡♥( (♦✉' ❧❡' '♦♠♠❡(' ❞✉ ❣#❛♣❤❡ ✉♥❡ ♦✉ ♣❧✉'✐❡✉#' ❢♦✐' ❡( @✉✐ ♣❡✉( ♣❛''❡# ♣❧✉'✐❡✉#' ❢♦✐' ♣❛# ❝❤❛@✉❡ ❛#4(❡✳ ❙✐ ✉♥ ♣❛#❝♦✉#' ♣❛''❡ ❛✉ ♣❧✉' ✉♥❡ ❢♦✐' ♣❛# ❝❤❛@✉❡ ❛#4(❡ ❛❧♦#' ✐❧ ❡'( .❧.♠❡♥(❛✐#❡✳ ❙✐✱ ♣❛# ❝♦♥(#❡✱ ✐❧ ♣❛''❡ ♣❧✉' ❞✬✉♥❡ ❢♦✐' ♣❛# ❝❤❛❝✉♥❡ ❞❡' ❛#4(❡' ❞❡ G ❛❧♦#' ✐❧ ❡'( ❞✐( ♥♦♥✲.❧.♠❡♥(❛✐#❡✳ ❙✬✐❧ ♣❛''❡ ✉♥❡ ❡( ✉♥❡ '❡✉❧❡ ❢♦✐' ♣❛# ❝❤❛@✉❡ ❛#4(❡ ❞❡ G✱ ❧❡ ♣❛#❝♦✉#) ❡)% ❞✐% ❡✉❧$#✐❡♥✳ ❯♥ ❣#❛♣❤❡ ❛②❛♥( ✉♥ (❡❧ ♣❛#❝♦✉#' ❡'( ✉♥ ❣#❛♣❤❡ ❡✉❧$#✐❡♥✳ ❯♥ ❣#❛♣❤❡ ❡'( ❝♦♥♥❡①❡ '✬✐❧ ❡①✐'(❡ ✉♥ ❝❤❡♠✐♥ ❡♥(#❡ ❝❤❛@✉❡ ♣❛✐#❡ ❞❡ '❡' '♦♠♠❡('✳ ❈②❝❧❡) ❯♥ ❝②❝❧❡ ❞❛♥' G ❡'( ✉♥ ❝❤❡♠✐♥ CHG(u, v)(❡❧ @✉❡ v = u✳ ❙✐ ✉♥ ❝②❝❧❡ ❝♦♥(✐❡♥( (♦✉' ❧❡' '♦♠♠❡(' ❞✉ ❣#❛♣❤❡✱ ❛❧♦#' ❝❡ ❝②❝❧❡ ❡'( ❞✐( ❤❛♠✐❧(♦♥✐❡♥✳ ❯♥ ❣#❛♣❤❡ '❛♥' ❝②❝❧❡ ❡'( ❞✐( ❛❝②❝❧✐@✉❡✳ ❙♦✉)✲❣#❛♣❤❡) ❯♥ '♦✉' ❣#❛♣❤❡ G′ _{❞❡ G ❡'( ✉♥ ❣#❛♣❤❡ (❡❧ @✉❡ V} G′ ⊆ V_G ❡( E_G′ ⊆ E_G✳ ❙✐ VG′ ⊂ V_G ❡( E_G′ = {{u, v} ∈ E_G | u ∈ V_G′ et v ∈ V_G′} ❛❧♦#' G′ ❡'( ✉♥ )♦✉)✲❣#❛♣❤❡ ✐♥❞✉✐% ❞❡ G✳ ❆#❜#❡) ❯♥ ❛#❜#❡ T = (VT, ET) ❡'( ✉♥ ❣#❛♣❤❡ ❝♦♥♥❡①❡ ❛❝②❝❧✐@✉❡✳ ❙✐ VT = VG ❡( ET ⊆ EG ❛❧♦#' T ❡'( ❞✐( ❛#❜#❡ ❞❡ #❡❝♦✉✈#❡♠❡♥% ❞❡ G✳ ✶✹