Second degré

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Exercices corrigés – Révisions – Thème : Second degré

D(x) = -3

1_{x² - 4 x - 12}

1. Calculez le discriminant de D(x)

2. Déterminez les racines éventuelles de D(x).

3. Donnez le tableau de signes de D puis l’ensemble S des solutions de D(x) ≥ 0 . 4. Donnez l’allure de la courbe représentative de D.

L’équation de CD est ……… CD est tournée vers le ………

CD coupe (Ox) ………

CD coupe (Oy) ………

Exercice 2 :

Déterminer les solutions réelles des équations suivantes :

1) -x² + 6x -10 = 0 2) x² + 4x - 21 = 0 3) 9x² + 6x + 1 = 0 4) 3x² = 2x + 1 5) 5x² + 5x = -2

Exercice 3 :

Je possède un terrain rectangulaire de 20m de long et x m de large. J’achète une parcelle carrée de x m de côté, mitoyenne à mon terrain.

1. Exprimer l’aire totale du terrain en fonction de x.

2. L’aire totale de mon terrain étant de 525 m², déterminer la valeur de x en résolvant une équation du 2nd degré.

Exercice 4 :

1°) Factoriser le polynômeP(x)=5x3 −10x²+5xà l’aide d’un facteur commun. 2°) Résoudre l’équationx²−2x+1=0

3°) Résoudre l’équationP(x)=0, en vous aidant des questions précédentes.

Exercice 5 :

a = b = c =

2

Résoudre l’inéquation ci-dessous algébriquement. Puis vérifier graphiquement à l’aide de votre calculatrice graphique. 9 7 ² 3 7 2 ²− x+ ≥ x − x+ x

Exercice 6 : Résoudre cette inéquation algébriquement−x²+5x−3< x²+2x−2

Exercice 7 :

1°) Factoriser le polynômeP(x)=−6x3 +10x²+4xà l’aide d’un facteur commun. 2°) Résoudre l’équation−3x²+5x+2=0

3°) Résoudre l’équationP(x)=0, en vous aidant des questions précédentes.

Exercice 8 : Etudier le signe du trinômex²−6x+5sur IR.

Exercice 9 :

Etudier le signe du polynôme −2x²+3x−1.

Exercice 10 :

Résoudre l’équation−3x²+5x+2=0

Exercice 11 :

3

CORRECTION

2. ∆=0donc le trinôme a une racine : 6 3 1 2 ) 4 ( 0 =−      − × − − = x 3. Tableau de signes : x −∞ -6 +∞ D(x) 0 3 1_< − = a - 0 - 4. L’équation de CD est y = -3

1_{x² - 4 x – 12, c’est une parabole.} CD est tournée vers le bas.

CD coupe (Ox) en -6. CD coupe (Oy) en -12. Exercice 2 : 1) a=−1 b=6 c=−10 4 40 36 ) 10 ( ) 1 ( 4 ² 6 − × − × − = − =− = ∆ 0 <

∆ donc il n’y a pas de solution. 2)a=1 b=4 c=−21 100 84 16 ) 21 ( 1 4 ² 4 − × × − = + = = ∆ 0 >

∆ donc il y a deux solutions :

3 2 6 2 10 4 1 2 100 4 7 2 14 2 10 4 1 2 100 4 2 1 = = + − = × + − = − = − = − − = × − − = x x 3)a=9 b=6 c=1 36 36 1 9 4 ² 6 − × × = − = ∆ 0 =

4 3 1 18 6 9 2 6 0 − = − = × − = x 4) 3x² = 2x + 1 3x² - 2x – 1 = 0 1 2 3 =− =− = b c a 16 12 4 ) 1 ( 3 4 )² 2 (− − × × − = + = = ∆ 0 >

∆ donc il y a deux solutions :

1 6 6 6 4 2 3 2 16 ) 2 ( 3 1 6 2 6 4 2 3 2 16 ) 2 ( 2 1 = = + = × + − − = − = − = − = × − − − = x x 5) 5x² + 5x = -2 5x² + 5x +2=0 2 5 5 = = = b c a 15 40 25 2 5 4 ² 5 − × × = − =− = ∆ 0 <

∆ donc il n’y a pas de solution.

Exercice 3 :

1. A_rectangle =longueur×largeur A_carre =cote×cote DoncA=20x+x² 2. A=20x+x²etA=525donc20x+x²=525 20x+x²−525=0 525 20 1 = =− = b c a 2500 2100 400 ) 525 ( 1 4 ² 20 − × × − = + = = ∆ 0 >

∆ donc il y a deux solutions :

15 2 30 2 50 20 1 2 2500 20 35 2 70 2 50 20 1 2 2500 20 2 1 = = + − = × + − = − = − = − − = × − − = x x

5 Exercice 4 : 1°) P(x)=5x(x²−2x+1) 2°) a=1 b=−2 c=1 0 4 4 1 1 4 )² 2 ( = − = × × − − = ∆ 0 =

∆ donc il y a une racine :

1 2 2 1 2 ) 2 ( 0 = = × − − = x 3°) P(x)=0 5x(x²−2x+1)=0

Un produit de facteurs est nul ssi au moins l’un des facteurs est nul : 0 5x= 0 5 0 ₌ = x oux²−2x+1=0 Donc les solutions sont 0 et 1.

Exercice 5 : 9 7 ² 3 7 2 ²− x+ ≥ x − x+ x x²−2x+7−3x²+7x−9≥0 −2x²+5x−2≥0 9 16 25 ) 2 ( ) 2 ( 4 ² 5 2 5 2 = − = − × − × − = ∆ − = = − = b c a 0 >

∆ donc il y a deux solutions :

2 1 4 2 4 3 5 ) 2 ( 2 9 5 2 4 8 4 3 5 ) 2 ( 2 9 5 ₂ 1 = − − = − + − = − × + − = = − − = − − − = − × − − = x x x −∞ 0.5 2 +∞ Signe de 2 5 ² 2 + − − x x - 0 + 0 -

6 0 2< − = a Exercice 6 : Résoudre l’inéquation−x²+5x−3<x²+2x−2 0 2 2 ² 3 5 ²+ − − − + < −x x x x −2x²+3x−1<0 1 8 9 ) 1 ( ) 2 ( 4 )² 3 ( − × − × − = − = = ∆ 0 >

∆ donc il y a deux racines :

2 1 4 1 3 ) 2 ( 2 1 3 1 = − + − = − × + − = x et 1 4 1 3 ) 2 ( 2 1 3 2 = − − − = − × − − = x

On en déduit le tableau de signes :

x −∞ 2 1 1 +∞ 1 3 ² 2 + − − x x 0 2< − = a - 0 + 0 - 0 1 3 ² 2 + − < − x x ∈_−∞ _∪

] [

∆ donc il y a deux racines :

3 1 6 7 5 ) 3 ( 2 49 5 1 ₋ =− + − = − × + − = x et 2 6 7 5 ) 3 ( 2 49 5 2 ₋ = − − = − × − − = x       − = ;2 3 1 S 3°) Résoudre l’équationP(x)=0 : D’après 1°) P(x)=0 2x(−3x²+5x+2)=0

Un produit de facteurs est nul ssi au moins l’un des facteurs est nul : 0 ) 2 5 ² 3 ( 2x − x + x+ = 2x=0ou−3x²+5x+2=0 x=0ou 3 1 − = x oux=2d’après 3°).       − = ;0;2 3 1 S Exercice 8 : 16 20 36 5 1 4 )² 6 (− − × × = − = = ∆ 0 >

∆ donc il y a deux racines : 5 2 4 6 1 2 6 1 ) 6 ( 1 = + = × + − − = x et 1 2 4 6 1 2 6 1 ) 6 ( 2 = − = × − − − = x

7 On en déduit le tableau de signes :

x −∞ 1 5 +∞ 5 6 ²− x+ x 0 1> = a + 0 - 0 + Exercice 9 : 1 8 9 ) 1 ( ) 2 ( 4 )² 3 ( − × − × − = − = = ∆ 0 >

∆ donc il y a deux racines :

2 1 4 1 3 ) 2 ( 2 1 3 1 ₋ = + − = − × + − = x et 1 4 1 3 ) 2 ( 2 1 3 2 ₋ = − − = − × − − = x

On en déduit le tableau de signes :

x −∞ 2 1 1 +∞ 1 3 ² 2 + − − x x 0 2< − = a - 0 + 0 - Exercice 10 : 49 24 25 2 ) 3 ( 4 )² 5 ( − × − × = + = = ∆ 0 >

∆ donc il y a deux racines :

3 1 6 7 5 ) 3 ( 2 49 5 1 ₋ =− + − = − × + − = x et 2 6 7 5 ) 3 ( 2 49 5 2 ₋ = − − = − × − − = x       − = ;2 3 1 S Exercice 11 : 16 20 36 5 1 4 )² 6 (− − × × = − = = ∆ 0 >

∆ donc il y a deux racines :

5 2 4 6 1 2 16 ) 6 ( 1 = + = × + − − = x et 1 2 4 6 1 2 16 ) 6 ( 2 = − = × − − − = x On en déduit le tableau de signes :

x −∞ 1 5 +∞ P(x) 0 1> = a + 0 - 0 +