0 = 0, c'est le truc du noyau ! Application aux files d'attente

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0 = 0, c’est le truc du noyau ! Application aux files

d’attente

Anne Bouillard, Céline Comte, Élie de Panafieu, Fabien Mathieu

To cite this version:

Anne Bouillard, Céline Comte, Élie de Panafieu, Fabien Mathieu. 0 = 0, c’est le truc du noyau !

Application aux files d’attente. ALGOTEL 2019 - 21èmes Rencontres Francophones sur les Aspects

Algorithmiques des Télécommunications, Jun 2019, Saint Laurent de la Cabrerisse, France.

�hal-02118156�

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Application aux files d’attente

Anne Bouillard

1 et C´eline Comte

12 et ´

Elie de Panafieu

1 et Fabien Mathieu

1 †

1_{Nokia Bell Labs France, Nozay, France} 2_{T´el´ecom ParisTech, Paris, France}

Le calcul réseau stochastique est un outil de calcul de bornes d’erreur sur la performance des réseaux de files d’attente. Obtenir des bornes précises pour des réseaux constitués de plusieurs files ou soumis à des arrivées non-indépendantes est un exercice délicat. Dans ce papier, nous évaluons la pertinence des outils de combinatoire analytique pour aborder ce problème. Nous appliquons en particulier la méthode du noyau pour exprimer les fonctions génératrices des distributions des états des files, ce qui nous permet de calculer des bornes d’erreur d’une précision arbitraire sur le comportement à l’état stationnaire. Dans ce travail préliminaire, nous nous focalisons sur des exemples simples mais représentatifs des difficultés que la méthode du noyau permet de surmonter. Ces résultats sont validés par des simulations.

Cet article est une version condens´ee de l’article [BCdPM18].

Mots-clefs : files d’attente, combinatoire analytique, m´ethode du noyau, calcul r´eseau stochastique

1 Introduction

Le développement des nouvelles technologies de communication sans fil (5G) a jeté un nouvel éclairage sur la théorie des files d’attente, avec de fortes exigences en termes d’occupation du tampon, de latence et de fiabilité. Dans beaucoup de scénarios, les paquets arrivent groupés et sont traités par un serveur à taux constant. La file G/D/1 apparaˆıt donc comme un modèle naturel. Le calcul réseau stochastique [FR15] a été développé pour analyser de telles files, et en particulier pour calculer des bornes d’erreur sur leur performance en intégrant des outils probabilistes dans le formalisme du calcul réseau. Malheureusement, si les bornes sont très précises pour une file isolée [PC14, CP15], elles deviennent très grossières lorsqu’elles sont appliquées à un réseau de plusieurs files [CBL06, NS17]. Les fonctions génératrices, elles, sont au cœur de la combinatoire analytique [FS09], un sous-domaine de la combinatoire. Cette communauté a développé des outils mathématiques tels que la méthode du noyau [BF02, BMM10] pour étudier les marches aléatoires [FG00], dont les liens avec la théorie des files d’attente ont déjà été identifiés et exploités [FIM17]. Dans cet article, nous montrons comment utiliser les séries génératrices et la méthode du noyau pour obtenir des bornes d’erreur précises sur les systèmes de files d’attente.

2 Pr ´esentation de la m ´ethode sur une file simple

Dans cette partie, nous présentons l’exemple d’une file à un serveur et un flot de paquets, comme représentée en FIGURE1. Les résultats présentés ici ne sont pas nouveaux (nous finissons par redécouvrir la formule de Pollaczek-Khinchine et appliquons les résultats développés par [BF02]) mais notre objectif est de présenter la méthode. Des résultats nouveaux seront présentés dans la partie 3.

Modèle de file d’attente La file est initialement vide. À chaque unité de temps t ≥ 1, un paquet est servi (si la file est non-vide) puis At paquets arrivent. La suite (At)t≥0est i.i.d. de fonction génératrice A et de

moyenne λ < 1. On note Xt le nombre de paquets dans la file à la fin du temps t. L’évolution du système

est d´ecrite par les ´equations suivantes :

X0= 0 et Xt+1= (Xt− 1)++ At+1, ∀t ≥ 0, o`u (·)+= max(·, 0). (1) †_{Les auteurs sont membres du LINCS, voir https://www.lincs.fr.}

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Anne Bouillard et C´eline Comte et ´Elie de Panafieu et Fabien Mathieu

Xt∼ Φ

At∼ A

1

FIGURE1: Une file à un serveur traversée par un unique flot de paquets. Le traitement d’un paquet par le serveur nécessite une unité de temps.

Méthode symbolique On définit la fonction génératrice [FS09] de l’état de la file par Φ(u, z) =

_∑

n≥0t≥0

∑

P(Xt= n)unzt. (2)

Pour chaque t ∈ N, extraire le coefficient de zt_{donne la fonction génératrice de la variable aléatoire X} t :

zt

Φ(u, z) =

_∑

n≥0

P(Xt= n)un. (3)

En utilisant la méthode symbolique [FS09], on peut traduire l’équation (1) en l’équation suivante vérifiée par la fonction génératrice Φ :

Φ(u, z) = 1 + zA(u)(Φ(u, z) − Φ(0, z))u−1_{+ Φ(0, z) .} ₍₄₎

Bien que cette équation caractérise complètement la fonction Φ, en tirer une formule explicite pour Φ(u, z) n’est pas immédiat puisque cela nécessiterait de connaˆıtre une expression pour Φ(0, z). Nous présentons maintenant une méthode systématique pour contourner ce problème.

Méthode du noyau L’équation (4) peut se ré-arranger en

Φ(u, z)1 − zA(u)u−1 = 1 − Φ(0, z)zA(u) u−1− 1 . (5) Lorsque le membre de gauche de (5) s’annule, le membre de droite s’annule aussi : 0 = 0. La méthode du noyau [BF02, BMM10] exploite cette remarque simple en choisissant u = U (z) tel que le second facteur du membre de gauche s’annule. Ici, U (z) est implicitement défini par l’égalité U (z) = zA(U (z)), qui se trouve aussi être l’équation qui caractérise la fonction génératrice TA du nombre de nœuds dans un arbre

de Galton-Watson dont la distribution du nombre d’enfants par nœud admet A comme fonction g´en´eratrice. L’annulation du membre de droite de (5) permet de calculer Φ(0, z) en fonction de U (z) = TA(z), puis de

trouver Φ(u, z). On obtient ainsi

Φ(0, z) = 1 1 − TA(z) et Φ(u, z) = 1 +_1−T1 A(z)zA(u) 1 − u −1 1 − zA(u)u−1 . (6) Performances asymptotiques Nous souhaitons calculer des bornes d’erreur, c’est-à-dire la probabilité qu’une variable aléatoire X, distribuée selon la distributon stationnaire de la chaˆıne de Markov (Xt)t≥1,

dépasse une valeur R. On calcule d’abord la fonction génératrice Π de la distribution stationnaire, puis on obtient le comportement asymptotique de la borne d’erreur à partir de Π.

La fonction génératrice Π(u) est la limite de [zt]Φ(u, z) quand t tend vers +∞, et cette limite se calcule en étudiant Φ(u, z) au voisinage de z = 1. En effet, on vérifie aisément que z = 1 est la singularité dominante de Φ(u, z). En utilisant le développement TA(z) = 1 + (z − 1)TA0(1) + o(z − 1), l’égalité T

0

A(1)(1 − E[At]) = 1

et le r´esultat de [FS09, p. 294, Th. V.1], on retrouve la formule de Pollaczek-Khinchine Π(u) = (1 − λ)A(u)(u − 1)

u− A(u) . La fonction g´en´eratrice de la borne d’erreur est

E(u) =

_∑

R≥0

∑

n≥R π(n) uR=1 − uΠ(u) 1 − u . (7)

(4)

L’analyse asymptotique de cette fonction est obtenue au voisinage de sa singularité dominante, qui est celle de Π, à savoir le plus grand point fixe de u = A(u), noté β. Elle permet de trouver le comportement limite :

P(X ≥ R) ∼ R→∞(1 − λ) β A0_{(β) − 1}β −R_. ₍₈₎

3 Extensions

Nous listons ici quelques extensions obtenues dans [BCdPM18], sans d´etailler les calculs.

File multi-flots On considère une file d’attente avec deux flots de paquets. Le flot 1 (resp. 2) est prioritaire (resp. non prioritaire) et son processus d’arrivée est décrit par la fonction génératrice A (resp. B) de moyenne λA(resp. λB), avec λA+ λB< 1. Le nombre de paquets du flot 1 (resp. 2) à la fin du temps t est noté Xt

(resp. Yt). Initialement, on a X0= Y0= 0. La dynamique du système est ensuite décrite par l’équation (9).

Xt, Yt∼ Φ At∼ A Bt∼ B 1 ( Xt+1= (Xt− 1)++ At+1, Yt+1= (Yt− 1{Xt=0})++ Bt+1, ∀t ≥ 0. (9)

Soit δ la plus grande solution de l’´equation v = TA(B(v)) (TAet B ´etant convexes, il y a exactement deux

solutions, dont la plus petite est 1). En effectuant le même raisonnement que précédemment, on obtient :

P(Y ≥ R) ∼

R→∞

(1 − λA− λB)B(δ)(δ − 1)

(1 − B(δ))(1 − (TA◦ B)0(δ))

δ−R. (10)

Files en tandem On considère un système de deux files d’attentes avec deux flots de paquets, comme décrit par la figure ci-dessous. Le processus d’arrivée du flot 1 (resp. 2) est décrit par la fonction génératrice A(resp. B). Le nombre de paquets dans la file 1 (resp. 2) à la fin du temps t est Xt(resp. Yt). Initialement,

on a X0= Y0= 0. La dynamique du système est ensuite décrite par l’équation (11) pour tout t ≥ 0.

Xt∼ Φ 1 Yt∼ Φ 1 At∼ A Bt∼ B Xt+1 = (Xt− 1)++ At+1, Yt+1 = (Yt− 1)++ Bt+1+ 1{Xt>0}. (11)

En notant `a nouveau δ la plus grande solution de l’´equation v = TA(B(v)), on obtient :

P(Y ≥ R) ∼

R→∞

(1 − λA− λB)δ(δ − 1)

(1 − B(δ))(1 − (TA◦ B)0(δ))

δ−R. (12)

4 R ´esultats num ´eriques

Pour valider notre approche, nous comparons les résultats obtenus à des approximations plus simples ainsi qu’à des simulations pour les trois scénarios présentés : la file simple, la file multi-flots, et les deux files en tandem. Les simulations sont obtenues en calculant la distribution stationnaire par itérations successives sur une ou deux file(s) tronquées G/D/1/L en utilisant les équations (1), (9) ou (11). La FIGURE2 montre un aperçu les résultats, en utilisant comme processus d’arrivée des distributions bimodales, de fonction génératrice Dp,M(u) = (1 − p) + puM. On prend A = D2/30,6et B = D2/5,1.

La FIGURE2a illustre le cas de la file simple. La courbe β1−Rest celle qui serait obtenue avec l’inégalité de Doob [PC14]. La simulation confirme que nous calculons bien le comportement asymptotique, et montre que nous améliorons l’inégalité de Doob d’un facteur 1.5. Le comportement irrégulier pour de petites va-leurs de R est dû aux arrivées par groupes de 6 paquets. Il est possible d’obtenir l’erreur exacte à partir de l’équation (7) en développant les premiers termes de [uR]E(u) =_R!1 dR

(du)RE(u)

_u=0.

La FIGURE2b illustre le cas d’une file multi-flots, avec deux flots. Le flot 1 est prioritaire et on s’intéresse à l’occupation de la file pour le flot 2. Ici aussi, nos résultats sont validés par les simulations. Il n’y a pas

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Anne Bouillard et C´eline Comte et ´Elie de Panafieu et Fabien Mathieu 0 5 10 15 10−2 10−1 100 Occupation R de la file P (X ≥ R ) β1−R Eq. (8) Sim.

(a) File simple

0 20 40 60 80 10−3 10−2 10−1 100 Occupation R de la file δ−R Eq. (10) Sim.

(b) Deux flots avec priorit´es

0 20 40 60 80 10−3 10−2 10−1 100 Occupation R de la file δ−R Eq. (12) Sim. (c) Deux files

FIGURE2: Evaluation num´erique. Param`etres A = D_2/30,6et B = D_2/5,1.

d’inégalité de Doob à laquelle nous comparer, mais nous traçons la courbe δ−Rpour nous rendre compte de ce qu’aurait donné une inégalité qui, comme Doob, ne tient pas compte du terme constant.

Enfin, la FIGURE 2c illustre le cas de deux files en tandem et montre l’occupation du tampon dans la seconde file. Les bornes d’erreur ne diffèrent que d’un facteur constant par rapport au cas précédent. Il apparaˆıt que le comportement asymptotique calculé dans ces deux cas, bien qu’exact, soit une borne inférieure de la borne d’erreur. Pour encore plus de précision, les formules que nous obtenons permettent de calculer des bornes d’erreur exactes des premiers termes en utilisant les développements de Taylor.

R ´ef ´erences

[BCdPM18] Anne Bouillard, C´eline Comte, Elie de Panafieu, and Fabien Mathieu. Of kernels and queues : When network calculus meets analytic combinatorics. In 30th International Tele-traffic Congress, ITC 2018, Vienna - Volume 2, pages 49–54, 2018.

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[FS09] Philippe Flajolet and Robert Sedgewick. Analytic Combinatorics. Cambridge University Press, 1 edition, 2009.

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[PC14] Felix Poloczek and Florin Ciucu. Scheduling analysis with martingales. Perform. Eval., 79 :56–72, 2014.