Les systèmes complets de fonctions de demande

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Les systèmes complets de fonctions de demande

Marie-Claude Pichery

To cite this version:

Marie-Claude Pichery. Les systèmes complets de fonctions de demande. [Rapport de recherche] Institut de mathématiques économiques (IME). 1977, 62 p., tableaux, bibliographie. �hal-01527304�

EQUIPE DE RECHERCHE ASSOCIEE AU C.N.R.S.

DOCUMENT DE TRAVAIL

INSTITUT DE MATHEMATIQUES ECONOMIQUES

UNIVERSITE DE DIJON

FACULTE DE SCIENCE ECON OMIQUE ET DE GESTION

Les systèmes complets de fonctions de demande.

Marie-Claude PICHERY Avril 1977

Le but de cette collection est de diffuser rapidement une première version de travaux afin de provoquer des discussions scientifiques. Les lecteurs désirant entrer en rapport avec un auteur sont priés d'écrire à l'adresse suivante :

INSTITUT DE MATHEMATIQUES ECONOMIQUES 4, Bd Gabriel - 21000 DIJON - France

TRAVAUX déjà PUBLIES.

N°1 Michel PREVOT: Théorème du point fixe. Une étude topologique générale (juin 1974)

N°2 Daniel LEBLANC: L'introduction des consommations intermédiaires dans le modèle de LEFEBER (juin 1974)

N°3 Colette BOUNON: Spatial Equilibrium of the Sector in Quasi-Perfect Competition (September 1974)

N°4 Claude PONSARD: L ’imprécision et son traitement en analyse économique (septembre 1974)

N°5 Claude PONSARD: Economie urbaine et espaces métriques (septembre 1974) N°6 Michel PREVOT: Convexité (mars 1975)

N°7 Claude PONSARD: Contribution à une théorie des espaces économiques imprécis (avril 1975)

N°8 Aimé VOGT: Analyse factorielle en composantes principales d'un caractère de dimension-n (juin 1975)

N°9 Jacques THISSE et Jacky PERREUR: Relation between the Point of Maximum Profit and the Point of Minimum Total Transportation Cost: A Restatement (juillet 1975)

N°10 Bernard FUSTIER: L'attraction des points de vente dans des espaces précis et imprécis (juillet 1975)

N°ll Regis DELOCHE: Théorie des sous-ensembles flous et classification en analyse économique spatiale (juillet 1975)

N°12 G.LASSIBILLE et C.PARRON: Analyse multicritère dans un contexte imprécis (juillet 1975)

N°13 Claude PONSARD: On the Axiomatization of Fuzzy Subsets Theory (july 1975)

N°14 Michel PREVOT: Probability Calculation and Fuzzy Subsets Theory (August 1975)

^°15 Claude PONSARD: Hiérarchie des places centrales et Graphes -flous (avril 1976)

N°16 Jean-Pierre AURAY et Gérard DURU: Introduction à la théorie des espaces multiflous (avril 1976)

w°17 Roland LANTNER, Bernard PETITJEAN et Marie-Claude PICHERY: SICI

N°18 Claude PONSARD: Esquisse de simulation d'une économie régionale : l'apport de la théorie des systèmes flous.

1

-Introduction

1 - L'analyse du comportement du consommateur 11 - Les fondements de l'analyse

111 - Les préférences et l'utilité

112 - Les propriétés des fonctions de demande 12 - Quelques problèmes propres aux modël<?s dynamiques

121 - La continuité des relations et la substitution des biens.

122 - Les ajustements de longue période

2 - Les estimations des fonctions de demanda 21 - L'origine du modèle

211 - L'estimation à partir des fonctions de demande 212 - L'estimation à partir de la fonction d'utilité 22 - Quelques résultats empiriques

221 - Le modèle de Rotterdam

222 - Le système linéaire de dépenses dynamiqv ;

Conclusion

2

-Depuis une dizaine d'années, des analyses des systèmes complets de fonctions de demande ont été entreprises et développées, en particulier en Belgique, aux Etats-Unis et en Suisse. Les principaux travaux sont dus à A.P. BARTErt, H.S. HOUTHAKKER, L. PHLIPS, L. SOLARI, R. STONE, L.D. TAYLOR, D. WEISERbS.... Une bibliographie de ces études figure à la fin de ce document.

Le fait qu'en France il n'existe actuellement que peu de travaux effec­ tués â un niveau global, m'ont incitée à entreprendre une analyse théorique et pratique sur les systèmes complets de fonctions de demande, systèmes qui regrou­ pent l'ensemble des consommations des ménages, à l'exception des biens collectifs et publics.

* * r

Pour mener à bien cette étude, il s'est avéré très utile de reprendre l'ensemble des hypothèses sur lesquelles repose la théorie du comportement du consommateur, dans le cadre de la théorie de l'utilité ordinale. Un énoncé sys­ tématique et progressif de celles-ci, dans la première partie, a été préféré à un exposé purement axiomatique. Cette présentation a le grand avantage de mon­ trer immédiatement la nécessité, l'intérêt et les conséquences de telle ou telle hypothèse. Selon ce schéma, l'analyse a été développée pour deux types de modèles, ceux qui relèvent du cadre statique et ceux qui relèvent du cadre dyna­ mique, les seconds se distinguant des premiers par l'introduction d'une variable dont le rôle est d'intégrer les effets des comportements antérieurs sur la de­ mande actuelle : la variable stock.

Les modèles dynamiques de demande reposent sur une notion depuis long* temps retenue dans le cadre de l'étude de la demande des biens durables, à

3

-voir que les achats courants d'un bien dépendent non seulement du revenu et des prix courants» mais aussi des stocks préexistants du bien en question. Ces a- chats ont pour but, outre la consommation courante, d'amener ou d'ajuster le niveau des stocks à un niveau d'équilibre défini pour un revenu et des prix dé­ terminés.

Cette idée est également 1pt»"cfuite dans l'analyse de la demande de biens non durables oü la notion de formation d'habitude remplace la notion

de constitution de stock . Les habitudes, tout comme les stocks, sont le résultat d'un comportement passé, d'une consommation passée, et leurs effets sont supposes être complètement représentés par les valeurs courantes de "va­ riables d'état", variables qui décrivent l'état du système à un moment donné.

Parmi les hypothèses faites au départ figurent celles de continuité de la relation de préférence-indifférence et de la fonction d'utilité. Il devient alors indispensable de préciser, dans les modèles dynamiques, la notion de sub­ stitution entre les biens, que ce soit au niveau des quantités achetées ou des stocks, l'hypothèse de substitution étant implicite derrière l‘hyn/>thèse de con­ tinuité. Par ailleurs, l'existence d'ajustements des quantités en courte période et des stocks en longue période entraîne l'établissement d'une distinction entre les effets des prix, du revenu et des stocks à court et à long terme. Ce sont sur ces deux points que s'achèvera la première partie de ce texte.

• * *

Dans une seconde partie, les résultats des estimations de deux modèles, l'un statique : le modèle de Rotterdam, l'autre dynamique : le système linéaire de demande dynamique, seront développés et analysés. La détermination et l'esti­ mation d'un ensemble de fonctions de demande d'un consommateur posent plusieurs problèmes, en raison essentiellement de la présence d'un certain nombre de liai­

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-sons qui existent entre ces fonctions. Les solutions adoptées dépendront du point de départ retenu pour l'analyse : la fonction de demande (c'vnrne dans le cas du modèle de Rotterdam) ou la fonction d‘utilité (comme dans le cas du systè­ me linéaire de dépenses). Dans le premier type d'étude, on a le choix de la forme des fonctions de demande, mais on est amené à développer des méthodes d'estimations plus ou moins complexes. Dans le second cas, on choisit la fonc­ tion d'utilité, et des limites apparaissent quant aux informations que l'on peut tirer des estimations, du fait que Ton emploie des fonctions d'utilité additives, commodes à estimer. Ces deux points seront développés avant de pré­ senter quelques exemples.

Des résultats empiriques ont été obtenus à partir de données françai­ ses portant sur la période 1949-1974. Ils sont relatifs aux deux modèles pré­ cédemment cités. Ils montreront en premier lieu les avantages et les inconvé­ nients liés aux diverses méthodes d'estiication employées. Ils indiqueront en­ suite les différents renseignements que l'on peut établir et qui sont suscepti­ bles d'être utilisés dans des travaux de prévision, de simulation.... à la sui­ te éventuellement de modifications ou réorganisations des postes de consomma­ tion et des catégories de ménages retenus.

1 - L'analyse du comportement du consommateur.

5

-L'individu considéré comme consommateur est, de façon générale, une cellule de consommation (ménage), non localisée ; les produits consommés sont choi­ sis parmi un ensemble de n biens et services divisibles, parfaitement définis. Les quantités achetées de chaque produit i» q.3 sont toutes positives et regroupées dans un vecteur d'achats q = £q..J de dimensions (n, 1). Tous les prix p.. sont donnés et figurent dans un vecteur p * j^p^ ; ils s'imposent au consommateur qui n'a aucune possibilité d'en modifier le niveau. Enfin, le revenu est assimilé à la dépense to­ tale

R = Z _ Pj q1 = p' q ( i )

et la théorie du consommateur va déterminer comment se répartit ce montant entre les différents biens.

Ces éléments de base étant définis, les deux modèles, statique et dynamique, vont être étudiés simultanément. La variable stock qui est introduite dans le second cas, rappelle l'état ou la situation du. consommateur au début de l'a­ nalyse. Cette variable représente l'état des stocks physiques pour ce qui est des biens durables (ils résultent des achats passés), ou bien l'état de stocks psycho­ logiques ou encore de stocks d'habitudes pour les biens non durables et les services (ils représentent les forces accumulées de l'habitude).

1-1- Les fondements de l'analyse.

1-1-1- Les préférences et l'utilité.

Les stocks interviennent dès la première hypothèse, relative â l'en­ semble des choix auquel le consommateur est confronté. Dans le c?~ statique, cet

6

-semble a pour élément Cq, un complexe de consommation ou encore un vecteur de

consommation dont les composantes sont les quantités de chaque bien que l'indi­ vidu peut être amené à acheter :

, 0 0 0

C0 = ( q^»***» Q-j > ••• )

Dans le cas dynamique, l'élément CSq comprend, outre les achats, l'é­

tat des stocks au moment de l'achat :

PC - IrP n° c° c° c° ^

0 ~ •••» n-j » •••» $ ••• 5.j » • • • 5^ )

Les propriétés des deux ensembles de choix C et CS sont les mêmes : ensembles bornés, fermés, connexes, convexes, munis d'une structure de préordre complet. Le consommateur est toujours capable de comparer deux complexes de biens qui lui sont présentés et par conséquent d'effectuer un classement qui donne lieu au préordre des préférences. Ce dernier est établi par l'individu qui agit en tenant compte de ses goûts, de ses habitudes, de ses comportements antérieurs^ marqué par son éducation, son appartenance à une catégorie sociale, il est influ­ encé par la publicité, l'entourage, l'environnement... Ainsi, le préordre des préférences exprime complètement les goûts à l'égard de tous les biens de con­ sommation, et les conditions dans lesquelles s'effectue le classement. En con­ séquence, dès que Tune des conditions est modifiée le préordre de préférence change. L'analyse do la demande suppose que le préordre n'est pas modifié au cours de 11 étude.

La structure de préordre est établie à partir d'une relation de pré­ férence-indifférence 5^, réflexive, transitive, continue et quasi-convexe (1). La relation d'indifférence, envisagée seule, est, du point de vue mathématique, une relation d'équivalence. Il est donc possible de définir des classes d'équi­ valence. Cl (Cq) = / C^ "v CqJ

(1) La quasi-convexité est définie de la manière suivante

7

-auxquelles on affecte des nombres réels positifs, permettant ensuite de définir une fonction réelle et continue : la fonction d'utilité ou de satisfaction

U(C0) = u(q°, ... q“)

u(CSq )= u(q^,... qn> S p ... sn )

Les propriétés de ces fonctions sont déduites des définitions et pro­ priétés précédentes : les fonctions sont réelles, positives, continues, stricte­ ment croissantes. Elles sont supposées continûment différentiables, au premier et au deux ième ordre, par rapport à q (et s dans le cas dynamique). Du fait de la quasi-convexité de la relation de préférence-indi^férencç, la fonction d'utilité est quasi-concave ; ceci assure que la fonction d'utilité représente

complètement la ues du consommateur.

Soit u = £ aU/^q..jle vecteur (n, 1) des dérivées partielles de u par rapport aux quantités achetées ;

r ^ Zu/ i

Uqq* U =|^ Sq.. 3 q J la ¡atrice hessienne (n,n) des dérivées partielles secondes de u par rapport aux quantités achetées ;

r u

U*= U uqq 1 la matrice hessienne bordée (n + 1, n + 1) par

X ° J

le vecteur des dérivées premières.

La quasi-concavité de la fonction de u implique que, pour tout r variant de 1 à n, les mineurs principaux primaires vérifient [2 J

U (-1 >r I u?'! - (-i)

qr q r 0 La stricte quasi-concavité entraîne que :

qr u' _{q r} 0

>

et en particulier | 0, ce qui assure que la matrice II*" est réoulière, et par conséquent inversible.

La suite de l'analyse de la demande fait alors apparaître deux élé­ ments importants :

- la nécessité de l'hypothèse de stricte quasi-concavité de la fonction d'utilité pour assurer l'existence et l'unicité des fonctions de demande (la matrice U*doit être inversible^ alors que l'hypothèse de quasi-con- cavitë suffit pour que la fonction d'utilité représente le préordre des préféren­ ces <Ju consommateur ;

- le fait que la stricte quasi-concavité ne soit nécessaire que par rapport aux variables q^, et pas par rapport aux stocks s^. En effet, dans l’éti’dô des systèmes dynamiques, c lest la même matrice que celle qui a été définie plus haut, U * qui doit être inversible, et non pas la matrice complète établie â partir de toutes les dérivées partielles

p * % Uqs Uq

u

Usq Uss

V*

Vl us 0

Les fonctions de demande sont alors obtenues par la méthode habituelle de la maximisation de l'utilité, sous la contrainte de budget. Les stocks n'inter­ viennent pas au cours de la procédure de maximisation dans le cas des modèles dynamiques.

<&(q» X ) = u(q) + X(R - p'q) «£(q, A ) * u(q, s) + À (R - p'q)

Les fonctions de demande, représentées par le vecteur q, sont solutions du système des conditions du premier ordre

f - X p - o / p ' q = R

Du fait de la stricte quasi-concavité de la fonction d'utilité, les conditions du deuxième ordre sont automatiquement vérifiées.

• La fonction de demande du consommateur pour un bien indique la quantité de ce bien qu'il achètera, en fonction de tous les prix des biens

et de son revenu. Pour l'ensemble des biens, on détermine un système de fonctions de demande qui possèdent les propriétés suivantes.

1 - Les fonctions sont déterminées de rranière unique, étant donné une série de prix et un montant de revenu.

2— Elles vérifient la propriété d'addition , encore appelée "agré­ gation d'ENGEL".

p\ r ■ i

°o qR '[âqj/afi] est le vecteur (n,l) des dérivées partielles des quantités par rapport au revenu. Cette propriété signifie qu'un accroissement de la dépense totale est entièrement réparti entre les achats de tous les biens entrant dans la composition du budget.

• Les effets des prix et du revenu sur la demande et sur l'utilité marginale de la dépense sont déterminés en prenant les différentielles des con­

ditions d'équilibre. Ces dernières peuvent s'écrire sous la forme matricielle suivante :

dp

dR 1-1-2- Les propriétés des fonctions de demande.

dont on tire : Unn _qq -p 1 dq Xi 0 -p' 0 _q' -î — — — • m --- - ---1 CL •°, _{" Unn} PP -P dX “P' 0 -1 _{XI 0 dp'} qR Qp ’ dp'

q'

-1

dR _.Ar

_Y

dR

10 -dont on tire

V

U _qq -p_h -i

r

_ dA. -p' 0-0 Aj *1 q 1 -U qs dR qR Qp dp ds _{M Ap As} ~dR d? ds ■ (p* P) '1

(

1

)

q_ = A U"1 p mR R qq v

V

-^P' uòì _ _ ___ a i P' u p p qq H . _9i_ p' U_1 p v qq H

v

,

A u’ 1 p p' lf *

U”J p q'

o = X U“1 ---R i. . 1 . .

9Ü

_________ 9!L — L

w p qq p' t“1 p M qq w pH qq K* u p ^s = Uqs qR

- - l u "1 _{( qq} - ( p ‘ u’1 p )_1 _{KV qq H ' ' qq K H '}U“1 p p' u"1

qq qq qs

Q p est la matrice des effets des prix^q^ / 3PjJ» matrice que T o n peut encore écrire sous la forme suivante :

n s A i T 1 - A n * U-1

Les effets du revenu constituent >a raatrlco -qR q'.

Les effets de substitution, dus au changement des prix, correspondent au reste de l'expression. On y distingue, selon la terminologie de H.S. HOUTNAKKER,

- un effet spécifique qui peut être la substitution ou la

complémen-(1) Si la matrice U n'est pas régulière, on peut déterminer une matrice

u -? r -«

qq oû A, a et*ne s'expriment plus en fonction de IL, et de p.

tari té : At'"*

MM

- un effet général : - ^p' U"* p qR q'p

La matrice des effets de substitution

K - X u ' J - X p ' U*J p qR q ’ R = <Jp + qR q1

est telle que

k. . . £ 2l ♦ I ’l

1J à p. 3 y a Pj

J

u = cte

K est la matrice des effets des prix dont les variations sont compensées par une variation du revenu telle que le niveau de satisfaction reste inchangé (matrice des effets de substitution de SLUTSKY). C'est la matrice des effets compensés des prix (ou matrice des effets purs), alors que Q p est la matrice des effets non compensés ou matrice des effets apparents. De nouvelles propriétés s'ajoutent aux précédentes.

3- La matrice K est semi-définie négative, ce qui implique que les éléments diagonaux ( 9q^ / Sp^) u = cte sont négatifs ou nuls. La variation des

achats du consommateur an bien i due à une augmentation (diminution) du prlx.p^est négative (positive), les autres prix et l'utilité restant constants.

•i- La matrice K est symétrique ; il y a égalité entre les effets de substitution de chaque bien i par rapport à la variation du prix de l'autre bien j.

5- La matrice K vérifie la propriété Kp = O.On en déduit que les fonc­ tions de demande sont homogènes de degré 0 par rapport aux prix et au revenu. Il

y a absence d'illusion monétaire.

6- La matrice K vérifie la propriété d'agrégation de COURNOT : p'K =0 • La matriceQ s est constituée par tous les effets de stocks. rile peut encore être écrite sous la forme :

q s = - I k. V

L'effet des variations de stocks est proportionnel à l'effet de substitution et le terme général de cette matrice se présente de la manière suivante :

L'influence directe d'une variation du stock du bien i sur la quantité demandée du même bien, réduite à ce que Ton peut appeler l'effet principal

_ J L k.. d 2 u

^ 11 d q id s 1

est positive si i est un bien d.r type effet d'habitude (la quantité achetée aug­ mente si l'habitude s'accentue) et négative si i est un bien du type effet de

stock ( la quantité achetée diminue si le stock du bien augmente). Cependant, il est possible que ces deux effets s'exercent simultanément sur un même bien, au­ quel cas seul l'effet résultant apparaîtra.

De ce qui précède, on peut déduire le signe de l'effet du prix p. sur le stock s.j

3 q i ^ si

T-n r~ mm - # -r-11 ' '

dp,. 9 s . ô p

Pour un bien du type effet d'habitude, <5s^/3p^ est négatif, le stock et le prix varient en sens inverse ; à la suite d'une baisse de prix, l'habitude s'affirme et à la suite d'une hausse, elle s'atténue ; mais cette dernière attitu»* de peut n'être que momentanée car le consommateur peut toujours se ramener au niveau d'habitude qu'il avait atteint antérieurement, malgré la hausse du prix du bien. Pour un bien du type effet de stock, £s^/3p.j est positif, les stocks et les prix varient éons le môme sen$;à la suite d'une hausse de prix, le consom­ mateur réajuste le niveau !e son stock ? la hausse . En f'îit, ces rS^cti ns pure* • ment théoriques ne sont que des indications, et dans la réalité elles ne sont pas nécessairement symétriques à la hausse et à la baisse en raison de l'inertie qui se manifeste dans les comportements individuels.

On peut effectuer des raisonnements analogues avec les influences in­ directes, en distinguant les types de biens (effet d'habitude ou effet de stock) et la nature de leur relation (complémentarité ou substitution).

• Il est facile maintenant de déterminer les vecteurs et matrices des élasticités de la demande par rapport au revenu et aux prix.

-1 cio

- élasticité par rapport au revenu : £ = îj -3- R (1)

R

(1) cj est la matrice diagonale dont les éléments sont les composantes du vecteur q.

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-- élasticités apparentes par rapport aux prix : E =

A) . 1

- élasticités pures par rapport aux prix : E = q Kf

Le passage du modèle statique au modèle dynamique ne va pas sans soulever quelques problèmes qui sont résolus avec plus ou moins de facilité. Nous en signalerons deux ; le premier est lié à l'hypothèse de continuité de la relation de préférence-indifférence et de la fonction d'utilité qui suppose impli­ citement l'hypothèse de substitution des biens entre eux. Le second est relatif aux ajustements de longue période qui apparaissent lors de l'étude des modèles dynamiques.

12 - Quelques problèmes propres aux modèles dynamiques.

1-2-1 La continuité des relations et la substitution des biens. Dans le cadre des études statiques, l'hypothèse de substitution des biens entre eux est automatiquement admise, dès l'instant que les biens et services envisagés sont supposés divisibles. Il s'agit de pouvoir passer d'un complexe de biens à un autra en se procurant par exemple un peu plus d'un bien i et un peu moins d'un bien j. Que devient cette situation lorsque les stocks sont introduits

dans l'ensemble des choix ?

S'agissant de stocks psychologiques ou de stocks d'halitudes, admettre l'hypothèse de substitution ou de modifications mineures des habitudes (qui n'en­ traînent pas une remise en cause du préordre des préférences) est raisonnable. En effet, il n'est pas inacceptable de supposer qu'un individu est prêt à changer légèrement à la fois ses habitudes et ses achats pour, par exemple conserver ou améliorer le niveau de s* satisfaction.

Le problème est beaucoup plus délicat dès lors que les stocks physiques sont pris en considération. L'hypothèse d'un réaménagement du complexe de biens par subsitution de ses composants est plausible à condition de faire intervenir à la fois les achats, la consommation ou l'usure et l'écoulement du temps. Pour diminuer le stock du bien i au profit du stock du bien j, ou au profit des achats du bien k, il est possible de ne pas renouveler ou de ne pas maintenir le stock de

14

-i par des achats, et de l'ut-il-iser ou de le fa-ire d-isparaître en part-ie par con­ sommation. Le non-achat (provisoire) de ce bien i entraîne une non-dépense pour cette catégorie de biens ; les moyens financiers rinsi dégagés permettent d'ef­ fectuer des achats en plus grande quantité du bien j ou du bien k, et par consé­ quent d'élever le niveau du stock de ce bien j, dans la mesure naturellement où la consommation ne détruit pas cet effet. Au cours de cette opération de substi­ tution entre les stocks ou entre un stock et des achats de biens ou services divi­ sibles, la demande est évidemment directement et fortement dépendante du niveau des stocks.

122 - Les ajustements de longue période.

Les modèles statiques pos-' Oent qu'à 1? suite d'une variation des prix et ! du revenu, le niveau de la demande d'équilibre s'ajuste immédiatement aux nouvel­

les données. Pour les modèles dynamiques, on suppose en plus que les stocks sont insensibles à ces variations en courte période, et qu'il n'y a ajustement qu'en longue période. L'équilibre atteint par le consomnateur est instable tant que les stocks ne sont pas parvenus à leurs valeurs cfëquilibre.

Ainsi, à long terme, c'est l'ajustement de la variable d'état qui est recherché, c'est-à-dire qu'il o.'jt faire tendre les stocks réels vers les stocks désirés. Ces derniers, correspor''rt à un niveau d'équilibre, sont établis pour un niveau donné du revenu et des prix : s ^ ( R ^ p*). A la suite d'une variation de prix, le nivaau désiré passe de s^" à s* ; le délai de réaction, c'est-à-dire la durée du passage du niveau s (atteint au worrent de la variation du prix) au niveau Sg peut s'étendre sur plusieurs périodes, l'ajustement étant partiel pen­ dant chaque période. Le nouvel équilibre sera atteint au bout d'un certain temps, à la condition toutefois qu'il n'y ait pas de nouvelles variations de prix ou de revenu pendant le processus d'adaptation. S'il se produit un nouveau changement, ce qui est généralement le cas, une nouvelle proctdure d'ajustement commence vers un nouveau niveau d'équilibre, ce qui implique que l'équilibre est en fait rare­ ment atteint.

15

-- Supposons cependant que les prix et le revenu restent constants durant la période d'adaptation. On peut se demander si la suite des équilibres

converge vers un équilibre stable de longue périoce. Autrement dit, le système des fonctions de demande et le modèle sont-ils stables ? L'établissement des conditions de stabilité s'effectue alors en utilisant la fonction d'utilité u = u(q, s) et en définissant une fonction de stocks sous la forme d'une varia­ tion dans le temps :

s = ds / dt = g(q, s)

Les fonctions de stocks utilisées en théorie économique sont en gé­ néral données sous la forme continue suivante, pour un ensemble de n biens :

oü Dj et D2 sont des matrices diagonales (n,n), Dj représentant les dépréciations des achats et D? celles des stocks. Les fonctions de demande q étant connues en fonction de s, les fonctions de stocks peuvent être réunies dans un système d'équations différentielles du type :

s = Hs + k

oü M est une matrice (n, n) d'éléments constants dans le temps et k un vecteur (n, 1) de constantes représentant le' variations nettes des stocks. Le système des équations différentielles est stable si les parties réelles des valeurs propres de M sont négatives [353 e*

En fait, au cours des estimations, les fonctions sont transformées de manière

iè

sa présenter sous la forme d'un système d'équations aux différences finies :

st • st-i ■ " st-i ♦

k

16

-Soit les valeurs propres de la matrice N et ^>(N) le rayon spec­ tral de N, c'est-â-dire la valeur prcpr maximum de il. Lo système converge et les stocks d'équilibre existent si le rayon spectral de N est inférieur àl'unité.

- Lorsque l'état d'équilibre est atteint, les conditions d'équili- bre sont vérifiées pour q et s , et il existe une relation fonctionnelle

entre ces variables : s' = h (q*). En portant cette relation dans le système des conditions du premier ordre, il est possible ce définir un nouveau système de fonctions de demande de longue période, ainsi qu'une fonction pour l'utilité marginale de la dépense. De plus, à partir de cette situation d'équilibre, il n'y a aucune difficulté à remonter à une fonction d'utilité de longue période qui vérifie les propriétés des fonctions d'utilité : fonction réelle, positive^ continue, différentiable aux deux premiers ordres, strictement croissante et strictement quasi-concave. Une telle opération est effectuée sans problèmes dès lors que les fonctions d'utilité et de stocks sont définies £493 . On obtient des fonctions du type :

q* = q [s *(Rt P)> R. P >\* = X£s*(R, p), R, p

oû q'fc, s *, ^représentent les variables de longue période.

Ces do longue période ont le plus souvent la même forme que les fonctions de courte période, ces dernières n'étant en fait que des fonc­ tions instantanées, et des cas particuliers des fonctions de longue période. Elles supposent un ajustement complet (tout comme les fonctions statiques) mais sur une période de temps plus importante.

C'est à partir de ces nouvelles relations qu'il est commode d'établir les effets, sur la demande et sur l'utilité marginale de la dépense, des varia­ tions des prix et du revenu en longue période, ainsi que les expressions des élasticités de loncjue période.

Les variations totales de longue période sont la somme des variations de courte période et de l'effet des modifications des stocks d'équilibre.

Les élasticités sont alors :

2 - Les estimations des fonctions de demande.

L'intérêt de l'analyse du consommateur est d'arriver à mettre en forme une fonction de demande qui sera ensuite estimée. Deux possibilités sont offertes ou bien on part ries fonctions de demande, ou bien on part d'une fonction d'utili­ té. La première méthode laisse le choix de la forire des fonctions de demande mais nécessite la mise en place de techniques d'estimations précises en raison d'une part de l'estimation simultanée des fonctions, d'eutre part de l'obligation dans laquelle on se trouve d'introduire les propriétés non vérifiées des fonctions de demande en tant que contraintes. La deuxième mêthcde implique que T o n se donne la forme de la fonction d'utilité, et des limites apparaissent quant eux informa­ tions retirées des estimations dans la mesure où T o n emploie habituellement des fonction d'utilité additive.

18

-21 - L'origine du modèle.

211 - L'estimation à partir des fonctions de demande.

En sa donnant les fonctions de demande, on suppose l'existence d'une fonction d'utilité dont elles sont issues. Avec une telle méthode, il devient nécessaire de s'assurer que les fonctions de demande choisies possèdent les propriétés mises en évidence de manière théorique, à sa l'additivité et l'homogénéité des fonctions de demande, la symétrie et la $3mi-définie négativi té de la matrice des effets de substitution.

tique étudié par A. BARTEN [ôj et p j . et pour lequel la fonction de demande est donnée sous la forme suivante :

la matrice des coefficients à estimer, qui doivent vérifier un certain nombre de relations.

des prix, du revenu et des coefficients budgétaires), la fonction de demande du bien i devient :

Cette procédure est utilisée pour la modèle de ROTTERDAM, modèle sta

dq. » pour le bien i

dq — dR - q 1 dp + K dp pour l'ensemble des biens.

ô 1* L J

Dans cette dernière expression figurent 3q/î>R et K, le vecteur et

A la suite de quelques transformations (introduction des logarithmes

d log qi = ai +

b.

Wj d log q^

+

d log p.. + £ i j

19

-A une période t, l'ensemble des fonctions de demande des n biens devient :

yt • a + b T“'yt + S zt + £,.t et pour l'ensemble des périodes :

Y = X D' + E avec D » ^a b sj

Les propriétés que doivent vérifier les coefficients sont :

= 0 t*a ■ 0

ü b . = 1 t"b = 1 additivité — sij = sji S'- S symétrie ■^y-s.j = 0 S

T -

0 homogénéité

S semi-définie négative

¿ _ £ 1t - o t ' t . t - o

L'estimation de la matrice D pose quelques problèmes du fait de la sin­ gularité de la matrice des variances-covariances des erreurs

SI.

(les sommes des éléments des lignes et des colonnes de E sont nulles), la fonction de vrai­ semblance de £ ne pouvant être construite. Une procédure de calcul, mise au point en 1969 par A.P. BARTEN £ 7 J permet néanmoins d'estimer D, et des ré­ sultats de calcul matriciel établis par P. BALESTRA [ 3 ] ont pu alléger l'é­ tude analytique du problème.

A la suite de diverses transformations,[7 J et [49] , la fonction de vrai­ semblance de £ peut être écrite sous la forme logarithmique Log V( £ ) « 1

1

L = -

-g

T ( n - l ) |1 + Log 2 il + ^ T Log n - Jj- T Log J

f

où

T est le nombre de périodes d'observations, n le nombre de biens, A un es­ timateur de la matrice des variances-covariances de £ (A =

j

E' E + 11' avec

20

-E = Y - XD' et 1 un vecteur (n, 1 ) dont tous les éléments sont égaux à l / V F

').

La maximisation de L par rapport à D revient à minimiser j A |par rapport à D et conduit à l'estimateur 0 9 J

D * = (Y' X) . (X' X)"1 où D'* = (X' X)"1 X' Y

et il apparaît immédiatement que T o n retrouve des résultats identiques à ceux qui sont obtenus par une estimation séparée de chaque fonction de demande. Ce résultat justifie la méthode consistant à estimer chaque fonction de manière individuelle.

par ailleurs, si T o n pose : 'a'

dj = Vec D'j = Vec (1)

on obtient immédiatement la matrice des variances- covariances des coefficients à estimer :

Les estimations de a, b, S ne vérifient pas toujours les conditions imposées par la théorie. C'est la raison pour laquelle de nouvelles estimations sont effectuées en introduisant les propriétés à titre de contraintes. Ainsi,

la contrainte d'homogénéité conduit â maximiser la fonction de vraisemblance Log V(£) sous la contrainte

3

= 0, expression dont le lagr?ngien s'exprime sous la forme

Log V( £ ) + cx’d

oüo^est le vecteur (n, 1) des multiplicateurs de Lsgrange et un vecteur (n + 2, 1) dont les deux premières composantes sont nulles et les n suivantes égales â 1.

(1) Soit une matrice M(m, n) de vecteurs colonnes C^ : M = C^... C,.... C^j On définit Vec (M) comme le vecteur (mn, 1) constitué par les colonnes placées les unes sous les autres : Vec (M) = ;1

21

-On en déduit l'estimateur de D :

D'* = [(X' X)'1 -G(X' X)"1

X i

t j (X* X)"1 ] X' Y avec 1/© = T j (X* X)'1^

On obtient la matrice des variances-covariances

S L *

en opérant de la même manière suivante :

D'* = G X' Y

d* = Vec (D'*) = [ln ® G X' | Vec Y = P. Vec Y -ftd* = P . il.y P* = P . ( - & ® I T) P'

7&la contrainte de symétrie conduit à traximiser la fonction Log V ( £ ) sous une contrainte qui peut être mise sous la forme R' d = 0, R étant une matrice de dimensions }n(n +2), - n (n - 1) | . Le lagranyien devient

L

2

J

Log V( £ j + (î> R' d

et sa maximisation conduit à une matrice D'^ telle que

* ^

»3 - d l = H d f

A © (X’X;-1"] R |r’ (/' © ( X ' X)'1) Rj _1 R ’ d*

avec une matric3 des variances-covariances

H. S I J M V

3 dl

Tfcenfin, la double contrainte d'homogénéité et de symétrie conduit à maximiser le lagrangien

Log V( £ ) + <*' D 'XT1 + fc' R' f' dont on tire un estimateur D 1^' tel que

a* u

4 2

H . A

22

-sions, sont assez difficiles à manipuler. Ainsi, pour des estimations portant sur 7 catégories de biens et 24 périodes d'observation (n = 7, T = 24), on est amené à travailler sur des matrices (63, 53).

Des résultats de ces différents modèles sont donnés dans le paragra­ phe 221.

212 - L1estimation à partir de la fonction d'utilité.

Dans le cas oû l'étude débute par la donnée de la fonction d'utilité^ l'utilisateur doit s'assurer que cette fonction vérifie toutes les propriétés lui permettant de représenter parfaitement le préordre des préférences (fonction réelle, positive, continue, croissante, strictement quasi-conc?ve et deux fois différent!able). Les fonctions de demande en sont déduites par résolution du sys­ tème d'équations constitué par les conditions du premier ordre, et elles possèdent nécessairement les propriétés que la théorie leur impose.

Deux types de fonctions sont utilisables ; le premier correspond aux fonctions d'utilité additive, le second aux fonctions d'utilité non additive. Les plus couramment employées sont les premières, de la forme u = X .u , et conduisent, par exemple :

- au système linéaire de dépenses statique

- au système indirect addilog

u(q. s) = > b. Log (qi - © i -o^. s ^

23

-- au modèle quadratique additif

u(q» s) =

J L

[a. q. + b. si + \ A.. q?: + 2 B.. q. s.

+ \ Ci . sfj

Les principales études sont celles de H. S. HOUTHAKKER et L.D. TAYLOR §4j , L. PHLIPS (45J et , L. SOLARI [56] , R. STONE [5ÎJ ,

D. WEISERBS £65] ...

Cette méthode d'approche et ce type de fonctions, si elles ont des avantages sérieux, ne sont pas sans présenter quelques inconvénients.

L'avantage de l'introduction de cette hypothèse se situe au niveau de l'application et des estimations. Les calculs qui doivent être effectués sont simplifiés dans la mesure oû le nombre de paramètres introduits est réduit. L'inconvénient d'une telle procédure tient dans le fait qu'elle conduit à négli­ ger un certain nombre de liens existant entre les biens, liens de substitution ou de complémentarité.

Pour les fonctions d'utilité ad ii cive» 1?. matrice U des dérivées partielles secondes est diagonale et définie négative et la matrice K des effets de substitution

K = X U-1 - X q R q \ p' U"'1 p

est telle que les éléments non diagonaux se présentent sous la forme :

y

.

A

j ^ L

N*j j *

^L.p12/u^ © R ôR

Le terme correspondant â l'effet spécifique de substitution a disparu ; il ne reste plus que le terme correspondant à l'effet général. Les termes u^. étant négatifs, les éléments de K.. sont positifs, à noins que 1' un des biens i ou j

• J

soit un bien inférieur pour lequel â q / 9 R est négatif. De ce fait, les fonctions d'utilité additive ne permettent

¿0

mettre en évidence que dos effets purs de

24

-substitution entre tous les groupes de biens. Cette restriction n'est pas exces­ sivement gênanto si une étude est effectuée sur des biens agrégés. Il nous sem­ ble, en effet, que les notions de substitution et de complémentarité sont des concepts fort utiles quand il s'agit d'établir des relations entre les biens in­ dividuels. Hais dès lcrs que les biens sont regroupés par affinité, avec de forts

de substitution ou de complémentarité à l'intérieur des groupes, les ralt tiens qui peuvent être mises en évidence entre les groupes sont assez peu repré­ sentatives d'una véritable idée desubsfi+utîon ou de complémentarité. Ceci im­ plique par conséquent que pour une étude portant sur des biens individuels, une grande part de l'intérêt des estimations disparaît avec l'utilisation des fonctions d'utilité additive puisqu'il devient impossible d'établir le type de relation

pure existant entre les biens.

«

25

-22 - Quelques résultats empiriques.

Les résultats qui vont suivre proviennent d'estimations qui

ont été effectuées pour la France, sur la base de données relatives à la pério­ de 15*49-1*74. Ont été considérées les consommations des ménages, réparties se­

lon sept catégories, retenues dans le cadre de la Comptabilité Nationale. - alimentation et boissons ~ habillement - habitation - hygiène et santé - transports et télécommunications - culture et loi^rs

- hôtel s» cafés , restaurants, divers

¿21 - Le n.odtle de Rotterdam.

Les ceux premières séries de résultats concernent le modèle de Hotte ruas, cstiæ sans contrainte (tableau Oj), puis sous la double contrainte ü’homogénéité et de symétrie (tableau Dv). Figurent également les valeurs des élasticités moyennes sur la période, établies à partir de valeurs moyennes des pn x et de la dépense totale.

221 - i - Le modèle sans contrainte

Plus de la moitié des éléments de la matrice sont statisti­ quement significatifs au seuil de G

%

(la variable de Student à 16 degrés de

liberté t.. •= /çf*.-, est supérieure à 2,12). Ils vérifient certaines des pro­ priétés énoncées au paragraphe r ' (somme des coefficients a.., b., somme des colonnes de S), niais pas la symétries, l'homogénéité (la somme des éléments de chaque ligne de S n'est pas nulle) et la semi-définie négativité (Télément

M A T RICE Dj ET ECARTS-* a b* _{S 1}* _{S 2}* Alimen­ - 1,329 0,224 - 0,081 - 0,087 tation 0,0020^ 0,0634 * 0,0456 0,0492 Habil­ - 2,461 0,216 0,028 - 0,022 lement _0,0°15* 0,0469 0,0338 0,0364 Habita­ 3,325 0,153 - 0,022 0,060 tion 0,0010^ 0,0329 * 0,0237 °’0256* Hygiène - 1,048 0,146 0,050 - 0,027 et Santé 0,0011_* 0,0341 _* 0,0246 0,0265 Trans­ 0,824 0,099 0,026 0,008 ports 0,0013 * 0,0409* 0,0295 0,0318 Loisirs 1,835 0,035 0,002 0,027 et Culture 0,0004^ 0,0141 * 0,0102 - 1,145 0,127 - 0,002 0,040 Divers _0,0010 * 0,0323 * 0,0233 0,0251

-TYPE DES COEFFICIENTS * S3 * S4 * S 5 * S 6 * S 7 - 0,055 0,088 0,097 - 0,140 - 0,034 0,0694 0,0791 0,0489 0,0676 0,0674 0,063 - 0,005 0,014 - 0,019 0,027 0,0514 0,0585 0,0361 0,0500 0,0499 - 0,068 - 0,123 - 0,008 0,176 - 0,042 0,0361 0,0411^ 0,0254 0,0352^ 0,0351 0,065 0,015 - 0,013 - 0,067 0,048 0,0374 0,0426 0,0263 0,0364 0,0363 - 0,009 0,009 - 0,092 0,085 - 0,009 0,0449 0,0511 0,0316^ 0,0437 0,0436 - 0,027 - 0,006 0,020 - 0,026 - 0,036 0,0155 0,0176 0,0109 0,0151 0,0150^ 0,031 0,021 - 0,017 - 0,009 - 0,021 0,0354 0,0404 0,0249 0,0345 0,0344

27

-diagonal relatif à la catégorie hygiene - santé est positif ; heureusement, ce résultat n'est pas significatif du point de vue statistique.)

Les élasticités sont obtenues à partir des relations suivantes

r . *£

- élasticité revenu c ^ R =

Or *

- élasticité prix pure ¿1j * s1j

'

wu

*

.

W44. S..

élasticité prix apparente £* • =

-1J ' wit~ wit Elles figurent dans les deux tableaux qui suivent, le tableau des élasticités prix comportant les élasticités pures sur la première ligne, les élasticités apparentes sur la seconde.

Elasticités revenu Biens £ i/R ¿i/R (1) Alimentation 0, 6444 0,8222 Habillement 1,7832 2,2964 Habitation 0,3755 0,7108 Hygiène 1,5183 1,1246 Transports 1,1529 0,9395 Loisirs 0,4492 0,4095 Biens et services divers 1,3198 1>0903

(1) il s'agit des élasticités calculées sur les 5 dernières années d'observation.

28 -Elasticités prix Alimenta­ tion Habille­ ment Habita­

tion Hygiène Transports Loisirs Divers

A 1imentation - 0,2330 - 0,4570 - 0,2503 - 0,3284 - 0,1582 - 0,2708 0,2532 0,1912 0,2791 0,2238 - 0,4028 - 0,4530 - 0,0978 - 0,1598 Habi1lement 0,2312 -• 0,3886 - 0,1816 - 0,3976 0,5201 0,2085 - 0,0413 - 0,2128 0,1156 - 0,0375 - 0,1569 - 0,2958 0,2229 0,0513

Habi tat ion

- 0,1259 - 0,4302 0,3434 0,2373 - 0,3891 - 0,5421 - 0,7039 - 0,7881 - 0,0458 - 0,1210 1,0072 0,9390 - 0,2404 - 0,3246 ! Hygiène 0,5200 - 0,0078 - 0,2808 - 0,4647 0,6760 0,4107 0,1559 0,0099 - 0,1352 - 0,2656 - 0,6968 - 0,8151 0,4992 0,3531 Transports 0,3028 - 0,0980 0,0932 - 0,0464 - 0,1048 - 0,3063 0,1048 - 0,0061 - 1,0713 - 1,1703 0,9899 0,9001 - 0,1048 - 0,2157 ! t ' i s i r s 0,0257 - 0,1305 0,3466 0,2922 - 0,3466 - 0,4251 - 0,0770 - 0,1202 0,2567 0,2181 - 0,3337 - 0,3687 - 0,4621 - 0,5053 H i vt' r s - 0,0208 - 0,4796 0,4157 0,2558 0,3222 0,0916 0,2182 0,0913 - 0,1767 - 0,2900 - 0,0935 - 0,1963 - 0,3741 - 0,5011

29

-Elasticité revenu

Les groupes de biens alimentation, habitation et loisirs apparaissent comme des biens dits "normaux" avec une élasticité comprise entre 0 et 1. Une augmentation (ou une diminution) du revenu ou de la dépense totale de 1% provo­ que une augmentation (ou une diminution) des dépenses d’alimentation, d'habitation et de loisirs d'un pourcentage inférieur à 1 (respectivement 0,64, 0,88 et 0,45). La demande de ces biens est dite inélastique.

Les autres groupes de biens (habillement, hygiène, transports et biens divers) ont une élasticité supérieure à 1, caractéristique des biens dits "supé­ rieurs'.' Une augmentation (ou une diminution) du revenu de 1% entraîne une augmen­ tation (ou une diminution) des dépenses de ces biens d'un pourcentage supérieur à 1, ici 1,15 à 1,78. La demande est dite élastique. Les catégories habillement et hygiène et soins ont les élasticités les plus élevées (1,78 et 1,52)11 s'agit donc des deux groupes de biens qui ont les réactions les plus importantes à une variation du revenu, mais ils ne représentent en moyenne chacun que 10% environ de l'ensemble du budget (12 et 9,655).

Des calculs identiques effectués sur les cinq dernières périodes d'ob­ servation conduisent à établir la même classification, sauf en ce qui concerne les transports qui ont changé de catégorie pour rejoindre le groupe des biens normaux. L'élasticité reste toutefois proche de 1(0,94). Cette modification peut s'interpréter comme un phénomène de "démocratisation" de ces dépenses, une part plus importante du budget y est affectée par de nombreux ménages, les achats de véhicules sont plus fréquents et les dépenses de voyages et de tourisme se sont développées.

Les dépenses d'habillement et d'hygiène sont toujours les plus sensi­ bles aux variations de revenu, mais cette sensibilité s'est accentuée pour

30

-l'habillement (2,3 au lieu de 1,78) et a diminué pour l'hygiène (1,12 au lieu de 1,52). Ces résultats s'expliquent par les parts de ces dépenses dans le budget, parts qui se sont nettement modifiées (respectivement 9,4 et 13

%

au lieu de 12 et 9,6 %). Les biens qui ont les parts les plus faibles dans le budget sont ceux qui ont les élasticités les plus grandes, donc qui réagissent le plus intensément aux variations du revenu.

Elasticités prix

• L'élasticité directe de la demande par rapport au prix est positive pour le groupe de biens relatif à l'hygiène et à la santé ; cela semble impli­

quer que la demande d'une part est peu sensible au prix, d'autre part réagit de façon inhabituelle à des variations de prix. Un tel résultat provient du fait que le coefficient s^. relatif à ce poste n'est pas significatif. Les élasticités pures, en dehors de celles qui se rapportent aux demandes concer­ nant l'hygiène et les transports, sont négatives et comprises entre - 0,18 et - 0, 39. A une hausse.(ou une baisse) du niveau des prix de ces groupes de biens üe 1

%

correspond une baisse (ou une haussa) ue la demande qui lui est inférieure (0,13 et 0,39

%).

Il s'agit là de réactions à des variations de prix lorsque le revenu réel est pris en compte et reste inchangé, la vari&cion de prix étant compensée ue sorte que l'individu conserve le même niveau de satisfac­ tion. Avec les élasticités apparentes et le revenu nominal, on retrouve le

même type de comportement, mais ce phénomène est plus accentué : la baisse de la demande est plus grande : 0,37 et 0,54

%.

La modification de prix a une influ­ ence sur le niveau du revenu, ce qui entraîne une réaction plus vive de la part de l'individu. L'effet apparent estsupérieur à l'effet pur, la différence entre les deux provenant de l'action des variations de prix sur le revenu. Pour la

31

-oewaivae de transports et télécommunications, les réactions sont identiques^ mais beaucoup plus importantes puisque uans les ueux cas 1‘élasticité est in­ férieure à -1 : - 1,07 pour l'élasticité pure, - i,17 pour l'élasticité appa­ rente.

La part de l'effet pur üans l'effet apparent est facile à déterminer (100. ). L'effet pur üu prix est très important pour les dépenses de transports et de loisirs (91

%).

Ainsi, une variation du prix des biens oe la catégorie transport (voiture, réparations et entretien...) a une influence sur le revenu, mais cette influence n'a que peu de répercussions sur les achats de cette catégorie de biens. Ce sont les dépenses des autres biens qui en subiront les conséquences. A l'opposé* on trouve les dépenses d'alimentation et d'habille ment pour lesquelles l'effet pur represente environ 50

%

de l'effet apparent. Une hausse du prix des biens alimentaires entraîne une baisse des achats, mais en plus modifie le niveau du revenu réel de telle sorte qu'il résulte une baisse supplémentaire des dépenses d'alimentation (effet pur - 0,23 , effet apparent

- Û,4ij),

« En ce qui concerne les élasticités croisées* si l'on considère leurs signes, on constate que certains groupes sont complémentaires au sens pu** et au sens apparent ( £ .. et ^ 0 ) comme l'alimentation et l'habitation par

■ J I J

exemple, que d'autres sont substituts ( £.. et \ 0) comme l'habillement

' J ■ J

et l'habitation, et enfin que certains sont substituts au sens pur et complémen­ taire» au sens apparent, ou vice versa (le passage de l'un à l'autre est dû à l'effet de revenu). Ces estimations semblent présenter moins d'intérêt que les élasticités précédentes, tout au moins pour ce qui est des signes. Ln effet, les notions de substitution et de complémentarité sont des concepts fort utiles quand il s'agit d'établir des relations entre des biens individuels. Mais à

32

-partir du moment où les estimations sont effectuées sur des données agrégées» ces relations entre biens ne peuvent plus être élaborées puisque les biens in - cividuel s sont déjà classes par affinité. Et celles qui peuvent être mises en évidence entre les groupes sont assez peu représentatives d'une véritable idée de substitution ou de complémentarité.

Néanmoins, les valeurs absolues des élasticités ne sont pas dépourvues de sens. Des tendances très nettes ne se dégagent pas de ce tableau. Les dé­ penses d'habitation et de transports ont une réaction d'intensité relativement élevée aux prix des biens de loisirs (effets proches de 1) et il s'agit d'ef­ fets de substitution. Lorsque les prix des biens de loisirs augmentent (radio,, TV, photo, camping, spectacles...), les consommateurs font davantage de dépenses

concernant l'habitation (aménagement du logement...) ou les transports (pro­ menades , voyages...)

A l'opposé, les dépenses ae loisirs et de biens divers sont peu sensi­ bles à des variations de prix des biens alimentaires, lorsqu'il s'agit des effets purs (0,03 et - 0,02). En ce qui concerne les biens et services divers (hôtels, restaurants...)» il apparaît une différence très nette entre les effets purs et les effets apparents ( - 0,02 et - 0,43).La faiblesse des effets purs semble indiquer qu'à la suite d'une hausse de prix des biens alimentaires, le consommateur irait un peu moins au restaurant ; mais à la suite de l'effet, sur le revenu, de l'augmentation de prix des produits alimentaires, les dépenses de restauration en dehors du domicile diminuent.

• Un classement des catégories de biens selon les élasticités revenu et les élasticités prix directes fait apparaître nettement que l'habillement est le

groupe de biens le plus sensible â des variations de revenu, et le moins sensi­ ble à des variations de son propre prix. Ainsi, en matière d'habillement, le

33

-consommateur attache peu d'importance au prix, mais ses dépenses sont très influencées par le niveau de son revenu (achats plus importants, de meil­ leure qualité...) et éventuellement par des éléments extérieurs plus ou moins liés au revenu (mode, snobisme, activités de loisirs...)*

221 - 2 Le modèle avec contraintes.

Les estimations de a, b, ne vérifient pas les propriétés . d'homogénéité et de symétrie. C ’est la raison pour laquelle le modèle a été repris en introduisant ces propriétés sous forme de contraintes (cf para­ graphe 211).

Les éléments de la matrice of vérifient toutes les propriétés : /"•v1 rv>

l a * 0, l b = 1, l S = 0, S' C * 0, S = S', tous les éléœnts s^. sont négatifs.

a * b* _S1* Alimen­ tation - 1,3314 0,3407 - 0,0376 Habil­ lement - 2,4592 0,1491 - 0,0605 Habita­ tion 3,3221 0,1790 - 0,0368 Hygiene et Santé - 1,0455 0,0953 0,0354 Trans­ ports 0,8233 0,0978 0,0415 Loisirs et Culture 1,8341 0,0662 - 0,0047 Divers - 1,1443 0,1074 - 0,0040

MATRICE D* ₄ ★ S2 * S3 * S4 * S5 * S6 s*7 0,0605 - 0,0368 0,0354 0,0416 - 0,0048 - 0,0040 0,0020 .0,0391 - 0,0182 - 0,0007 0,0133 0,0321 0,0391 - 0,0602 0,0518 - 0,0003 0,0043 0,0280 ■ 0,0182 0,0518 - 0,0628 0,0299 - 0,0349 - 0,007 2 ■ 0,0001 - 0,0015 0,0305 - 0,0597 0,0141 - 0,0079 0,0133 0,0044 - 0,0350 0,0140 - 0,0038 0,0031 0,0321 0,0280 - 0,0072 - 0,0076 0,0030 - 0,0293

35 -Elasticité revenu Alimentation 0,9802 Habillement 1,2313 Habitation 1,0247 Hygiène 0,9907 Transports 1,1386 Loisirs 0,8498 Di vers 1,1165 Elasticité revenu

Les élasticités par rapport au revenu sont moins dispersées que dans le cas précédent (0,8986 à 1,2387 contre 0,4492 à 1,7832). Il s'agit là d'une pro­ priété liée à la méthode d'estimation sous contrainte. L'habillement reste le bien le plus sensible au revenu, et les loisirs le moins sensible.

36 -Al indenta­ tion Habille­ ment Habi ta-

tion Hygiène Transports Loisirs Divers

Alimentation - 0,1082 - 0,4489 - 0,1741 - 0,2929 - 0,1059 - 0,2772 0,1019 0,0076 0,1197 0,0355 - 0,0138 - 0,0902 - 0,0115 - 0,1058 Habillement - 0,4996 - 0,9275 - 0,0166 - 0,1657 0,3229 0,1078 - 0,1503 - 0,2687 - 0,0058 - 0,1 1 15 0,1099 0,0140 0,2651 0,1466 Habitation 1 t . _ . . . - 0,2107 - 0,5668 0,2239 0,0998 - 0,3446 - 0,5236 0,2965 0,1980 - 0,0018 - 0,0898 0,0247 - 0,0551 0,1603 0,0617 - 0,0749 i - 0,1703 ; Hygiène ] i --0,3680 0,0235 0,4832 0,0873 - 0,1892 - 0,3093 0,5385 0,3653 - 0,6528 - 0,7481 0,3109 0,2258 - 0,3628 - 0,4400 1 Transports - 0,0012 - 0,1392 - 0,0175 - 0,2166 0,3551 0,2456 - 0,6950 - 0,7928 0,1642 0,0754 - 0,0920 - 0,2016 Ko i s i rs - 0,0604 - 0,3558 0,1708 0,0678 0,3337 0,1985 0,0565 - 0,0920 - 0,4493 - 0,5311 0,1798 0,1068 - 0,0488 - 0,1150 0,0398 - 0,0420 i_| i) i vers - 0,0416 - 0,4296 0,2911 0,0960 - 0,0749 - 0,1823 - 0,0790 - 0,1749 0,0312 - 0,0558 - 0,3046 i - 0,4120 - Elasticité prix :

Toutes les élasticités directes pures sont inférieures à 1 en valeur absolue ( -1 <(^ii 0) et sensiblement différentes des valeurs prises dans l'estimation précédente. On constate à nouveau que l'habillement a la plus faible élasticité et les transports la plus élevée (- 0,6528), proche de l'élasticité ma­ ximum établie ici. Ce poste est constitué à plus de 80% par les dépenses de con­ sommation médicale, en partie remboursées par la Sécurité Sociale. Malgré

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-remboursements, les dépenses sont, sur l'ensemble de la période étudiée, sen­ sibles aux prix. Il serait intéressant ue pouvoir vérifier si ce comportement est toujours le même actuellement. Il faudrait, pour cela, disposer de statis­ tiques en quantité suffisante.

Quant aux loisirs, ils ont une ¿1 asti ci té très faible ( - 0,0488 et - 0,1150) ; ils sont donc peu sensibles à leur propre prix, tout comme au reve­ nu. Comme ils sont peu sensibles aux effets des autres prix (cf les élastici­ tés croisées), il est probable qu'ils dépendent d'autres éléments ou variables de comportement qui n'ont pas été pris en considération ici (entourage, envi­ ronnement. .. )

L'habillement a l'élasticité la plus faible, confirmant ainsi les résult'ts obtenus précédemment : il s'agit du bien le plus sensible au revenu et le moins sensible à son propre prix.

tn ce qui concerne la part de l'effet pur dans l'effet apparent, rlle n'est équivalente à la précédente que dans deux cas seulement :

l'habitation 65 à 70 % les transports 37 à 92 %

• Pour les élasticités croisées, dans deux cas seulement, loisirs et biens divers d'une part, habitation et biens divers d'autre part, on n'a pas le même type de relation au sens pur et au sens apparent. Ce fait est d'autant moins significatif que les élasticités sont faibles (inférieures à 0,05 en valeur absolue).

Les élasticités pures de la demande d'alimentation aux prix des dif­ férent? biens sont peu élevées i les dépenses d'alimentation seraient donc en général peu sensibles aux variations des prix des autres biens. Mais l'effet

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-des prix sur le revenu vient corriger ces résultats en ce qui concerne les prix de l'habillement et de l'habitation (catégories complémentaires de l'alimenta­ tion). Une hausse des prix de ces biens entraîne une baisse des achats de pro­ duits alimentaires. Les effets de ces mêmes hausses de prix ont des conséquences plus faibles sur les autres postes de consommation. Le consommateur doit se lo­ ger et s'habiller à plus de frais aux dépens de son alimentation.

Les relations entre les dépenses de biens et services divers et les prix des produits alimentaires sont les mêmes que pour le modèle précédent (les valeurs des élasticités sont du même ordre), et les réactions pour les loisirs sont du même type : c'est par l'intermédiaire

de l'effet du prix de l'alimentation sur lerevenu que les dépenses de loisirs sont modifiées. Pour l'hygiène et les transports, la réaction au prix des biens alimentaires est du même type» mais les produits sont substituts. Quant à l'ha­ billement et au logement, les élasticités sont élevées : l'augmentation du prix ues produits alimentaires entraîne une baisse nette de leurs dépenses.

La demande ae biens d'hygiène a l'élasticité la plus élevée au prix de l'habitation, ces deux groupes ayant des relations ae substitution. Lorsque le prix des biens d'équipement du logement augmentent, leurs achats diminuent,et les dépenses sont reportées en grande partie sur le poste hygiène (soins per­ sonnels, consommation médicale...) et pour une moindre part sur les postes ha­ billement et biens divers (élasticités croisées positives plus faibles).

Les réactions des autres groupes de consommation sont en général moins marquées ; c'est la raison pour laquelle nous ne les détaillerons pas.

222 - Le système linéaire de dépenses dynamique .

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-forme :

u(q, s) = ^ b . Log (q1 - G. - c*. s.)

où q et s sont respectivement les vecteurs des quantités achetées et des stocks de biens ou d'habitudes, stocks physiques ou psychologiques ; b est un vecteur de paramètres strictement positifs ; 0 et o( sont des vecteurs de constantes de signes quelconques. Pour un bien du type formation d'habitu­ des, <^.j est positif ; pour un bien du type formation de stocks, o( ^ est négatif ; en fait, e( . reflète l'effet net combiné des deux phénomènes. Pour un bien i, l'expression © i + c*.. représente la quantité minimale achetée et de ce fait la quantité achetée q^ est supérieure à ©. + c<^

s>.

La fonction d'utilité vérifie toutes les propriété théoriques énoncées au paragraphe 111 ; de ce fait» les fonctions de demande qui en sont déduites:

^ - ¿ 7 + e ’ + ^ si

vérifient elles aussi les propriétés établies au paragraphe 112. Les effets de courte période du revenu, des prix et des stocks sur les quantités achetées sont réunis dans le vecteur et les matrices suivantes :

1R = ( ^ ,b)"1 p"1 b = - (^’b)'1 p"1 b q'

+i

\~1 (*£*' b)*1 p"1 b t * P _1 6 A-l -1 r *-1 -

n

p B p ;< = A _1 (^b)"1 p _1 b ^ p _1 B - A " 1 p 6 p"1 <9S=

A -

(*£’ b)"1 p"1 b

<*'

p ec A b) -1 p' (q - 0 - o( s)

On en déduit les élasticités de courte période : R

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-E - q _1 p

-v _i E = q 1 K p

Les effets de longue période sont définis à partir de la fonction de stocks s = q - Ds et des fonctions d'utilité et de demande de longua période.

D,

u * (q * ) » ¿ 1 bi ----— Log qi * 0 i —

-D.

+ cte

oû est le taux de dépréciation du stock du tien i.

« D. y- D* D.

b, - L - (R - L P,e, — 3 -

) - e, — !—

V N V i Di - * S

où 0^ 0. /(D^ -

j.)

= k^ G.. représente 1?. consommation obligatoire de long terme.

Pour l'ensemble des biens on a q = p" b (R - p' © ) + 9

et pour l'utilité marginale du revenu,

X

=2b. k^/(R - £ p.. 0^) Sachant que b.* = k. / ( k.), les effets de longue période

i

deviennent :

9 p - - 6 ’ p _1 t q*'+ A * " 1 t * » - 1 _{î- R} 5 p -1

- b *

f i n

* r r 1

K*= A*1"1 p _1 b’*'?" p _1 6 R - A*"1 p 6 * ^ 6 R ”6" p _1 dont on tirera les élasticités de longue période.

r # .i -i * £ R = R p q b r* -*“1

Cl *

-e - q 9 _{p P} 'V* * 1 *■ E = q 1 K p 5* *