2.9 L’exponentielle induit un homéomorphisme de SnpRq dans Sn``pRq
Référence : P. Caldero, J. Germoni, Histoires hédonistes de groupes et de géométrie, Tome premier, Calvage & Mounet, 2013.
Leçons concernées : 150, 155, 156, 158, 160. Lemme 1. Pour tout matrice S P SnpRq,
||S||2“ ⇢pSq.
Démonstration. Puisque S est symétrique, il existe une base orthonormée pviqi formée de
vecteurs propres de S tels que les valeurs propres associées vérifient | 1| • ¨ ¨ ¨ • | n|. Soit
x “ ∞ni“1xivi de norme 1, alors ||Sx||2 “ ||∞ni“1xi ivi||2 § | 1| et l’égalité est atteinte
pour x “ v1. Ainsi ||S||2“ ⇢pSq.
Théorème 2. L’application
exp :SnpRq Ñ Sn``pRq
est un homéomorphisme.
Démonstration. Étape 1 : soit A P SnpRq, alors il existe P P OnpRq et des réels p iqi tels
que A “ P diagp iqtP. On a alors
exp A“ P exp“diag` i
˘‰t
P “ P diag`exp i
˘t P
qui est une matrice symétrique définie positive puisque exp i° 0 @i. Ainsi, exp envoie bien
SnpRq sur Sn``pRq et l’application exp : SnpRq Ñ Sn``pRq est continue par restriction.
Étape 2 : si B P S``
n pRq, on peut, par diagonalisation et caractérisation des matrices
symétriques définies positives, écrire B “ P diagpµiqtP avec P P OnpRq et µi ° 0 pour
tout i. On a alors
exp“P diag`ln µi˘tP‰“ P diag`exp ln µi˘tP “ P diag`µi˘tP “ B
et donc exp SnpRq Ñ Sn``pRq est surjective.
Étape 3 : soit alors A, B P SnpRq telles que exp A “ exp B. On écrit A “ P diagp iqtP
et on considère Q P RrXs le polynôme interpolateur de Lagrange tel que pour tout i, Qpexp iq “ i. On a alors
Qrexp Bs “ Qrexp As “ Q“P diag`exp i
˘t P‰“ P ¨ Q“diag`exp i ˘‰ ¨tP “ P diag`Qpexp iq ˘t P “ P diag` i ˘t P “ A et donc puisque B commute avec exp B et donc avec Qrexp Bs, B commute avec A. Par le théorème de diagonalisation simultanée, il existe P0 P OnpRq telle que A “ P0diagp iqtP0
et B “ P0diagpµiqtP0. On a alors
P0diag
` exp i
˘t
P0“ exp A “ exp B “ P0diag
` exp µi
˘t P0
et donc pour tout i, exp i “ exp µi, c’est-à-dire que i “ µi, et par suite A “ B, d’où
l’injectivité de exp SnpRq Ñ Sn``pRq.
Étape 4 : on montre enfin que exp SnpRq Ñ Sn``pRq est bicontinue. Soit pBpqp “
pexp Apqp une suite de Sn``pRq où pApqp P SnpRq, qui converge vers B “ exp A dans
Sn``pRq. Montrons que pApqp converge vers A. On a, pour M P SnpRq,
||M||2“ ⇢pMq.
Puisque pBpqp converge vers B, pBpqp est bornée en norme ||.||2 et donc toutes les valeurs
propres des pBpqp sont majorées par un certain C ° 0. D’autre part, l’inverse étant continu,
pBp´1qpconverge vers B´1, et donc pBp´1qpest bornée en norme ||.||2. Ainsi, toutes les valeurs
propres des pB´1
p qp sont majorées par une certaine constante C2 ° 0. Or les valeurs propres
de B´1
p étant les inverses des valeurs propres de Bp, les valeurs propres de Bp sont minorées
par C1 “ 1{C2 ° 0. Les valeurs propres de la suite pB
pqp sont donc comprises dans rC1, Cs,
et donc les valeurs propres de pApqp sont comprises dans rln C1, ln Cs intervalle borné. Avec
l’égalité
||M||2 “ ⇢pMq
on déduit que pApqp est bornée pour la norme ||.||2. Or si rA est une valeur d’adhérence de
pApqp, alors par continuité de l’exponentielle, expp rAq “ B “ exppAq et par injectivité on
obtient l’unicité de la valeur d’adhérence. On peut donc conclure que pApqp converge vers
A, ce qui termine la preuve.
