Khôlle d’analyse
Samuel Rochetin
Dimanche 18 février 2018
Exercice. Soit (un)n∈N∗la suite définie pour tout x ∈ R par un=
1 n2 n P k=1 bkxc. 1. Montrer que (un)n∈N∗ converge et déterminer sa limite.
2. En déduire que Q est dense dans R.
3. Déterminer un réel x > 0 tel que (un)n∈N∗ ne soit pas monotone.
Solution.
1. Soit n ∈ N∗. Par définition de la partie entière, ∀k ∈J1; nK, ∀x ∈ R, bkxc ≤ kx < bkxc + 1 ⇐⇒ kx − 1 < bkxc ≤ kx =⇒ 1 n2 n P k=1 (kx − 1) < 1 n2 n P k=1 bkxc ≤ 1 n2 n P k=1 kx ⇐⇒ 1 n2 n(n + 1) 2 × x − n < un ≤ 1 n2 × n(n + 1) 2 × x ⇐⇒ n + 1 2n x − 1 n < un ≤ n + 1 2n x. Or,n→+∞lim n + 1 2n x − 1 n = lim n→+∞ n + 1 2n x = x
2 donc d’après le théorème des gendarmes, (un)n∈N∗ converge et lim
n7→+∞un=
x 2.
2. Soit x ∈ R. Posons ∀n ∈ N∗, vn:= 2un. Le réel x est limite de la suite de
rationnels (vn)n∈N∗. Par arbitraire sur x, Q est dense dans R.
3. Remarquons que si x ∈ N∗, alors (un)n∈N∗est monotone car ∀n ∈ N∗, un =
x 2 +
x
2n. Montrons que si x = 1
2, alors (un)n∈N∗ n’est pas monotone. ∀p ∈ N, u2p+1 = 1 (2p + 1)2 2p+1 P k=1 k 2 = 1 (2p + 1)2 2p+1 P k=2 k 2 = 1 (2p + 1)2 p P k=1 2k car si k est pair, alors k + 1
2 = k 2 = k
2. Nous obtenons aisément u2p+1= 1 4 − 1 4(2p + 1)2 < 1 4. De même, il vient ∀p ∈ N ∗, u 2p= 1 4. Ainsi, (un)n∈N∗ n’est pas monotone. x =
1
