Fonction exponentielle : un résumé.

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∼

^leborgne

Fontion exponentielle, résumé

GillesLeborgne

9janvier2018

Le théorème de CauhyLipshitz pour

f : (y, z) ∈ R ² → f (y, z) = z ∈ R

et l'équation diérentielle

u ^′ (x) = f (x, u(x))

^{avelaonditioninitiale}

u(0) = 1

^donne:

Dénition0.1 Lafontionexponentielleestlafontion

u ∈ C ¹ ( R ; R )

^quivérie

u ^′ (x) = u(x)

^et

u(0) = 1

^.De

plus

u ∈ C ^∞ ( R ⁿ )

^(ave

u ⁽ⁿ⁺¹⁾ = u

^).Onnote

u(x) = exp(x) = e ^x

^.

Et

g(x) = exp(x) exp(−x)

^vérie

g ^′ (x) = 0

^don

g(x) =

^onstante

= g(0) = 1

^{, don}

exp > 0

^{, don}

exp ^′′ = exp ^′ = exp > 0

^et

exp

^{estroissanteonave.Donl'inverse}

log : R ^∗ ₊ → R

estroissanteonaveave

log(1) = 0

^.Et

g(x) = 1

^donne

exp(x) ⁻¹ = exp(−x)

^dans

R

.

Puis

h(x) = ^exp( _exp(a) ^{x + a )}

^vérie

h ^′ (x) = h(x)

^et

h(0) = 1

^{, don}

h = exp

^,don

exp(a + b) = exp(a) exp(b)

^pour

a, b ∈ R

(d'oùlanotation

e ^x

^).Don

log(zy) = log(z) + log(y)

^pour

x, y ∈ R ^∗ ₊

.

Développementensérie,

x 0

^xé:

exp(x 0 ) = P

n∈ N exp ⁿ (0)

n! x 0 n

= P

n∈ N x ₀ ⁿ

n!

^{,série onvergentear}

| ^x ₍ n ⁰ +1)! ⁿ⁺¹ |

| ^x n ⁰ ! ⁿ | =

|x 0 |

n +1 < 1

^pour

n ≥ |x 0 |

^(règleded'Alembert).Vraipourtout

x 0 ∈ R

:lerayondeonvergenedelasérieest

∞

^.

Notons:

λ n (x) = 1 + x n

ⁿ

,

^et

µ n (x) = 1 − x n

− n

= 1

λ n (−x) .

^(0.1)

Proposition 0.2

1)

∀n ∈ N ^∗ , ∀x ≥ 0, λ n (x) ≤ e ^x

^{.Et3)montrera:}

∀n ∈ N ^∗ , ∀x ≥ −n, λ n (x) ≤ e ^x

^.

2)

∀n ∈ N ^∗ , ∀y ≥ −1, 1 + ny ≤ (1 + y) ⁿ

^{(inégalitéde}Bernoulli).Don

1 + x ≤ λ n (x)

^pour

x ≥ −n

^.

3)

∀x ∈ R

, lasuite

(λ n (x)) n>|x|

^{est roissanteet onvergevers}

e ^x

^{, lasuite}

(µ n (x)) n>|x|

^est déroissanteet onvergevers

e ^x

^{(onvergenesimpledessuitesdefontions}

(λ n ) ^{N ∗}

^et

(µ n ) ^{N ∗}

^vers

exp

^).

4) À

n ∈ N ^∗

xé,

e ^{− x} −→ x→−∞ 0

^,alorsque

λ n (x) −→ x→−∞ ±∞

^{(polynmededegré}

n ≥ 1

^).

Preuve. 1)

e ^x = 1 + x + ^x ₂ ² + ... ≥ 1 + x

^pour

x ≥ 0

^.Don

e ^{x n} ≥ 1 + x

n

^pour

x ≥ 0

^et

n ∈ N ^∗

.Etlafontion

y → y ⁿ

^{estroissantepour}

y ≥ 0

^,donpour

x ≥ 0

^et

n ∈ N ^∗

ona

e ^x ≥ (1 + x n ) ⁿ

^.

2)C'esttrivialpour

n = 0, 1

^.Soit

n ≥ 2

^.Soit

g(y) = (1 + y) ⁿ − (1 + ny)

^,don

g ^′ (y) = n(1 + y) ^{n −1} − n

^,don

g ^′′ (y) = n(n − 1)(1 + y) ^{n −2}

^{, don}

g ^′′ (y) ≥ 0

^pour

y ≥ −1

^{, don}

g ^′

^{roissante sur}

[−1, ∞[

^{; et}

g ^′ (y) = 0

^pour

y = 0

^,don

g

déroissantesur

[−1, 0]

^{,roissantesur}

[0, ∞[

^,don

g(y) ≥ g(0) = 0

^,don

(1 + y) ⁿ ≥ (1 + ny)

^sur

[−1, ∞[

^(prouveBernoulli).Et

x = ny ∈ [−n, ∞[

^donne

(1 + ^x _n ) ⁿ ≥ (1 + x)

^.

3) Soit

x 0 ∈ R

.Pour

n > |x 0 |

^ona

^x _n ⁰ > −1

^,don

1 + ^x _n ⁰ > 0

^,don

λ n (x 0 ) =

^noté

λ n > 0

^.

Et

log(λ n ) = n log(1 + x 0

n )

^pour

n > |x 0 |

^.Posons

ϕ(a) = a log(1 + ^x _a ⁰ )

^quand

a > |x 0 |

^.

Don

ϕ ^′ (a) = log(1 + ^x _a ⁰ ) + a ⁻

x 0 a2

1+ ^x _a ⁰ = log(1 + ^x _a ⁰ ) + ⁻

x 0 a

1+ ^x _a ⁰ = log(1 + ^x _a ⁰ )−1 + ₁₊ ^{1 x} 0 a

=

^noté

ψ(z)

^,où

z = 1 + ^x _a ⁰ ∈ ]0, 2[

^et

ψ(z) = log(z) − 1 + ¹ _z

^.Ona

ψ ^′ (z) = ¹ _z − _z ¹ 2 = _z ¹ 2 (z − 1)

^,don

ψ

déroissantesur

]0, 1]

^{etroissantesur}

[1, 2[

^.Don

ψ(x) ≥ ψ(1) = 0

^sur

]0, 2[

^:

ψ

^{est positivesur}

]0, 2[

^{. Don}

ϕ ^′

^{est positivesur}

]|x 0 |, ∞[

^{, don}

ϕ

^est

roissante sur

]|x 0 |, ∞[

^{. Don}

ϕ(a) ≤ ϕ(b)

^pour

b > a > |x 0 |

^.Etlafontion

log

^{est roissante,don}

λ n ≤ λ n+1

pour

n > |x 0 |

^{: la suite}

(λ n ) n> | x ₀ | = (λ n (x 0 )) n> | x ₀ |

^{est positive et roissante. Don la suite}

(µ n (x 0 )) n> | x ₀ |

donnéepar

µ n (x 0 ) = _λ ¹

n (− x ₀ )

^{est positive}déroissantepour

n > |x 0 |

^.

Et

µ n (x 0 ) − λ n (x 0 ) = 1 − ^x _n ⁰ −n

(1 − 1 − ^x _n ^{0 n}

1 + ^x _n ^{0 n}

) = 1 − ^x _n ⁰ −n

(1 − 1 − ( ^x _n ⁰ ) ^{2 n}

)

^{, don, pour}

n > |x 0 |

^{on a}

µ n (x 0 ) − λ n (x 0 ) ≥ 0

^{ainsi que}

µ n (x 0 ) − λ n (x 0 ) ≤ µ n (x 0 ) ^x _n ^{0 2}

^{(Bernoullipour}

y = ( ^x _n ⁰ ) ²

^{). Don}

µ n (x 0 ) −λ n (x 0 ) −→ n →0 0

^{.Donlessuites}

(λ n (x 0 )) n>|x 0 |

^et

(µ n (x 0 )) n>|x 0 |

^{sontadjaentes,avel'uneroissante}

etl'autre déroissante: ellesonvergentversunréelnoté

g exp(x 0 )

^.

Vérions que

exp g ^′ (x) = g exp(x)

^{, don que}

g exp = exp

^(ar

g exp(0) = 1

^). (Intuitivement : on a

λ n ′ (x) = 1 + _n ^x n−1

= 1 + ^x _n ⁿ

1 + ^x _n −1

est

≃ λ n (x)

^quand

n ≃ ∞

^...).

Pourelamontrons:

h g exp(x) ≤ g exp(x + h) − exp(x) g ≤ h exp(x+ g h)

^pour

h > 0

^,

h

^petit.Ona

λ n ′ (x) = 1 +

x n

n−1

et

λ n ′′ (x) = ⁿ⁻¹ _n 1+ ^x _n n−2

≥ 0

^pour

n > |x|

^,don

λ n ′

estroissanteauvoisinagede

x

^pour

|x| < n

^.Don

lethéorèmedesaroissementsnisdonne

λ n ′ (x) ≤ ^{λ n ( x + h} _h ^{)− λ n ( x )} ≤ λ n ′ (x +h)

^,don

λ n (x) ≤ ^{λ n ( x} _h(1+ ^{+ h )− x λ n ( x )}

n ) ≤

λ n (x+ h)

^pour

n > |x[

^et

h > 0

^,

h

^petit.Don,

x

^xéet

n → ∞

^donnent

exp(x) g ≤ ^{exp(x+h)− g} _h ^{exp(x) g} ≤ exp(x g + h)

auvoisinagede

x

^{,ommeannoné.}

Don

(1 + h) exp(x) g ≤ exp(x+ g h) ≤ ^{g exp(x)} _{1− h}

^pour

|h| < 1

^.Don

exp g

^estontinueen

x

^et

g exp

^{estdérivableen}

x

dedérivée elle-même;ettrivialement

exp(0) = 1 g

^.Don

exp g

^{est lafontion}exponentielle.

Pourunautrepointdevue/présentation,voirPerrin: