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Application de la fusion de chemins de données à la
synthèse d’architectures parallèles
Clément Guy
To cite this version:
Clément Guy. Application de la fusion de chemins de données à la synthèse d’architectures parallèles.
Architectures Matérielles [cs.AR]. 2010. �dumas-00530700�
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▲❡ ♠♦❞è❧❡ ♣♦❧②é❞r✐q✉❡ ❡st ✉♥❡ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡ q✉✐ ♣❡r♠❡t✱ ❡♥tr❡ ❛✉tr❡s✱ ❞✬❡①♣r✐♠❡r ❧❡s ♥✐❞s ❞❡ ❜♦✉❝❧❡s ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s s✉r ❧❡s ✐♥❞✐❝❡s ❞❡s ❜♦✉❝❧❡s✳ ❈❡tt❡ ♣❛rt✐❡ ♣rés❡♥t❡ ❝❡ ♠♦❞è❧❡ ❡t s✬✐♥tér❡ss❡ ♣❧✉s ♣❛rt✐❝✉❧✐èr❡♠❡♥t ❛✉ ❝❛s ❞❡s ♣♦❧②è❞r❡s ❡♥t✐❡rs✳ ❊♥ ❡✛❡t ❝❡✉①✲❝✐ ♣❡r♠❡tt❡♥t ❞✬✉t✐❧✐s❡r ❧❛ ♣r♦❣r❛♠♠❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ❡♥t✐èr❡ ♣♦✉r ♦❜t❡♥✐r ❞❡s ♦r❞♦♥♥❛♥❝❡♠❡♥ts ❡t ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥s ❛✜♥ ❞❡ ❝♦♥❝❡✈♦✐r ✉♥❡ ❛r❝❤✐t❡❝t✉r❡ ♣❛r❛❧❧è❧❡ ❡①é❝✉t❛♥t ❧❡ ♥✐❞ ❞❡ ❜♦✉❝❧❡s ❡①♣r✐♠é ❬✶❪✳ P♦❧②è❞r❡s ❡♥t✐❡rs ❯♥ ♣♦❧②è❞r❡ r❛t✐♦♥♥❡❧ ❡st ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ {z ∈ Qn|Qz ≥ q}♦ù Q ❡st ✉♥❡ ♠❛tr✐❝❡ ❡♥t✐èr❡ ❡t q✉♥ ✈❡❝t❡✉r ❡♥t✐❡r ❬✶✷❪✳ ❈✬❡st à ❞✐r❡ ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ ♣♦✐♥ts ❞❛♥s ✉♥ ❡s♣❛❝❡ à n ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ❞é❧✐♠✐té ♣❛r ❞❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧✐♥é❛✐r❡s✳ ❯♥ ♣♦❧②è❞r❡ ❡♥t✐❡r ♦✉ ❞♦♠❛✐♥❡ ♣♦❧②é❞r✐q✉❡ ❡st ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♣♦✐♥ts ❡♥t✐❡rs ❝♦♥t❡♥✉s ❞❛♥s ✉♥ ♣♦❧②è❞r❡ r❛t✐♦♥♥❡❧ ✿ {z ∈ Zn|Qz ≥ q}✳ ❈✬❡st✲à✲❞✐r❡ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♣♦✐♥ts ❞✉ ♣♦❧②è❞r❡ r❛t✐♦♥♥❡❧ ❞♦♥t ❧❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❞❛♥s ❧✬❡s♣❛❝❡ s♦♥t ❞❡s ❡♥t✐❡rs✳ ❯♥ ♣♦❧②è❞r❡ ♣❡✉t êtr❡ r❡♣rés❡♥té ❞❡ ❞✐✛ér❡♥t❡s ♠❛♥✐èr❡s ✿ ✕ ●é♦♠étr✐q✉❡♠❡♥t✱ ❞❡ ❧❛ ♠❛♥✐èr❡ ❧❛ ♣❧✉s ✐♥t✉✐t✐✈❡✱ ♣♦✉r ❧❡s ♣♦❧②è❞r❡s ♣♦ssé❞❛♥t s✉✣s❛♠♠❡♥t ♣❡✉ ❞❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳ ✕ P❛r ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞✬✐♥é❣❛❧✐tés ❧✐♥é❛✐r❡s✱ ♦✉ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s✳ ✕ P❛r ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ ❝♦♥str✉❝t❡✉rs✳ ❯♥ ❝♦♥str✉❝t❡✉r ❡st ✉♥❡ ❝♦♠❜✐♥❛✐s♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ❞❡s s♦♠♠❡ts ❡t ❞❡s r❛②♦♥s ❞✉ ♣♦❧②è❞r❡✱ ❢♦r♠❡ s♦✉s ❧❛q✉❡❧❧❡ ♦♥ ♣❡✉t r❡♣rés❡♥t❡r ❧❡s ♣♦✐♥ts ❞✬✉♥ ♣♦❧②è❞r❡✳ ▲❡ ♣r♦❣r❛♠♠❡ ❞❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❞❡ ♠❛tr✐❝❡s ♣rés❡♥té ♣❧✉s ❤❛✉t ✭✜❣✉r❡ ✶✳✶✮ ♣❡r♠❡t ❞✬♦❜t❡♥✐r ✉♥ ❞♦♠❛✐♥❡ ♣♦❧②é❞r✐q✉❡ ♣♦✉r ❝❤❛❝✉♥❡ ❞❡s ✐♥str✉❝t✐♦♥s✳ ▲❛ ✜❣✉r❡ ✶✳✸ ♣rés❡♥t❡ ❞❡✉① r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥s ✭❣é♦♠é✲ tr✐q✉❡ ❛✈❡❝ ◆ ❂ ✷ ❡t ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s✮ ❞✉ ♣♦❧②è❞r❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t ❛✉① ✐♥str✉❝t✐♦♥s q✉✐ ❢♦r♠❡♥t ❧❡ ❝♦r♣s ❞✉ ♥✐❞ ❞❡ ❜♦✉❝❧❡s ✭❧✐❣♥❡s ✶✵ ❡t ✶✶ ❞❡ ❧❛ ✜❣✉r❡ ✶✳✸✮✳ ❊♥ ❡✛❡t ❝❡❧❧❡s✲❝✐ s♦♥t ❡①é❝✉té❡s à ❧❛ ♠ê♠❡ ✐tér❛t✐♦♥✱ ❧❡✉r ❞♦♠❛✐♥❡ ❡st ❞♦♥❝ ❧❡ ♠ê♠❡✳ ❖♣ér❛t✐♦♥s s✉r ❧❡s ♣♦❧②è❞r❡s ■❧ ❡st ♣♦ss✐❜❧❡ ❞❡ ré❛❧✐s❡r ✉♥ ❝❡rt❛✐♥ ♥♦♠❜r❡ ❞✬♦♣ér❛t✐♦♥s s✉r ❧❡s ♣♦❧②è❞r❡s✳ ❈❡ s♦♥t ❞❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s✱ ♦♥ ♣❡✉t ❞♦♥❝ ❧❡✉r ❛♣♣❧✐q✉❡r ❧❡s ♦♣ér❛t✐♦♥s ❡♥s❡♠❜❧✐st❡s ❝❧❛ss✐q✉❡s ✭✉♥✐♦♥✱ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥✱ ❞✐✛ér❡♥❝❡✱ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥✮ ❛✈❡❝ ❧❡s rés✉❧t❛ts ❤❛❜✐t✉❡❧s✳ ■❧ ❡①✐st❡ é❣❛❧❡♠❡♥t ❞❡s ❛❧❣♦r✐t❤♠❡s q✉✐ ❧❡✉r s♦♥t s♣é❝✐✜q✉❡s✳ ❉❡✉① ❞✬❡♥tr❡ ❡✉① ♥♦✉s ♦♥t s❡r✈✐s ❛✉ ❝♦✉rs ❞✉ st❛❣❡✳ ▲✬❛❧❣♦r✐t❤♠❡ ❞❡ ❈❤❡r♥✐❦♦✈❛ ❬✼❪ ♣❡r♠❡t ❞❡ ♣❛ss❡r ❞✬✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧✐♥é❛✐r❡s ❞é✜♥✐ss❛♥t ✉♥ ♣♦❧②è❞r❡ à s❛ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ s♦✉s ❢♦r♠❡ ❞❡ s♦♠♠❡ts ❡t ❞❡ r❛②♦♥s✳ ■❧ ❡st ✉t✐❧✐sé ❞❛♥s ❧❛ ♠ét❤♦❞❡ ❞❡s s♦♠♠❡ts ✭✈♦✐r ✶✳✷✳✷✮ q✉✐ ♣❡r♠❡t ❞✬♦r❞♦♥♥❛♥❝❡r ❡t ❞✬❛❧❧♦✉❡r ❞❡s ♦♣ér❛t✐♦♥s r❡♣rés❡♥té❡s ♣❛r ✉♥ ♣♦❧②è❞r❡✳ ✺Dtmp1= Dtmp2= 0 ≤ i ≤ N 0 ≤ j ≤ N 0 ≤ k ≤ N ❋✐❣✳ ✶✳✸✿ ❉♦♠❛✐♥❡ ♣♦❧②é❞r✐q✉❡ ❞❡ ❧❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✭Dtmp1✮ ❡t ❞❡ ❧✬❛❞❞✐t✐♦♥ ✭Dtmp2✮ ❞❡ ❧❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❞❡ ♠❛tr✐❝❡s s♦✉s ❞❡✉① ❢♦r♠❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s ▲❡ ♣♦❧②♥ô♠❡ ❞✬❊❤r❤❛rt ❬✼❪ ❛ss♦❝✐é à ✉♥ ♣♦❧②è❞r❡ ❡♥t✐❡r ❡st ✉♥ ♣♦❧②♥ô♠❡ ❡①♣r✐♠❛♥t ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ♣♦✐♥ts ❛✉ s❡✐♥ ❞✉ ♣♦❧②è❞r❡✱ ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ s❡s ♣❛r❛♠ètr❡s s✬✐❧ ❡♥ ❛✳ ◆♦✉s ❧✬✉t✐❧✐s♦♥s ❞❛♥s ♥♦tr❡ ♠ét❤♦❞❡ ❞❡ ♣❛rt❛❣❡ ❞❡ r❡ss♦✉r❝❡s ✭✈♦✐r ✷✳✸✳✶✮✳ ❙②stè♠❡s ❞✬éq✉❛t✐♦♥s ré❝✉rr❡♥t❡s ❛✣♥❡s ▲❡s éq✉❛t✐♦♥s ré❝✉rr❡♥t❡s s♦♥t ✉t✐❧✐sé❡s ♣♦✉r ♠♦❞é❧✐s❡r ❞❡s ❛❧❣♦r✐t❤♠❡s ❞❛♥s ❧❡ ❜✉t ❞❡ ❧❡s ♣❛r❛❧❧é❧✐s❡r✳ ▲❡s s②stè♠❡s ❞✬éq✉❛t✐♦♥s ré❝✉rr❡♥t❡s ❛✣♥❡s ✭♦✉ ❙❆❘❊ ♣♦✉r ❙②st❡♠ ♦❢ ❆✣♥❡ ❘❡❝❝✉rr❡♥t ❊q✉❛t✐♦♥s✮ ♣❛r❛♠étrés s♦♥t ❞❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s ✜♥✐s ❞✬éq✉❛t✐♦♥s ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ z ∈ D, p ∈ P ⇒ Vi(z, p) = f (..., Vj(I(z, p)), ...) ♦ù ✕ Vi ❡t Vj s♦♥t ❞❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛♣♣❛rt❡♥❛♥t à ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ V✳ ❈❤❛q✉❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ Vi ∈ V ♣❡✉t✲êtr❡ ✈✉❡ ❝♦♠♠❡ ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ Vi : DVi → X ♦ù DVi ❡st ❧❡ ❞♦♠❛✐♥❡ ❞❡ Vi ❡t ❳ ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ q✉❡❧❝♦♥q✉❡ ✭Z ♦✉ R✱ ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡✮✳ ✕ D ❡st ❧❡ ❞♦♠❛✐♥❡ ♣❛r❛♠étré ❞❡ ❧✬éq✉❛t✐♦♥✱ ❛✈❡❝ D ⊆ DVi✳ ✕ I(z, p) = D zp + d❡st ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❛✣♥❡ ❞❡ ZdVj ✈❡rs ZdVi ❛♣♣❡❧é❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ❞é♣❡♥❞❛♥❝❡✳ ✕ p ∈ P ❡st ✉♥ ✈❡❝t❡✉r ❞❡s ♣❛r❛♠ètr❡s ❞❡ t❛✐❧❧❡ ❞✉ s②stè♠❡✳ ✕ f ❡st ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ q✉❡❧❝♦♥q✉❡ ❞❡ Vn ✈❡rs V✳ ▲❡s éq✉❛t✐♦♥s s♦♥t ❞✐t❡s ré❝✉rr❡♥t❡s ♣❛r❝❡ q✉✬❡❧❧❡s ❡①♣r✐♠❡♥t ❞❡s ❞é♣❡♥❞❛♥❝❡s ❡♥tr❡ ❧❡✉rs ❞✐✈❡rs❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ ❡t ♣❡✉✈❡♥t ❞♦♥❝ s❡r✈✐r à ❞é❝r✐r❡ ✉♥❡ ❜♦✉❝❧❡✱ ❡t ❧❡ s②stè♠❡ ❡st ❞✐t ♣❛r❛♠étré ♣❛r❝❡ q✉✬✐❧ ♣r❡♥❞ ❡♥ ❝♦♠♣t❡ P✱ ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ ♣❛r❛♠ètr❡s q✉✐ ✐♥✢✉❡ s✉r s♦♥ ❞♦♠❛✐♥❡✳ ▲❡s ❙❆❘❊ s♦♥t ✉♥ ❢♦r♠❛❧✐s♠❡ très ♣✉✐ss❛♥t q✉✐ ♣❡r♠❡t ❞✬❡①♣r✐♠❡r ✉♥ ❣r❛♥❞ ♥♦♠❜r❡ ❞✬❛❧❣♦r✐t❤♠❡s✳ ◆♦✉s ♥♦✉s ✐♥tér❡ss❡r♦♥s à ❧❛ r❡♣rés❡♥✲ t❛t✐♦♥ ❞❡s ♥✐❞s ❞❡ ❜♦✉❝❧❡s à ❝♦♥trô❧❡ st❛t✐q✉❡ ♣❛r ❧❡s ❙❆❘❊✳ ❉❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞✬✉♥ ♥✐❞ ❞❡ ❜♦✉❝❧❡s à ❝♦♥trô❧❡ st❛t✐q✉❡✱ ❧❡ ❞♦♠❛✐♥❡ D ❞❡s éq✉❛t✐♦♥s ❡st ✉♥ ♣♦❧②è❞r❡ ❡♥t✐❡r ✭D ⊆ Zn✮ ❞é✜♥✐ ♣❛r ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧✐♥é❛✐r❡s s✉r ❧❡ ✈❡❝t❡✉r ❞✬✐♥❞✐❝❡s✱ ❞❡ ♠ê♠❡ q✉❡ ❧❡s ❞♦♠❛✐♥❡s D Vi ❞❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s Vi ✭❧❡s ✐♥❞✐❝❡s ❞❡s ❜♦✉❝❧❡s s♦♥t ❡①♣r✐♠és s✉r Z✮✳ ▲❡ ♣r♦❣r❛♠♠❡ ❞❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❞❡ ♠❛tr✐❝❡s ♣rés❡♥té ❡♥ ✜❣✉r❡ ✶✳✶ ❛ ♣♦✉r ❙❆❘❊ ❧❡ s②stè♠❡ ♣rés❡♥té ❡♥ ✜❣✉r❡ ✶✳✹✱ ♦ù ❧✬❛❞❞✐t✐♦♥ ❡t ❧❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ s♦♥t ❧❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s f ❡t D ❡st ❧❡ ♣♦❧②è❞r❡ ❝♦♥✈❡①❡ ❡♥t✐❡r r❡♣rés❡♥t❛♥t ❧❡ ❞♦♠❛✐♥❡ ❞✬✐tér❛t✐♦♥ ❞✉ ♥✐❞ ❞❡ ❜♦✉❝❧❡s✳
tmp1(i, j, k, N ) = a(i, j, k, N ) ∗ b(i, j, k, N ) tmp2(i, j, k, N ) = k ≤ 0, 0 k > 0, tmp2(i, j, k − 1, N ) + tmp1(i, j, k, N ) c(i, j) = tmp2(i, j, N, N ) ❋✐❣✳ ✶✳✹✿ ❙②stè♠❡ ❞✬éq✉❛t✐♦♥s ré❝✉rr❡♥t❡s ❛✣♥❡s ❞✉ ♣r♦❣r❛♠♠❡ ♠❛t♠✉❧t ✻
P♦❧②❤❡❞r❛❧ ❘❡❞✉❝❡❞ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝✐❡s ●r❛♣❤ ❖♥ ♣❡✉t✱ à ♣❛rt✐r ❞✬✉♥ ❙❆❘❊✱ ♦❜t❡♥✐r ✉♥ P❘❉● ✭♣♦✉r P♦❧②❤❡❞r❛❧ ❘❡❞✉❝❡❞ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝✐❡s ●r❛♣❤✮✳ ■❧ s✬❛❣✐t ❞✬✉♥ ❣r❛♣❤❡ ♦r✐❡♥té G = (W, E) t❡❧ q✉❡ ✿ ✕ ❯♥ s♦♠♠❡t wi∈ W ❝♦rr❡s♣♦♥❞ à ✉♥❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ Vi∈ V❞✉ ❙❆❘❊ ❞✬♦r✐❣✐♥❡✳ wi♣♦ssè❞❡ ✉♥ ❞♦♠❛✐♥❡ ♣♦❧②é❞r✐q✉❡ Dwi = DVi✱ ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ fwi : DVi → X ❡t ❞❡s ♣♦rts ❞✬❡♥tré❡s✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t ❛✉① ♣❛r❛♠ètr❡s ❞❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❡t ❞❡ s♦rt✐❡s✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t ❛✉① rés✉❧t❛ts ❞❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥✳ ✕ ■❧ ② ❛ ✉♥ ❛r❝ e = (wi, pi, wj, pj) ∈ E s✐ ✐❧ ② ❛ ✉♥❡ ❞é♣❡♥❞❛♥❝❡ ❞❡ ❞♦♥♥é❡s ❡♥tr❡ ❧❡ ♣♦rt pi ❞✉ s♦♠♠❡t wi ❡t ❧❡ ♣♦rt pj ❞✉ s♦♠♠❡t wj✳ e ♣♦ssè❞❡ ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ❞é♣❡♥❞❛♥❝❡ fe❞❡ ZdVj ✈❡rs ZdVi ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t à ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ I ❞✉ ❙❆❘❊ ❞✬♦r✐❣✐♥❡✳
c
{
0iN 0 jN 0kN{
0iN 0 jN 0kN{
0iN 0 jN 0kN{
0 jN0iN 0kN{
0i N 0 jN k=Na
b
tmp1
tmp2
fi , j , k , N =i , j , k , N fi , j , k , N =i , j , k , N fi , j , k , N =i , j , k , N fi , j , k , N =i , j , k −1, N fi , j , k , N =i , j , k , N ❋✐❣✳ ✶✳✺✿ P❘❉● ❞❡ ❧❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❞❡ ♠❛tr✐❝❡s P❛r ❡①❡♠♣❧❡✱ ❧❡ P❘❉● ♦❜t❡♥✉ à ♣❛rt✐r ❞✉ ❙❆❘❊ ❞❡ ❧❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❞❡ ♠❛tr✐❝❡s ❞❡ ❧❛ ✜❣✉r❡ ✶✳✶ ❡st ♣rés❡♥té ❡♥ ✜❣✉r❡ ✶✳✺✳ ▲❡ ❞♦♠❛✐♥❡ ❞❡ ❝❤❛q✉❡ s♦♠♠❡t ❡st ♣rés❡♥té s♦✉s ❢♦r♠❡ ❞❡ ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❧✐♥é❛✐r❡s ❛✉✲❞❡ss✉s ❞✉ s♦♠♠❡t✳ ❈❤❛q✉❡ ❛r❝ ♣♦rt❡ s❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ❞é♣❡♥❞❛♥❝❡✳ ■❧ ② ❛ ✉♥❡ ❞é♣❡♥❞❛♥❝❡ ❝②❝❧✐q✉❡ s✉r ❧❡ s♦♠♠❡t tmp2 q✉✐ r❡♣rés❡♥t❡ ❧✬❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ ❞❡s rés✉❧t❛ts ❞❡ ❧❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥✳ ▲❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ❞é♣❡♥❞❛♥❝❡ ❞❡ ❧✬❛r❝ r❡♣rés❡♥t❡ ❜✐❡♥ ❧✬❛✛❡❝t❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ s♦♠♠❡ ❞❡ tmp2(i, j, k − 1, N)✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ ❞❡ ❧❛ ✈❛❧❡✉r ❞❡ tmp2 ❝❛❧❝✉❧é à ❧✬✐tér❛t✐♦♥ ♣ré❝é❞❡♥t❡✱ ❡t ❞❡ tmp1 ❝❛❧❝✉❧é ❛✉ ❝②❝❧❡ ❝♦✉r❛♥t✱ à tmp2(i, j, k, N)✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ tmp2 ❞✉ ❝②❝❧❡ ❝♦✉r❛♥t✳✶✳✷✳✷ ❖r❞♦♥♥❛♥❝❡♠❡♥t ❡t ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ❛✈❡❝ ❧❡ ♠♦❞è❧❡ ♣♦❧②é❞r✐q✉❡
❯♥❡ ❢♦✐s ✉♥ ♥✐❞ ❞❡ ❜♦✉❝❧❡s ❞❡ ♣r♦❢♦♥❞❡✉r n ♠♦❞é❧✐sé ♣❛r ✉♥ ❙❆❘❊✱ ♦♥ ✈❛ ❝❤❡r❝❤❡r à ♦❜t❡♥✐r ✉♥❡ ❛r❝❤✐✲ t❡❝t✉r❡ s②st♦❧✐q✉❡ ❧✬❡①é❝✉t❛♥t✳ ❆✜♥ q✉❡ ❝❤❛q✉❡ ♦♣ér❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬❛❧❣♦r✐t❤♠❡ s♦✐t ❡①é❝✉té❡ s✉r ✉♥ ♣r♦❝❡ss❡✉r ❞♦♥♥é à ✉♥ ✐♥st❛♥t ❞♦♥♥é ✐❧ ❢❛✉t tr♦✉✈❡r ✿ ✕ ❯♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✬♦r❞♦♥♥❛♥❝❡♠❡♥t tVi ❞❡ DVi ✈❡rs N m✱ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ V i ∈ V✱ q✉✐ ❛ss♦❝✐❡ ✉♥ ✐♥st❛♥t ❞✬❡①é❝✉t✐♦♥ à ❝❤❛q✉❡ ♦♣ér❛t✐♦♥✱ ❡t ❞♦♥❝ à ❝❤❛q✉❡ ♣♦✐♥t ❞✬✐tér❛t✐♦♥✱ ❛✈❡❝ m = 1✱ ♦✉ ♣❧✉s ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞✬✉♥ t❡♠♣s ♠✉❧t✐✲❞✐♠❡♥s✐♦♥♥❡❧ ✭✈♦✐r ✶✳✸✳✶✮✳ ✕ ❯♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✬❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ pVi ❞❡ DVi ✈❡rs N n−m✱ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ V i ∈ V✳ ❈❡tt❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❛ss♦❝✐❡ à ❝❤❛q✉❡ ♦♣ér❛t✐♦♥ ❧❡ ✈❡❝t❡✉r ❞❡ ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❞✬✉♥ ♣r♦❝❡ss❡✉r ❞❛♥s ✉♥ rés❡❛✉ ❞❡ ♣r♦❝❡ss❡✉rs ❞❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ n − m✳ ▲❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✬♦r❞♦♥♥❛♥❝❡♠❡♥t ❞♦✐t r❡s♣❡❝t❡r ❧❡s ❞❡✉① ❝♦♥tr❛✐♥t❡s s✉✐✈❛♥t❡s ✿ ∀(Vi, DVi) ∈ V, ~x ∈ DVi ⇒ tVi(~x) ≥ 0 ∀(Vi, Vj, D, I), ~x ∈ D ⇒ tVi(~x) > tVj(I(~x)) ✭✶✳✶✮ ✼♦ù ~x = (z, p) ❡st ❧❡ ✈❡❝t❡✉r ❞✬✐tér❛t✐♦♥✱ é✈❡♥t✉❡❧❧❡♠❡♥t ♣❛r❛♠étré ♣❛r p✱ ❛✈❡❝ z ✉♥ ✈❡❝t❡✉r à n ❝♦♠♣♦✲ s❛♥t❡s✳ ❈❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ✐♠♣♦s❡♥t ❞❡ ♥❡ ♣❛s ❛ttr✐❜✉❡r ❞✬✐♥st❛♥t ❞✬❡①é❝✉t✐♦♥ ♥é❣❛t✐❢ ✭tVi(~x) ≥ 0✮✱ ❡t ❞❡ r❡s♣❡❝✲ t❡r ❧❡s ❞é♣❡♥❞❛♥❝❡s ❞❡ ❝❛✉s❛❧✐té ❡♥tr❡ ❧❡s ♦♣ér❛t✐♦♥s✱ ❝✬❡st à ❞✐r❡ ❞✬❛ttr✐❜✉❡r à Vi ✉♥ ✐♥st❛♥t ❞✬❡①é❝✉t✐♦♥ str✐❝t❡♠❡♥t s✉♣ér✐❡✉r à ❝❡❧✉✐ ❞❡ Vj s✐ ❡❧❧❡ ❞é♣❡♥❞ ❞❡ ❝❡tt❡ ❞❡r♥✐èr❡ ✭tVi(~x) > tVj(I(~x))✮✳ ❊♥ ❡✛❡t ❧❡s ♦♣é✲ r❛♥❞❡s ❞✬✉♥❡ ♦♣ér❛t✐♦♥ ❞♦✐✈❡♥t êtr❡ ❞✐s♣♦♥✐❜❧❡s✱ ❡t ❞♦♥❝ ❛✈♦✐r été ❝❛❧❝✉❧és✱ ♣♦✉r q✉✬❡①é❝✉t❡r ❧✬♦♣ér❛t✐♦♥ s♦✐t ❧é❣❛❧✳ ❚r♦✉✈❡r ✉♥ ♦r❞♦♥♥❛♥❝❡♠❡♥t ♦♣t✐♠❛❧ s✉r ❞❡s ❞♦♠❛✐♥❡s ❞✬✐tér❛t✐♦♥ ❡①trê♠❡♠❡♥t ❧❛r❣❡s ❞❡♠❛♥❞❡r❛✐t ✉♥❡ é♥✉♠ér❛t✐♦♥ ❧♦♥❣✉❡ ❡t ❝♦ût❡✉s❡ ❞❡s ♣♦✐♥ts ❞❡ ❝❡s ❞♦♠❛✐♥❡s✳ P❛r❝♦✉r✐r ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♣♦✐♥ts ❞✬✉♥ ♣♦❧②è❞r❡ ♥❡ s❡r❛✐t ❞❡ ♣❧✉s ♣❛s ♣♦ss✐❜❧❡ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞❡ ♣♦❧②è❞r❡s ♣❛r❛♠étrés✱ ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞✬✉♥❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❞❡ ♠❛tr✐❝❡s ❞♦♥t ❧❛ t❛✐❧❧❡ ❡st ✐♥❝♦♥♥✉❡✳ ❯♥❡ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ♣♦✉r é✈✐t❡r ❝❡❧❛ ❡st ❞✬✉t✐❧✐s❡r ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✬♦r❞♦♥♥❛♥❝❡♠❡♥t q✉✐ ❛ss♦❝✐❡ à ❝❤❛q✉❡ ❝❛❧❝✉❧ ✉♥ ✐♥st❛♥t ❞✬❡①é❝✉t✐♦♥ ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ s❛ ♣♦s✐t✐♦♥✳ ❖♥ s✬✐♥tér❡ss❡r❛ ♣❧✉s ♣❛rt✐❝✉❧✐èr❡♠❡♥t à ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡✱ t♦✉t ❞✬❛❜♦r❞ ♣❛r❝❡ q✉✬❡❧❧❡ ♣❡r♠❡ttr❛ ❞✬✉t✐❧✐s❡r ❞❡s ♠ét❤♦❞❡s ❞❡ ♣r♦❣r❛♠♠❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ❡♥t✐èr❡ ❡t ❡♥s✉✐t❡ ♣❛r❝❡ q✉✬❡❧❧❡ ❢❛❝✐❧✐t❡r❛ ❧❛ ♣❛r❛❧❧é❧✐s❛t✐♦♥ ❡t ❧❛ s②♥t❤ès❡ ❞✬❛r❝❤✐t❡❝t✉r❡✳ ■❧ s✬❛❣✐t ❞♦♥❝ ❞❡ tr♦✉✈❡r ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ ✿ tVi(~x) = AVi~x + αVi ✭✶✳✷✮ ❉❡ ❧❛ ♠ê♠❡ ♠❛♥✐èr❡✱ ♦♥ ♣❡✉t ❝❤❡r❝❤❡r ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✬❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ❞❡ DVi ✈❡rs N m✳ ❊♥ ❣é♥ér❛❧ m ❡st é❣❛❧ à n − 1✱ p ❡st ❞♦♥❝ ✉♥❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡ ❞✬✐tér❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ ✿ pVi(~x) = βVi~x ✭✶✳✸✮ ♦ù β ❡st ✉♥ ✈❡❝t❡✉r ❞❡ ♠ê♠❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ q✉❡ ~x✱ ❞♦♥t ❧✬✉♥ ❞❡s ❝♦♠♣♦s❛♥ts ❡st é❣❛❧ à ✵ ✭♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡✮✳ P❧✉s✐❡✉rs ♠ét❤♦❞❡s ♦♥t été ❞é✈❡❧♦♣♣é❡s ❛✜♥ ❞❡ tr♦✉✈❡r ❞❡s ♦r❞♦♥♥❛♥❝❡♠❡♥ts ❡t ❞❡s ❛❧❧♦❝❛t✐♦♥s✳ ❖♥ ♣❡✉t ♥♦t❛♠♠❡♥t ❝✐t❡r ❧❛ ♠ét❤♦❞❡ ❞✐t❡ ✧❞❡s s♦♠♠❡ts✧ ❞é✈❡❧♦♣♣é❡ ♣❛r ❘❛❥♦♣❛❞❤②❡ ❡t ❛❧✳ ❡t ◗✉✐♥t♦♥ ❡t ❱❛♥ ❉♦♥❣❡♥ ❬✶❪✱ ❬✶✷❪ ❡t ❧❛ ♠ét❤♦❞❡ ❞❡ ❋❛r❦❛s ❞é✈❡❧♦♣♣é❡ ♣❛r ❋❡❛✉tr✐❡r ❬✹❪✱ ❬✷❪✳ ▼ét❤♦❞❡ ❞❡s s♦♠♠❡ts ▲❛ ♠ét❤♦❞❡ ❞❡s s♦♠♠❡ts s✬❛♣♣✉✐❡ s✉r ❧❛ ♣r♦♣r✐été s❡❧♦♥ ❧❛q✉❡❧❧❡ s✐ ✉♥❡ ❝♦♥tr❛✐♥t❡ ❡st ✈r❛✐❡ ♣♦✉r t♦✉s ❧❡s s♦♠♠❡ts ❞✬✉♥ ♣♦❧②è❞r❡ ❛❧♦rs ❡❧❧❡ ❡st ✈r❛✐❡ ❡♥ t♦✉t ♣♦✐♥t ❞✉ ♣♦❧②è❞r❡ ❡t ré❝✐♣r♦q✉❡♠❡♥t ❬✶✷❪✳ ❖♥ ✈❛ ❞♦♥❝ ❝❤❡r❝❤❡r à rés♦✉❞r❡ ✉♥ ♣r♦❣r❛♠♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ♦ù ❧✬♦♥ ♠✐♥✐♠✐s❡r❛ ✉♥ ♣❛r❛♠ètr❡ ❛ss♦❝✐é à ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✬♦r❞♦♥♥❛♥❝❡♠❡♥t ✭t❡♠♣s ❞✬❡①é❝✉t✐♦♥ t♦t❛❧✱ ❞é❧❛✐ ❡♥tr❡ ♦♣ér❛t❡✉rs✳✳✳✮ ♦✉ à ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✬❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ✭t❛✐❧❧❡ ♦✉ ❢♦r♠❡ ❞❡ ❧✬❛r❝❤✐t❡❝t✉r❡✮ ❡t ♦ù ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s q✉❡ ❞♦✐✈❡♥t r❡s♣❡❝t❡r ❝❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s s❡r♦♥t ❡①♣r✐♠é❡s s✉r ❧❡s s♦♠♠❡ts ❞✉ ♣♦❧②è❞r❡✳ ▲✬❛❧❣♦r✐t❤♠❡ ❞❡ ❈❤❡r♥✐❦♦✈❛ ♣❡r♠❡t✱ ❡♥tr❡ ❛✉tr❡s✱ ❞❡ ❝❛❧❝✉❧❡r ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s s♦♠♠❡ts ❞✬✉♥ ♣♦❧②è❞r❡✱ s♦✉s ❧❛ ❢♦r♠❡ ❞❡ n✲✉♣❧❡ts✱ n ét❛♥t ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ❞✉ ♣♦❧②è❞r❡✳ ❖♥ ♣❡✉t ❡♥s✉✐t❡ ❛♣♣❧✐q✉❡r ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ♥é❝❡ss❛✐r❡s à ❝❡s ♣♦✐♥ts✱ ♣♦✉r ♦❜t❡♥✐r ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞✬éq✉❛t✐♦♥s ❧✐♥é❛✐r❡s✳ P❛r ❡①❡♠♣❧❡✱ ❧❡s s♦♠♠❡ts ❞✉ ♣♦❧②è❞r❡ r❡♣rés❡♥t❛♥t ❧❡ ❞♦♠❛✐♥❡ ❞✬✐tér❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬❛❞❞✐t✐♦♥ ✭♦✉ ❞❡ ❧❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥✮ ❞❡ ❧❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❞❡ ♠❛tr✐❝❡ s♦♥t ❧❡s ❤✉✐t ♣♦✐♥ts (0, 0, 0), (0, 0, N), ..., (N, N, N)✳ ▲❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞❡ ❞é♣❡♥❞❛♥❝❡s ❞❡ ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ✶✳✶ s✬❡①♣r✐♠❡r♦♥t ❞♦♥❝ ❝♦♠♠❡ s✉✐t s✉r ❧❡s s♦♠♠❡ts ✿ t(0, 0, N ) > t(0, 0, N − 1) t(0, N, N ) > t(0, N, N − 1) ... t(N, N, N ) > t(N, N, N − 1) ✭✶✳✹✮ ❉❡ ♠ê♠❡✱ s✐ ❧✬♦♥ ❝❤❡r❝❤❡ à ♦❜t❡♥✐r ✉♥ rés❡❛✉ ré❣✉❧✐❡r ❞❡ ♣r♦❝❡ss❡✉rs✱ ♦♥ ✈❛ ét❛❜❧✐r ❞❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s s✉r ❧✬❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ❡t ❧✬♦r❞♦♥♥❛♥❝❡♠❡♥t ❞❡ ♠❛♥✐èr❡ à ❝❡ q✉❡ ❧❡s ❞♦♥♥é❡s ✭❧❡ ❝♦♥t❡♥✉ ❞❡s ♠❛tr✐❝❡s a ❡t b✮ ❡♥tr❡♥t ♣❛r ❧❡s ❝ôtés ❞✉ rés❡❛✉ ❡t ❝✐r❝✉❧❡♥t ❞❡ ♣r♦❝❡ss❡✉r ❡♥ ♣r♦❝❡ss❡✉r ❧❡ ❧♦♥❣ ❞❡s ❛①❡s i ❡t j ✿ p(0, N ) > p(0, N − 1) p(N, 0) > p(N − 1, 0) p(N, N ) > p(N − 1, N ) p(N, N ) > p(N, N − 1) t(0, N ) > t(0, N − 1) t(N, 0) > t(N − 1, 0) t(N, N ) > t(N − 1, N ) t(N, N ) > t(N, N − 1) ✭✶✳✺✮ ❆✈❡❝ ❝❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s✱ ✉♥❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ✐♥t✉✐t✐✈❡ ♣♦✉r ♦❜t❡♥✐r p ❡st ❧❛ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❧❡ ❧♦♥❣ ❞❡ ❧✬❛①❡ k✳ ❖♥ ♦❜t✐❡♥t ❛✐♥s✐ ✉♥ rés❡❛✉ ❞❡ ♣r♦❝❡ss❡✉rs ❞❡ N s✉r N✱ ♦ù ❝❤❛q✉❡ ♣r♦❝❡ss❡✉r ❡①é❝✉t❡ ✉♥❡ ✽
❋✐❣✳ ✶✳✻✿ Pr♦❥❡❝t✐♦♥ s✉r ✉♥ rés❡❛✉ ❞❡ ♣r♦❝❡ss❡✉rs ❡t ♣r♦❝❡ss❡✉r ❞❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥✲❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥✲❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ ✭▼❆❈✮ à ❧✬✐♥st❛♥t τ ❡t tr❛♥s♠❡t s❡s ❞♦♥♥é❡s ❞✬❡♥tré❡ à ❧✬✐♥st❛♥t τ + 1 à s♦♥ ✈♦✐s✐♥ ✭✜❣✉r❡ ✶✳✻✮✳ ❖♥ ♣❡✉t ❡♥s✉✐t❡ ❝❤❡r❝❤❡r à rés♦✉❞r❡ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣r♦❣r❛♠♠❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ❡♥t✐èr❡ ❝♦♥s✐st❛♥t à tr♦✉✈❡r ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ t(~x) ♠✐♥✐♠✐s❛♥t ❧❡ t❡♠♣s t♦t❛❧ ❞✬❡①é❝✉t✐♦♥ ♦✉ ❧❛ ❧❛t❡♥❝❡ ❡♥tr❡ ❝❤❛q✉❡ ♦♣ér❛t✐♦♥ ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡✱ t♦✉t ❡♥ r❡s♣❡❝t❛♥t ❝❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s✳ ❙✐ ♦♥ ❝❤❡r❝❤❡ à ♠✐♥✐♠✐s❡r ❧❡ t❡♠♣s t♦t❛❧ ❞✬❡①é❝✉t✐♦♥✱ ♦♥ ♣❡✉t ♣♦s❡r ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❛✣♥❡ T (p) = Γp + γ q✉✐ ❡♥ s❡r❛ ❧❛ ❜♦r♥❡ s✉♣ér✐❡✉r❡✳ ❆✐♥s✐ ♦♥ ♣♦s❡ ❧❛ ❝♦♥tr❛✐♥t❡ s✉✐✈❛♥t❡ ♣♦✉r t♦✉t s♦♠♠❡t (Vi, DVi) ∈ V✿ ~x = (z, p) ∈ DVi ⇒ tVi(~x) ≤ T (p) ✭✶✳✻✮ ❊t ♦♥ ❝❤❡r❝❤❡ à rés♦✉❞r❡ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ♣r♦❣r❛♠♠❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ❝♦♥s✐st❛♥t à ♠✐♥✐♠✐s❡r T ❡♥ r❡s✲ ♣❡❝t❛♥t ❧❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❞❡ ❞é♣❡♥❞❛♥❝❡s ❡t ❞✬❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ✭éq✉❛t✐♦♥s ✶✳✹ ❡t ✶✳✺✮✱ ❛✐♥s✐ q✉❡ ❝❡❧❧❡s ❝♦♥❝❡r♥❛♥t T✳ ❉❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞❡ ❧✬❡①❡♠♣❧❡ ❞❡ ❧❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❞❡ ♠❛tr✐❝❡s✱ ✉♥ ♦r❞♦♥♥❛♥❝❡♠❡♥t ♣♦ss✐❜❧❡ r❡s♣❡❝t❛♥t ❝❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s ❡st t(i, j, k) = i + j + k✳ ■❧ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ à ❧✬❡①é❝✉t✐♦♥ ❞✉ rés❡❛✉ ré❣✉❧✐❡r ♣rés❡♥té ❡♥ ✶✳✶✳✷✳
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