Résolution itérative de problèmes de contact frottant de
grande taille
Thèse
Thierno Diop
Doctorat en mathématiques
Philosophiæ doctor (Ph. D.)
Québec, Canada
Résolution itérative de problèmes de contact frottant
de grande taille
Thèse
Thierno Diop
Sous la direction de:
Jean Deteix, directeur de recherche Michel Fortin, codirecteur de recherche
Résumé
La résolution des problèmes de contact avec frottement est d’une grande importance dans beaucoup d’applications en ingénierie. Pour ces applications, la précision et l’optimisation du temps de calcul sont des contraintes impératives mais souvent contradictoires. Les pro-blèmes industriels portent généralement sur des géométries complexes et tridimensionnelles composées de matériaux au comportement non linéaire. De ce fait, si on utilise la méthode des éléments finis, ils mènent à des problèmes discrets non linéaires et de grande taille. Ces derniers, après linéarisation, entraînent des systèmes algébriques de plusieurs milliers voire de millions d’inconnues ne pouvant être résolus que par des méthodes itératives. Ceci implique que les méthodes fréquemment utilisées, la pénalisation et le lagrangien augmenté, ne peuvent être considérées en raison du mauvais conditionnement de la matrice sous-jacente donc de leur effet négatif sur la convergence des méthodes itératives. Nous proposerons une approche itérative efficace pour résoudre les problèmes de contact associés à des applications indus-trielles : une résolution permettant d’avoir des résultats numériques précis en un temps de calcul acceptable.
Cette approche sera basée sur la méthode des multiplicateurs de Lagrange et une méthode de résolution du système linéaire associé qui n’est pas tout à fait standard. Cette dernière s’insère dans un processus itératif à plusieurs niveaux qui représente la principale contribution de la thèse. Nous présenterons la stratégie adoptée qui est différente de celles de la littérature pour la résolution des problèmes de types point de selle et en ferons une étude complète. Pour valider notre approche, nous étudierons des exemples numériques académiques de problèmes de contact classiques. Nous présenterons aussi des problèmes industriels de très grande taille afin d’illustrer l’efficacité, la précision et la performance en temps de calcul de la méthode développée dans cette thèse.
Abstract
Solving friction contact problems is of great importance in many engineering applications. For these applications, the accuracy and the optimization of the calculation cost are imperative but often contradictory. Industrial problems generally involve complex and three-dimensional geometries composed of materials that exhibit non-linear behavior. Consequently, using the finite element method, they lead to large-scale non linear discrete problems and, after lineariza-tion, to algebraic systems of several thousand or even millions of unknowns and ultimately to calculations needing iterative methods. This implies that the frequently used methods, the penalization and the augmented Lagrangian, are to be banned because of their negative effect on the condition number of the underlying discrete systems and thus on the convergence of the iterative methods. We will propose an efficient iterative approach to solve the contact prob-lems associated with industrial applications: a resolution allowing to have accurate numerical results in an acceptable computation time.
This approach will be based on the method of Lagrange multiplier and a method for solving the associated linear system that is not quite standard. The latter is part of an iterative, multi-level process that represents the main contribution of the thesis. We will present the adopted strategy, which is different from what is found in the literature, for the resolution of saddle-type problems and will make a complete study of it. To validate our approach, we will study academic numerical examples of classical contact problems. We will also present some large-scale industrial problems in order to illustrate the efficiency, accuracy and computation performance of the method developed in this thesis.
Table des matières
Résumé iii
Abstract v
Table des matières vii
Liste des tableaux ix
Liste des figures x
Remerciements xv
Introduction 1
1 Mécanique des solides 11
1.1 Généralités . . . 11 1.1.1 Préliminaires . . . 11 1.1.2 Loi de comportement. . . 15 1.2 Problème d’élasticité . . . 16 1.2.1 Problématique . . . 17 1.2.2 Formulation variationnelle . . . 18
Formulation en déplacement seulement . . . 18
Formulation mixte (déplacement-pression) . . . 20
Problème de minimisation . . . 22
1.3 Problème discret . . . 22
1.4 Résolution du système matriciel . . . 24
1.4.1 Méthodes directes . . . 25
1.4.2 Méthodes itératives. . . 25
1.4.3 Résolution de problème mixte . . . 39
2 Mécanique du contact 41 2.1 Résolution du contact glissant . . . 42
2.1.1 Pression de contact. . . 45
2.1.2 Formulation quasi-statique du problème de contact glissant . . . 46
2.1.3 Linéarisation suivant la variable primale . . . 47
2.2.1 Loi de Coulomb. . . 56
2.2.2 Approximation de la dérivée de Lie . . . 57
2.2.3 Formulation quasi-statique du contact frottant . . . 58
Problème de Tresca . . . 59
Problème de Coulomb . . . 61
2.2.4 Problème discret . . . 61
État de contact pour le cas frottant . . . 63
Stratégie de contraintes actives . . . 65
3 Résolution du système linéarisé 73 3.1 Une approche générique pour les problèmes de point de selle . . . 74
3.1.1 Méthode du GCR préconditionné à droite . . . 75
3.1.2 Méthodes d’Uzawa et d’Arrow-Hurwicz . . . 77
3.1.3 Méthode basées sur la factorisation LDU du système. . . 80
Solveurs approximatifs pour A et le complément de Schur S . . . 83
3.1.4 Préconditionneur mixte . . . 84
Retour à la méthode d’Arrow-Hurwicz . . . 85
3.2 Convergence de l’algorithme pour la formulation mixte en élasticité sans contact. . . 86
Description . . . 86
3.2.1 Étude de la convergence . . . 87
Performance en élasticité linéaire . . . 88
Effet de β du préconditionneur PMS . . . 93
Terme stabilisant . . . 97
3.3 Préconditionneur pour les problèmes d’élasticité avec contact . . . 102
3.3.1 Formulation en déplacement. . . 102 Contact général. . . 103 Stratégie de convergence . . . 106 Exemple numérique . . . 107 3.3.2 Formulation mixte . . . 108 4 Résultats numériques 118 4.1 Cas tests académiques . . . 118
4.1.1 Problème de l’indenteur . . . 119
4.1.2 Glissement frottant d’un cube sur un autre . . . 123
4.2 Applications industrielles . . . 127
4.2.1 Lamelles. . . 127
Élasticité linéaire . . . 129
Élasticité non linéaire . . . 132
Performances . . . 134
4.2.2 Prothèse de genou . . . 140
Conclusion 151
Liste des tableaux
3.1 Temps CPU en seconde du problème du cube en élasticité linéaire suivant la méthode de résolution du système primal. Pour chaque maillage la colonne de
gauche correspond au solveur Mix-It-R, à droite le solveur Mix-It-GCR. . . 88
3.2 Temps CPU en seconde du problème du cube en élasticité linéaire avec LGMRES(n) et LGCR(n) comme méthode de résolution du système primal suivant le nombre
d’itérations n. . . 91
3.3 Nombre d’itérations du solveur par rapport au nombre de degrés de liberté avec
une résolution LGCR(3) préconditionné par HPA pour ˜A. . . 93 3.4 Temps CPU du calcul et nombre d’itérations du problème du cube avec le
solveur Mix-It-GCR suivant une valeur fixe de β. . . 93
3.5 Nombre d’itérations et temps CPU du problème du cube sur la sphère avec un matériau incompressible résolu par les différentes variantes présentées
(résolu-tion complète (LU) du système en déplacement). . . 116
4.1 Nombre de sommets et de tétraèdres ainsi que les degrés de liberté associés au
déplacement u et au multiplicateur λ pour les différents maillages. . . 135
4.2 Résolution du système primal par une méthode directe : Nombre d’itérations
et temps CPU en seconde. . . 137
4.3 Résolution du système primal par une méthode itérative : Nombre d’itérations
et temps CPU en seconde. . . 137
4.4 Temps CPU du calcul du problème de la semelle de pneu suivant différentes méthodes itératives préconditionnées par HPL pour la résolution du système
primal.. . . 139
4.5 Temps CPU et mémoire utilisée pour le problème de genou suivant la méthode
de résolution du système primal. . . 146
Liste des figures
0.1 Différentes couches de matériaux en contact constituant la structure d’un pneu
(tirée dans [1]). . . 1
0.2 Prothèse de genou (à droite) et son implantation (à gauche) entre le tibia et le fémur du patient (tirée dans [2]). . . 2
0.3 Un corps déformable Ω en contact avec une fondation rigide. . . 2
0.4 Problème de contact sans frottement : L’opérateur gn représente l’écart entre les deux corps et la pression normale λn empêche les corps de s’interpénétrer (gauche) ; loi vérifiant la condition de contact (droite). . . 3
0.5 Problème de contact avec frottement.. . . 3
0.6 Lois de contact avec frottement, s est le seuil de Tresca et µ, le coefficient de frottement. . . 4
1.1 Coordonnées cartésiennes du système dans le repère lagrangien, configuration de référence et déformée (extraite dans [3]). . . 12
1.2 Description du problème d’élasticité . . . 17
2.1 Description du problème de contact. . . 41
2.2 Définition de la fonction d’écart ou gap normal. . . 43
2.3 Différentes situations possibles d’un point et son projeté le plus proche. . . 44
2.4 Force de contraintes dans la zone de contact. . . 44
2.5 Diagramme commutatif pour Vh espace de la variable primale et pour Λhespace de la variable duale. . . 53
2.6 Cône de Coulomb 2D . . . 63
2.7 Cône de coulomb 3D . . . 64
2.8 Diagramme de résolution du système . . . 71
3.1 Géométrie et conditions aux limites du problème du cube sans contact. . . 87
3.2 Comportement des résidus en déplacement et pression suivant les algorithmes Mix-It-R (Algorithme 17) et Mix-It-GCR (Algorithme 15).. . . 89
3.3 Comportement des résidus de l’Algorithme 15 suivant le solveur utilisé pour le problème primal. . . 90
3.4 Nombre d’itérations du solveur Mix-It-GCR avec LGCR(n)-HPA ou LGMRES(n)-HPApour la résolution du système primal. . . 91
3.5 Norme euclidienne des résidus du solveur Mix-It-GCR (Algorithme 15) sui-vant la méthode de résolution du système primal avec LGCR(n) et LGMRES(n). 92 3.6 Effet de β pour le problème élastique linéaire : Évolution de la valeur de β au cours des itérations de l’Algorithme 15 (gauche) ; Nombre d’itérations de l’Algorithme 15 suivant une valeur de β fixée (droite). . . 94
3.7 Comportement des résidus suivant la valeur de β pour l’élasticité linéaire incom-pressible : la résolution du système primal est faite avec GCR préconditionné
par HPA. . . 95
3.8 Comportement des résidus suivant la valeur de β pour l’élasticité non linéaire (Mooney-Rivlin) incompressible ; la résolution du système primal est faite par
LGCR(3) préconditionné par HPA.. . . 96 3.9 Écrasement du cube (matériau néo-Hookéen avec E = 102 et ρ = Eν
(1+ν)(1−2ν)) :
Comportement des résidus pour les paramètres de régularisation ν = 0 (gauche)
et ν = 0.4 (droite) avec une résolution LGCR(3) préconditionné HPA. . . 98
3.10 Déformation du cube après écrasement pour un matériau incompressible de type Mooney-Rivlin a) résolution en déplacement seulement et b) résolution avec une
formulation déplacement-pression. . . 99
3.11 Comportement des résidus pour le problème d’élasticité non linéaire et
incom-pressible de type Mooney-Rivlin. . . 100
3.12 Comportement des résidus pour le problème d’élasticité non linéaire et
incom-pressible de type Mooney-Rivlin suivant le terme de régularisation ρ. . . 101
3.13 Déformation et pression de contact pour le problème de l’écrasement du cube
(élasticité linéaire) sur une sphère rigide avec un coefficient de frottement µ = 0, 4. 108
3.14 Comportement du résidu normal en λ pour le problème du cube sur la sphère en élasticité linéaire avec une résolution du système primal en direct et itératif. À gauche, problème sans frottement, à droite, problème de contact frottant avec
µ = 0, 4. . . 108 3.15 Comportement du résidu en λ du solveur Mix-It-GCR-Contact pour le
pro-blème du cube sur la sphère avec la méthode imbriquée suivant le nombre
d’ité-rations np du solveur Mix-It-GCR. . . 112
3.16 Comportement du résidu en λ pour le problème du cube sur la sphère avec la
méthode séquentielle.. . . 114
3.17 Comportement du résidu en λ pour le problème du cube sur la sphère avec la
méthode alternée.. . . 116
4.1 Géométrie du problème de l’indentation d’un arc de cercle sur un rectangle. . . 119
4.2 Déformation de la géométrie du problème de l’indenteur aux temps t = 0, 5,
t = 1, t = 1, 5 et t = 2. . . 121
4.3 Multiplicateurs de Lagrange au temps t = 1, 5 du problème de l’indenteur pour
le cas glissant (en haut) et frottant (en bas).. . . 122
4.4 Géométrie et maillage d’éléments finis de deux cubes superposés. . . 123
4.5 Configuration déformée et champ de déplacement du problème des deux cubes pour une résolution avec notre méthode (partie gauche) et celle de pénalisation
(partie droite) ; la configuration initiale est définie en couleur grise. . . 125
4.6 Multiplicateurs de Lagrange du problème des deux cubes en contact frottant. . 126
4.7 Déformation de la géométrie du problème de contact des cubes avec frottement
(en couleur grise) et sans frottement (en couleur rouge-bleu). . . 126
4.8 Définition de la géométrie et du maillage d’éléments finis du problème des lamelles 128
4.9 Géométrie et maillage de la zone potentielle de contact du problème des
4.12 Norme euclidienne du résidu en λ normal au cours des itérations du solveur GCR de contact pour une résolution complète du système primal : courbes de convergence des différents pas de chargement, les sauts présents à partir de la quatrième courbe représentent le début d’itérations de Newton. Ils sont dus à
la variation de la normale. . . 132
4.13 Semelles de pneu : Configuration déformée de la phase d’écrasement avec un
matériau non linéaire de type Mooney-Rivlin. . . 133
4.14 Semelles de pneu : Configuration déformée de l’avant dernier pas de cisaillement avec un matériau non linéaire de type Mooney-Rivlin (sens de cisaillement : de
la gauche vers la droite). . . 133
4.15 Semelles de pneu : Bifurcations des lamelles de la semelle à la fin de la phase
de cisaillement avec un matériau non linéaire de type Mooney-Rivlin. . . 134
4.16 Semelles de pneu : courbe de convergence du résidu associé à la pression normale
de contact pour une résolution directe (LU) et itérative (GCR). . . 136
4.17 La norme euclidienne du résidu en λ normal au cours des itérations du solveur Mix-It-GCR-Contactsuivant la méthode itérative de résolution du problème
primal.. . . 138
4.18 Les différents composants d’une prothèse de genou et son implantation dans le
genou. . . 140
4.19 Géométrie simplifiée d’une prothèse genou : partie fémorale au dessus de la
partie tibiale. . . 141
4.20 Maillage adapté d’éléments finis des parties tibiale et fémorale de la prothèse
de genou. . . 143
4.21 Déformation et champ de déplacement du tibia après son contact avec le fémur. 144
4.22 Pression totale de contact du tibia sur le fémur. . . 144
4.23 Tenseur de contrainte de Cauchy en zz du Tibia. . . 145
4.24 Jacobien surfacique continu du matériau du tibia. . . 145
4.25 Configuration du problème de contact rigide déformable de très grande taille : géométrie des corps rigide et déformable (en haut) et le maillage d’éléments
finis du corps déformable (en bas). . . 147
4.26 Temps CPU par rapport au nombre de processeurs du problème du genou à 15
À la mémoire de mon père À ma chère mère
Les Maths, ça ne sert à rien... sauf dans la vie quotidienne.
Remerciements
Tout d’abord, j’aimerais remercier mes directeurs de thèse, Michel Fortin pour sa patience, son soutien et sa disponibilité tout au long de ce doctorat, et Jean Deteix, pour ses conseils et les nombreuses discussions tant du coté informatique que numérique. J’ai été privilégié de les avoir comme encadreurs.
Je remercie Éric Chamberland pour son soutien technique et sa grande disponibilité. J’adresse mes remerciements à Myriam Rioux (développeur scientifique chez BodyCad) et Thomas Ho-molle (expert métier, modélisation numérique et simulation chez Michelin) qui m’ont permis d’avoir des cas tests industriels et de pouvoir valider, par des problèmes industriels de grande taille, l’approche développée dans cette thèse. Les discussions avec eux ont beaucoup contribué à enrichir ce travail. Je tiens également à remercier Bocar Wane (employé chez Michelin) et Ibrahima Dione pour leurs nombreux conseils dans la rédaction.
Je remercie également les professeurs Annalisa Buffa (école polytechnique fédérale de Lau-sanne), Sophie Léger Auffrey (université de Moncton) et Robert Guénette (université Laval) d’avoir pris le temps d’examiner ma thèse et de l’enrichir par leurs suggestions en tant que membres du jury.
Finalement, j’aimerais adresser mes remerciements à mes collègues doctorants du GIREF, qui, sans eux, ces années de doctorat seraient une grande période d’isolement.
Introduction
La résolution des problèmes de contact avec frottement est d’une grande importance dans beaucoup d’applications en ingénierie. Nous rencontrons les problèmes de contact dans presque tous les phénomènes de la vie courante. Ils sont présents dans les domaines de l’automobile, de l’aéronautique et de la biomécanique. Dans celui de l’automobile, particulièrement du pneu-matique où la modélisation du contact route-pneu (on parle dans ce cas de contact rigide-déformable) et du contact pneu-pneu (déformable-rigide-déformable) est d’une importance capitale pour la conception de nouveaux pneus. Le contact pneu-pneu provient du fait que le pneu est constitué de plusieurs couches de matériaux qui sont en contact l’une sur l’autre (voir Figure 0.1).
Figure 0.1 – Différentes couches de matériaux en contact constituant la structure d’un pneu (tirée dans [1]).
Dans le domaine de la biomécanique, on peut citer l’exemple de la fabrication des prothèses de genou (voir Figure 0.2) où la modélisation du contact permet d’étudier le contact entre le tibia et le fémur suivant les caractéristiques du patient afin de déterminer l’aire et la pression de contact permettant ainsi de mieux adapter la prothèse de genou au patient.
Figure 0.2 – Prothèse de genou (à droite) et son implantation (à gauche) entre le tibia et le fémur du patient (tirée dans [2]).
En 1882, le physicien anglais Hertz, publia un article intitulé "On The Contact of Elastic So-lids" qui donne la solution d’un problème de contact sans frottement (contact où les contraintes tangentielles sont négligées ou absentes) entre des corps élastiques. Plus d’un demi-siècle plus tard, d’autres solutions sont données par Galin [4] et Muskhalisv [5] pour ne citer que ceux là. L’analyse mathématique de la théorie de la mécanique du contact débute dans les années 1930 avec les travaux de Signorini. Ce dernier étudia le contact sans frottement entre un obstacle rigide et un corps déformable en élasticité linéaire.
Figure 0.3 – Un corps déformable Ω en contact avec une fondation rigide.
Plus tard, Fichera [6] fît de même. Ils se sont intéressés à l’existence et à l’unicité de la solution pour les problèmes de contact non frottant à géométrie simple (voir Figure0.3). Lorsque deux corps sont en contact glissant, il se crée une force normale dite pression de contact agissant sur les corps et empêchant ces derniers de s’interpénétrer. Le problème est non linéaire et non différentiable. En effet, l’opérateur définissant l’état de contact, le gap ou écart normal, n’est pas linéaire par rapport au déplacement. De plus, la zone de contact n’est pas à priori connue,
le changement de l’état en contact (ou actif) à l’état sans contact (ou inactif) et vice versa est fortement non linéaire comme on peut le voir dans la figure droite de Figure0.4.
Figure 0.4 – Problème de contact sans frottement : L’opérateur gn représente l’écart entre les deux corps et la pression normale λn empêche les corps de s’interpénétrer (gauche) ; loi vérifiant la condition de contact (droite).
Dans un contact avec frottement, il se crée une force tangentielle qui s’oppose au glissement (voir Figure 0.5). Une loi de frottement caractérise les contraintes tangentielles liées au glisse-ment des corps en contact l’un par rapport à l’autre. Déjà étudié par Léonard de Vinci (1452 – 1519), on retrouve plusieurs lois de frottement définissant la relation entre efforts tangents et normaux.
Figure 0.5 – Problème de contact avec frottement.
Le frottement induit une notion de seuil qui définit l’état de contact d’adhérence ou de glis-sement. On dira que le contact frottant est adhérent lorsque les efforts tangents sont sous le seuil, dans ce cas on n’observe pas de glissements ; et il sera dit glissant lorsque le seuil est atteint ou dépassé, se traduisant par un déplacement relatif des corps en contact. Les lois les
de la loi de Coulomb où le seuil dépend de la nature des corps en contact. Du point de vue de la théorie, il n’y a pas de résultats sur l’existence et l’unicité de la solution. Cependant, pour un coefficient de frottement très petit, Jarušek et al. [7,8] étudia l’existence et Renard [9], l’unicité. On peut aussi citer les travaux de Duvaut et Lions [10] et de Kikuchi et Oden [11] entre autres, cette liste étant loin d’être exhaustive. Pour un historique plus détaillé de la mécanique du contact, on peut se référer à la thèse de Yastrebov [12] et l’article de Chabrand et al. [13].
Tresca Coulomb
Figure 0.6 – Lois de contact avec frottement, s est le seuil de Tresca et µ, le coefficient de frottement.
Les progrès technologiques, en particulier l’arrivée de machines à haute performance per-mettent de simuler des problèmes réels de plus en plus complexes. Ces avancées techniques ont ouvert la porte à la simulation de problèmes de contact. Plusieurs chercheurs ont abordé le développement de méthodologies numériques pour la résolution de problèmes de contact visant des applications dans un contexte industriel. Il existe plusieurs approches permettant de modéliser les phénomènes liés à la mécanique du contact. Les approches les plus courantes sont basées sur la méthode des éléments finis et c’est sur une telle méthode que nous nous appuierons.
Du point de vue mathématique, le problème de contact glissant et avec frottement (modélisé par la loi de Tresca) est écrit sous forme d’une inéquation variationnelle correspondant à un problème d’optimisation sous contraintes d’inégalité. Le contact est un problème présentant plusieurs non-linéarités qui apparaissent toutes dans les problèmes industriels ; on peut noter les non-linéarités :
• physiques créées par le comportement de certains matériaux à l’exemple de la gomme qui est le principal matériau élastique du pneu.
• du contact, non-linéarité liée aux changements d’état de contact d’actif à inactif et vice versa, mais aussi liée à la loi de frottement.
Toutes ces non-linéarités devront être traitées de façon adéquate. Les méthodes les plus uti-lisées pour la simulation des problèmes de contact sont les méthodes de pénalisation, des multiplicateurs de Lagrange et du lagrangien augmenté.
— La méthode de pénalisation apparaît vers les années 1980 dans les travaux de Kikuchi et Oden [11], Wriggers et al. [14] et de Simon et Bergans [15] pour ne citer que ceux là. Elle est la plus simple à implémenter et la moins précise. L’idée de cette méthode est d’éliminer la contrainte d’inégalité en utilisant un paramètre de pénalisation afin de régulariser les lois de contact et de frottement. Elle a l’avantage de n’avoir aucune autre inconnues que celles du problème d’élasticité sans contact. Cependant, la solution obtenue dépend de la pénalisation. De plus, cette méthode autorise une interpénétration des corps qui est souvent importante lorsque la valeur du paramètre de pénalisation est petite. À l’opposé, lorsque la pénalisation est élevée, on peut noter des instabilités numériques dues au mauvais conditionnement de la matrice du système discrétisé. — La méthode des multiplicateurs de Lagrange a le privilège d’être plus précise mais exige
l’ajout d’une inconnue supplémentaire appelée multiplicateur de Lagrange. Ce dernier représente les efforts de contact et de frottement. Un avantage non négligeable de cette méthode est que la solution obtenue ne dépend pas d’un paramètre de pénalisation. De plus, la matrice du système linéaire associé est bien conditionnée. La stratégie de contraintes actives [16] est souvent utilisée pour traiter la contrainte d’inégalité. Pour cette méthode, les conditions de contact sont exactement satisfaites. Ses premières uti-lisations dans le cadre de la mécanique du contact furent présentées par Hughes et al. [17] en 1978 ainsi que Bathe et Chaudhary [18] en 1982 puis [19] en 1986. Une diffi-culté numérique majeure de cette approche est le choix des espaces d’approximation des déplacements et du multiplicateur de Lagrange (aussi appelé pression de contact). Ces espaces devraient vérifier la condition inf–sup ([20]) pour qu’il y ait unicité de la solution, ceci contraint le choix de la discrétisation.
— La méthode dite de lagrangien augmenté est initialement introduit par Hestenes [21] et Powell [22], en 1969, pour résoudre les problèmes d’optimisation non linéaires avec contraintes d’égalité. Elle a été utilisée en premier dans les problèmes de contact sans frottement par Wriggers et al. [14] en 1985, Landers et al. [23] en 1986. Pour le cas frottant, on peut citer les travaux d’Alart et Curnier [24] en 1991, de Simo et Laursen
à la méthode des multiplicateurs de Lagrange. En plus, sa convergence dépend moins fortement du paramètre de pénalisation comparée à la méthode de pénalisation.
Il est difficile de trancher de manière objective sur l’efficacité de ces méthodes si l’on doit prendre en compte simultanément la précision des résultats numériques et la rapidité des cal-culs. Bien souvent ces critères s’opposent. Les problèmes industriels portent généralement sur des géométries tridimensionnelles complexes et pour une bonne précision, le maillage devrait être fin, particulièrement dans les zones critiques (interfaces de contact, les bords en général). Ces considérations mènent alors à des problèmes algébriques de très grande taille. Comme exemple des défis nouveaux et des besoins actuels issus du milieu industriel pour la simu-lation du contact, citons sommairement l’exemple de la simusimu-lation des prothèses de genou en biomécanique à des fins d’analyse d’usure. Dans ce contexte, l’étude du contact entre le tibia et le fémur exige précision et efficience. Comme nous pouvons le voir à la Figure 0.2, une prothèse de genou est une géométrie complexe, constituée de deux éléments métalliques séparés par un élément plastique composé de polyéthylène haute densité (ultra-high-molecular-weight polyethylene (UHMPE)), principalement destiné à l’amortissement et au contrôle des mouvements. L’analyse d’usure exige des simulations qui se font en boucle. Au vu du grand nombre de répétions, et des exigences quant aux délais de fabrication, ces simulations doivent être obtenues en un temps de calcul modéré. De plus, il est primordial, non seulement de bien capturer l’aire de contact mais aussi d’avoir une approximation assez précise des contraintes de contact pour pouvoir bien adapter la prothèse au patient. L’objectif de cette thèse est de proposer une approche algébrique permettant de répondre à ces nouveaux besoins en si-mulation du contact. Nous proposons une approche numérique efficace visant principalement la résolution de systèmes algébriques issus de problèmes de contact associés à des d’applica-tions industrielles, c’est-à-dire avec une géométrie complexe, tridimensionnelle, composée de matériaux non linéaires, exhibant du contact frottant et nécessitant des temps de calcul le plus court possible. Soulignons que dans un contexte industriel l’exigence relative au temps de simulations ne doit pas être perçue comme un simple désir de limiter le temps de calcul. Il s’agit bien d’un impératif tout aussi incontournable que la convergence de la méthode. Quelque soit l’approche retenue, nous sommes confrontés à des systèmes linéaires de grande taille. Pour résoudre ces systèmes, deux avenues s’offrent à nous : les méthodes directes et les méthodes itératives. Le choix des méthodes itératives est retenu pour sa capacité à résoudre les systèmes de très grande taille en un temps limité et avec moins de stockage mémoire. Les méthodes directes, efficaces pour des problèmes de taille moyenne deviennent rapidement inefficaces voire même inutilisables pour des problèmes de grande taille tant du point de vue de la mémoire que du temps de calcul.
Un des méfaits majeur des méthodes de pénalisation en dehors de la délicatesse du choix du paramètre de pénalisation est le mauvais conditionnement de la matrice du système linéaire associé. Ce mauvais conditionnement a peu d’effet sur les méthodes de résolutions directes (on
dira solveurs directs) tel que LU, Cholesky et leurs nombreuses variantes [29]. Toutefois il n’en va pas de même pour les méthodes de résolutions itératives (on dira aussi solveurs itératifs) où le conditionnement du système est fondamental au bon comportement numérique de tels solveurs [30]. Quant à la méthode du lagrangien augmenté, sa résolution se base générale-ment sur une variante de la méthode d’Uzawa. Tout comme la pénalisation, cette approche souffre d’un mauvais conditionnement lorsque la pénalisation devient trop importante. De plus, l’utilisation de solveurs itératifs met parfois en péril l’efficacité de l’approche en rendant sa convergence difficile. Le lagrangien augmenté se prête donc mal à l’utilisation de solveurs itératifs.
La méthode des multiplicateurs de Lagrange, malgré l’ajout d’une nouvelle inconnue (compa-rable à une pression), contrairement à la pénalisation, n’exclut aucun type de solveurs et la solution obtenue ne dépend d’aucun paramètre de pénalisation. Comparativement aux deux autres approches, son système algébrique est de plus grande taille. Même s’il exige une phase de préconditionnement qui peut être importante, il a l’avantage de pouvoir être résolu par une méthode itérative. La structure du système linéaire issu des problèmes de contact prend la forme générale fréquemment associée à un problème de point de selle :
A BT B 0 ! u λ ! = ru rλ ! , où A est une matrice de taille n × n et B est de dimension m × n.
Ce type de structure algébrique n’est pas spécifique à la mécanique des solides, elle est pré-sente dans la discrétisation numérique issue de nombreux champs d’applications ; mentionnons simplement : la mécanique des fluides, l’électromagnétisme, la finance. Quoique cette matrice n’est pas singulière, la résolution du système par les méthodes itératives classiques (c’est-à-dire, des méthodes itératives utilisant des préconditionnements classiques [31, Chap. 9]) n’offre pas toujours des taux de convergence satisfaisants (allant parfois jusqu’à diverger) du fait des caractéristiques particulières de la matrice de rigidité (matrice liée au problème élastique sans contact). Évidemment, la convergence dépend de plusieurs facteurs, entre autre : la symé-trie de la matrice ; son caractère défini (ou indéfini) et de manière générale du spectre de la matrice. Il existe toutefois des techniques efficaces permettant de mener à bien la résolution de ces systèmes. Ces techniques à elles seules représentent un champ de recherche [32]. Pour plusieurs de ces méthodes, la convergence sera fortement influencée par l’introduction d’un paramètre de relaxation (nécessitant une caractérisation). Nous présenterons dans cette thèse, une technique de ce genre. Visant la simulation du contact, cette méthode pourra cependant s’appliquer à toutes applications présentant ce type de structure algébrique. La méthodologie proposée s’appuie sur une résolution itérative du système primal et sur l’introduction et la
ca-un paramètre de relaxation fixe). On peut donc interpréter nos travaux comme l’extension et l’amélioration de ces travaux au cas de l’élasticité non linéaire avec ou sans frottement. Cette thèse s’articule en quatre chapitres.
Dans le premier chapitre, nous introduirons les concepts de base de la mécanique des solides en insistant sur les concepts de grandes déformations et de lois de matériaux. Puis nous décrirons le problème d’élasticité dans la configuration déformée et initiale. Nous présenterons ensuite la formulation variationnelle qui en résulte établissant ainsi son équivalence à un problème de minimisation. Le problème discret résultant n’est pas toujours facile à résoudre. On utilise une méthode directe lorsque le système n’est pas de très grande taille. Dans le cas contraire, les méthodes itératives sont incontournables. En raison du comportement non linéaire de certains matériaux, le système algébrique est non symétrique et souvent non défini. Par conséquent, les méthodes itératives "classiques" sont très lentes, souvent stagnantes ou même divergentes. Dans la dernière section de ce chapitre, nous ferons un tour d’horizon sommaire des solveurs algébriques : visitant les méthodes directes et itératives qui sont fréquemment utilisées pour la résolution des problèmes de mécanique. Pour les méthodes itératives, nous présenterons les solveurs dits "classiques" qui, s’ils ont des performances très limitées comme solveurs, sont souvent utilisés comme préconditionneurs. Nous terminerons par quelques méthodes de type Krylov et par des préconditionneurs.
Dans le second chapitre, nous présenterons la théorie du contact. Nous parlerons du problème continu sans frottement qui se traduit par une inéquation variationnelle. Cette dernière est équivalente à un problème d’optimisation sous contraintes d’inégalité que nous résoudrons par la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Étant non linéaire et non différentiable, la méthode de Newton dite généralisée est utilisée pour la linéarisation (voir [34]). La contrainte de contact étant définie par la méthode des contraintes actives. Ainsi donc, nous parlerons de la formulation discrète, du choix des espaces d’interpolations pour les déplacements et les multiplicateurs. Nous finirons la section par une présentation du système matriciel à résoudre. Dans la seconde section, nous ferons une extension au cas frottant dans lequel s’ajoute une autre non-linéarité due au frottement modélisé par la loi de Coulomb. Nous présenterons comme dans le cas glissant, le problème continu, discret et terminerons par la forme algébrique du système linéaire. La résolution de ce dernier système et du système sous-jacent au problème sans frottement fera l’objet du chapitre suivant.
Dans le troisième chapitre, constituant le cœur de la thèse, nous allons décrire notre technique pour résoudre le système linéarisé présenté au chapitre précédent. En absence de frottement, ce système est celui de point de selle. Sa résolution par une méthode directe nécessite une re-numérotation des inconnues correspondant à des permutations des lignes de la matrice, rendant extrêmement inefficaces de telles méthodes. Pour leur part, on l’a déjà mentionné, les méthodes itératives qui ne tiennent pas compte de la structure particulière du système à résoudre, sont généralement stagnantes ou divergentes. Pour contourner cet obstacle, plusieurs
approches existent, la méthode la plus répandue consiste à s’appuyer sur la méthode d’Uzawa. Un avantage de cette méthode est qu’on ne résout pas le système global. Elle consiste, à chaque itération, à la résolution en alternance du système primal (système en déplacement seulement), suivi de la mise à jour de la partie duale, c’est-à-dire les multiplicateurs, jusqu’à ce que la convergence soit atteinte.
u = u + A−1 ru− BTλ , (1) λ = λ + ρBu − g. (2)
Cette méthode est généralement lente et sa convergence qui n’est pas toujours garantie, dé-pend d’un paramètre de relaxation (ici ρ). Naturellement, ce paramètre varie en fonction de la nature du problème. Autre inconvénient de cette approche, la résolution du système primal (1) ne peut se faire que par une méthode directe ; ce qui n’est pas envisageable pour les systèmes de très grande taille ou par l’utilisation d’une méthode itérative produisant une solution exacte (voir [31, Chap. 8, Problème 8.9]), ce qui, en général, exclut toute notion d’efficacité. Men-tionnons toutefois l’approche de Dostàl et al. dans [35] permettant en l’occurrence de résoudre le problème par la méthode FETI. Leur idée est de décomposer le système en plusieurs sous-systèmes de petite taille pouvant ainsi être résolus par une méthode directe. Pour obtenir des méthodes convergeant plus rapidement, des variantes améliorées d’Uzawa, permettant une résolution incomplète ou itérative du système primal, doivent être utilisées. Nous aborderons une de ces variantes, la méthode d’Arrow-Hurwicz [36] qui dépend de deux paramètres de re-laxation. Son inconvénient principal est le manque de bonne procédure pour déterminer leurs valeurs. Dans notre approche, une stratégie permettant de calculer numériquement des va-leurs "optimales" est proposée. Toutefois, nous n’utiliserons pas la méthode d’Arrow-Hurwicz comme un solveur en soi, mais plutôt comme préconditionneur d’une autre méthode itérative. La méthode itérative choisie est celle dite du résidu généralisé, mieux connue sous l’acronyme GCR (Generalized Conjuguate Residual en anglais) [37]. Mathématiquement équivalente à la méthode GMRES, il s’agit d’une variante, dans le cas des matrices non symétriques, de la méthode du gradient conjugué (voir [31, Chap. 6]).
Dans le quatrième et dernier chapitre, nous présenterons des résultats numériques. Nous mon-trerons en premier des résultats académiques en guise de validation de la méthode dévelop-pée. En effet, ces résultats seront comparés à ceux de la littérature. Ensuite des exemples "académico-industriels" seront considérés, c’est-à-dire des exemples qui, sans posséder toute la complexité des applications industrielles, sont d’un degré de complexité suffisamment grand pour évaluer la valeur de la méthode proposée dans un contexte pratique. Tous ces exemples permettant de voir l’efficacité, la précision et la performance de calcul de notre méthode de résolution du contact. Nous présenterons aussi des résultats concernant le temps de calcul
Chapitre 1
Mécanique des solides
Dans ce chapitre, nous passons en revue les concepts de base de la mécanique des solides. Nous nous intéressons surtout au cas des grandes déformations et des matériaux hyper-élastiques dans un cadre lagrangien. Nous introduisons donc les notions de configuration de référence et de configuration déformée et les notions générales d’équation d’équilibre et de loi de comporte-ment. La méthode des éléments finis [38,39] permet de traduire ces problèmes en un système discret, en général non linéaire. La résolution se fera en premier lieu par une linéarisation (mé-thode de Newton), puis par la résolution des systèmes linéaires ainsi obtenus. Nous décrirons dans une dernière partie quelques méthodes qui seront utilisées tout au long de notre travail. Notation : Dans la suite, on notera h· , ·iE le produit de dualité E0 × E pour un espace quelconque E. Lorsqu’il n’y aura pas de confusion possible, l’indice sera ignoré. La notation "·" sera utilisé pour indiquer le produit de tenseurs et ":" la contraction des tenseurs. On notera k · k la norme euclidienne dans Rn et par (· , ·) le produit scalaire dans Rn pour n quelconque.
1.1
Généralités
La grande partie de cette section est inspirée du livre d’A. Fortin et A. Garon [40] et celui de G.A. Holzapfel [41]. On y présente une brève introduction de la mécanique des solides en grandes déformations. On pourra aussi se référer à Bonet et Wood dans [42] pour une étude plus approfondie sur les lois des matériaux.
1.1.1 Préliminaires
On considère deux configurations, initiale Ω et déformée ω, incluses dans R3 : la première occupe tous les points matériels X et la seconde, décrit les nouvelles positions x dans la
Figure 1.1 – Coordonnées cartésiennes du système dans le repère lagrangien, configuration de référence et déformée (extraite dans [3]).
La fonction caractérisant le passage de la configuration de référence à la configuration déformée est non linéaire et bijective et se définit par
φ : (
Ω → ω
X → x (1.1)
Le déplacement du point matériel X (voir Figure 1.1) est alors décrit par
u(X) = φ(X) − X. (1.2)
Tenseur gradient de déformation
Une mesure fondamentale de la déformation dans le contexte de la mécanique des solides est donnée par le tenseur gradient de déformation FX,x définie comme la dérivée partielle de la configuration courante suivant la configuration de référence :
FX,x = ∂x
∂X = I + ∇Xu (1.3)
où I est le tenseur identité d’ordre 2 et l’autre terme représente le tenseur du gradient de déplacement défini par
∇Xu =∂ui ∂Xj
1≤i,j≤3. (1.4)
Le tenseur de gradient de déformation transforme un élément de longueur dX = (dX1, dX2, dX3) de la géométrie initiale en un élément de longueur dx = (dx1, dx2, dx3) sur la configuration déformée. En effet, en utilisant la règle des chaînes, nous aurons, pour tout i = 1, 2 ou 3
dxi = j=3 X j=1 ∂xi ∂Xj dXj,
ce qui donne
dx = FX,x· dX.
La matrice FX,x est aussi dite push-forward de X à x et son inverse est pull-back de x à X. En appliquant FX,xà un vecteur tangent u à la frontière de la configuration initiale, on obtient un vecteur qui est tangent à la frontière de la configuration déformée. Réciproquement, FX,x transforme un vecteur tangent de la configuration déformée en un vecteur tangent à la confi-guration de référence. De façon générique, si à X dans la conficonfi-guration de référence correspond x1 dans une configuration déformée et x2 dans une seconde configuration, l’opérateur Fx1,x2 peut être calculé par :
Fx1,x2 = FX,x2F
−1
X,x1, (1.5)
puisque
FX,x2 = Fx1,x2FX,x1.
Dans la suite, on note FX,x par F et nous avons aussi les transformations suivantes :
— Un élément de volume dV de la configuration initiale sera transformé par un élément de volume de la configuration déformée suivant la relation :
dv = J dV,
où J représente le déterminant du tenseur F et est appelé le jacobien du dit tenseur. — Un élément d’aire dA orientée se transforme aussi par la formule de Nanson suivant la
relation
da = J F−TdA.
— La normale à la configuration déformée n évolue à partir de la normale à la configuration initiale N suivant la formule
n = J Js(F
−T· N),
où Js, appelé jacobien surfacique, est le rapport entre les éléments de surface déformée et non déformée défini par :
Js= J p
(C−1· N) · N.
Le tenseur C, appelé tenseur symétrique de Cauchy-Green, est défini par
C = FT· F. (1.6)
est donné par E(u) = 1 2 ∇Xu + ∇ T Xu + ∇TXu · ∇Xu) = 1 2 F T · F − I = 1 2 C − I. (1.7)
Cependant, ce tenseur n’est pas le seul utilisé en grands déplacements. On peut noter les tenseurs d’Euler-Almansi et de Biot (voir au chapitre 2 de [43]).
Dans le cas particulier où ce tenseur est linéaire par rapport à u ou lorsqu’on suppose qu’il est linéaire (en utilisant l’hypothèse de petites déformations (ou perturbations)), on parlera alors d’élasticité linéaire. Dans ce cas, le tenseur de déformations correspond au tenseur de déformations linéarisé noté (u) et défini par
(u) = 1
2 ∇Xu + ∇ T
Xu). (1.8)
Tenseur de contraintes
Le tenseur de contraintes, noté σ, caractérise l’état de contraintes en un point matériel. Il vérifie la relation
σ · da = df ,
pour tout élément de force df agissant sur un élément de surface orientée da dans la configu-ration déformée.
Ce tenseur ainsi écrit est défini dans la configuration déformée. Voulant résoudre en formulation lagrangienne, ce dernier devrait alors être réécrit dans la configuration initiale. Pour ce faire, nous avons besoin du second tenseur de Piola-Kirchhoff noté S qui se définit comme une force sur la configuration initiale par unité d’aire (orientée) non déformée vérifiant
S · dA = dF.
Ainsi, utilisant les identités (1.3)–(1.6), le tenseur de contraintes pourrait s’écrire dans la configuration initiale par la relation
σ = 1
JF · S · F
T. (1.9)
Le produit de F et S est appelé le premier tenseur de Piola-Kirchhoff et est noté par
Π = F · S = Jσ · F−T. (1.10)
Le premier (non symétrique) et le second (symétrique) tenseur de Piola-Kirchhoff portent sur la même quantité dans la configuration déformée, Π, et initiale S.
Le comportement hyper-élastique d’un matériau se caractérise par l’existence d’une fonction dite de potentiel d’énergie ψ de déformation qui dépend de E (et par (1.7) de F et C). Cette énergie se définit comme étant l’énergie emmagasinée dans le matériau lorsque ce dernier est déformé autrement dit lorsqu’il est compressé ou étiré par rapport à la configuration initiale. Elle est alors nulle dans cette configuration c’est-à-dire ψ(I) = 0. Le second tenseur de Piola-Kirchhoff S découle de cette énergie comme suit :
S = ∂ψ ∂E = 2
∂ψ
∂C. (1.11)
Nous pouvons aussi définir le tenseur d’élasticité C d’ordre 4 obtenue par la dérivée de S par rapport à E, découlant alors du potentiel d’énergie par
C = ∂S ∂E= 4
∂2ψ
∂C2. (1.12)
1.1.2 Loi de comportement
Différents modèles existent pour définir le potentiel ψ, ces modèles empiriques (on parle de modèle phénoménologique) s’appuient sur les propriétés observées des matériaux (isotro-pie, hyper-élasticité, plasticité, etc.). Par (1.11), cela établi la relation entre le tenseur de contraintes S et le tenseur de déformations E. Cette relation dite loi de comportement du ma-tériau est complètement caractérisée par la forme donnée à l’énergie ψ. Nous allons présenter dans cette section les quelques lois de matériaux hyper-élastiques qui seront utilisées dans cette thèse (pour plus de détails nous référons au chapitre 5 de Bonet et Wood [42]).
• Saint-Venant Kirchhoff
Ce matériau est isotrope et hyper-élastique d’énergie ψSV K =
λ 2(trE)
2
+ µ(E : E). (1.13)
Dans ce contexte, les paramètres µ et λ représentent les coefficients de Lamé. Ils dé-pendent des paramètres du matériau qui sont le module de Young E et le coefficient de Poisson ν. Ils sont définis par
λ = Eν (1 + ν)(1 − 2ν) , µ = E 2(1 + ν). (1.14) En pratique, on a 105< E < 1010 et 0 < ν < 1 2.
Cette énergie est généralement utilisée en petites déformations en utilisant le tenseur de déformations linéarisé (1.8).
En utilisant la relation (1.11), nous pouvons obtenir le second tenseur de Piola-Kirchhoff caractérisé par
• Néo-Hookéen
Un autre matériau souvent utilisé en hyper-élasticité est celui du modèle néo-Hookéen. Il est caractérisé par
ψN H = µ 2(trC − 3) − µ log J + λ 2(log J ) 2. (1.16)
Les paramètres µ et λ sont les mêmes que ceux définis précédemment dans (1.14). Le second tenseur de Piola-Kirchhoff peut être obtenu de la relation (1.11) par
S = µ(I − C−1) + λ(log J )C−1. (1.17) • Mooney-Rivlin
Ce matériau est utilisé dans beaucoup de domaines d’applications surtout dans la pneu-matique. C’est un modèle hyper-élastique mais aussi non linéaire physiquement.
Pour définir ce potentiel d’énergie, nous avons besoin des premiers invariants du tenseur de Cauchy-Green C qui sont donnés par
I1= C : I , I2= 1 2(I
2
1 − C : C) et I3 = det(C). (1.18) Afin de simplifier l’écriture nous allons introduire un nouveau tenseur de Green-Lagrange noté ˆC et un nouveau tenseur de déformations ˆF définis par
ˆ F = J −1 3 F et C = J 2 3FˆTF = Iˆ 1 3 3C.ˆ
Nous notons les premiers invariants du nouveau tenseur ˆC par J1, J2 et J3. Ils sont obtenus à partir de la relation (1.18) en remplaçant C par ˆC. On peut voir facilement que J3 est égal à 1.
Ainsi, l’énergie est définie par
ψM R= c10(J1− 3) + c01(J2− 3) + 1
2k(J − 1)
2, (1.19)
où k est le module d’incompressibilité, c01et c10sont les paramètres du matériau. Le second tenseur de Piola-Kirchhoff associé est alors
S = 2c10 ∂J1 ∂C + 2c01 ∂J2 ∂C + 2k(J − 1) ∂J ∂C. (1.20)
D’autres types de matériaux sont aussi utilisés dans la littérature, on peut se référer à [44,41].
1.2
Problème d’élasticité
Dans cette section, nous présentons le problème d’élasticité dans sa globalité. Nous présen-terons la problématique puis nous définirons la formulation variationnelle avec déplacement seulement et celle mixte (en déplacement-pression). Ces problèmes étant généralement non linéaires, nous décrirons les étapes de linéarisation pour la résolution.
1.2.1 Problématique
Un corps déformable occupe dans une configuration de référence, un ouvert Ω inclus dans Rd avec d = 2, 3. La frontière de Ω est divisée en deux parties disjointes ΓD et ΓN (voir Figure 1.2). Le corps considéré étant élastique, les contraintes, définies par (1.9), seront ca-ractérisées par une loi constitutive établie par la relation (1.11). Nous négligeons les termes d’inertie et considérons le problème quasi-statique.
Figure 1.2 – Description du problème d’élasticité
On impose sur les parties γD et γN associées aux surfaces ΓD et ΓN dans la configuration déformée, un champ de déplacement uD respectivement des forces surfaciques f1. Le corps Ω est soumis à des forces externes f0, nous supposons pour l’instant qu’il n y ait pas de contact. L’état du système est complètement déterminé par (u, σ) jouant le rôle des inconnues pour le problème élastique. Elles doivent satisfaire à :
— l’équation d’équilibre
−∇ · σ = f0, dans ω (1.21)
— les conditions aux limites géométriques (ou de Dirichlet)
u = uD, sur γD (1.22)
— les conditions aux limites mécaniques
σ(u) · n = f1, sur γN. (1.23)
Pour simplifier notre démarche, nous posons uD = 0 et pour éviter que le corps se déplace librement dans l’espace comme un corps rigide, nous supposons que γD soit de mesure non nulle pour qu’il ait au moins une force agissant sur le corps.
1.2.2 Formulation variationnelle
Nous utilisons le repère lagrangien. De ce fait, ces équations définies dans la configuration déformée doivent être transformées dans celle de référence en utilisant les transformations appropriées étudiées précédemment (voir [40]). Ainsi le système est équivalent à celui défini sur la configuration initiale suivant :
−∇ · Π = F0, dans Ω
u = 0, sur ΓD (1.24)
Π · N = F1, sur ΓN
où F0 = J f0 et F1 = Jsf1 représentent les transformations des forces mécaniques dans la configuration initiale.
Formulation en déplacement seulement
Nous supposons maintenant que les forces f0 et f1 sont assez régulières c’est-à-dire que f0 ∈ L2(Ω) d et f1 ∈ H12(ΓN) d , (1.25)
et définissons l’espace admissible des déplacements V comme étant V =nv ∈ H1(Ω)tel que v = 0 sur ΓD
o
. (1.26)
En multipliant l’équation d’équilibre par une fonction vectorielle test w dans V et en intégrant sur le domaine Ω, on obtient l’égalité suivante
− Z Ω (∇ · Π) · w dV = Z Ω F0· w dV. (1.27)
En intégrant par parties le terme de la gauche de (1.27), on obtient Z Ω (∇ · Π) · w dV = − Z Ω Π : ∇Xw dV + Z Γ (Π · N) · w dA.
En tenant compte de l’espace admissible V défini dans (1.26) et de la condition au bord dans (1.24), on obtient Z Ω Π : ∇Xw dV = Z Ω F0· w dV + Z ΓN F1· w dA.
Explicitement, la formulation sur la configuration non déformée est de trouver u dans V telle que Z Ω(F · S) : ∇ Xw dV = Z Ω F0· w dV + Z ΓN F1· w dA, ∀w ∈ V.
La fonction w → Z Ω
F0· w dV + Z
ΓN
F1· w dA est linéaire et continue dans V . Alors, par le théorème de représentation de Riesz [45], il existe une forme linéaire f dans V telle que
hf , wi = Z Ω F0· w dV + Z ΓN F1· w dA, ∀w ∈ V.
Comme S est non linéaire par rapport aux déplacements, on introduit un opérateur A dépen-dant de u tel que
hA(u)u, wi = Z
Ω
(F · S) : ∇Xw dV, ∀w ∈ V. (1.28) Ainsi, on peut réécrire le problème variationnel (1.28) sous la forme
(
trouver u dans V tel que
hA(u)u, wi = hf , wi, ∀w ∈ V. (1.29)
Remarque : Sous l’hypothèse des petites déformations, les géométries Ω et ω sont presque identiques. De ce fait, la transformation sur la géométrie initiale n’est pas nécessaire, les tenseurs de contraintes sont identiques et le problème dans la configuration initiale est alors considéré. Puisque le tenseur de déformation linéarisé est utilisé, l’opérateur A ne dépend plus des déplacements, ceci entraînant une formulation variationnelle linéaire :
hAu, wi = hf , wi, ∀w ∈ V. (1.30)
Avant de linéariser le problème (1.29), nous le réécrivons sous la forme simple suivante
R(u, w) = 0 (1.31)
et utilisons la méthode de Newton pour la linéarisation.
Tout d’abord, on définit ak, un opérateur bilinéaire continue caractérisant la dérivée de R par rapport à la variable u et donnée par
ak(δu, w) = ∂R(uk, w) ∂u · δu = Z Ω S(uk) : ∇TX(δu) · ∇Xw dV + Z Ω C(uk) : FT(uk) · ∇X(δu) : FT(uk) · ∇Xw dV
et une forme linéaire définissant le terme résiduel, rk(w) = −R(uk, w). Ainsi, la résolution peut alors se résumer par l’algorithme suivant
Algorithme 1 Résolution du problème en déplacement seul
1: Choisir u0
2: Pour k = 0, 1, . . ., jusqu’à convergence, faire
— Résoudre le problème linéaire
ak(δu, w) = rk(w) — Mettre à jour la solution
uk+1 = uk+ δu
Remarque : La coercivité de l’opérateur ak, pour tout uk, définie par la relation
ak(w, w) ≥ αkwk2 ∀w ∈ V, (1.32)
avec α une constante strictement positive, garantie l’unicité de la solution. On peut interpréter cette condition comme portant sur la nature du matériau. Ainsi en grandes déformations, cette relation de coercivité n’est pas toujours assurée. À l’exemple du matériau de Mooney-Rivlin (1.20), pour lequel on perd la coercivité lorsque le module d’incompressibilité est très grand. Cependant, en petites déformations, l’existence et l’unicité de la solution sont toujours garanties du fait de l’inégalité de Korn (voir [38]).
Formulation mixte (déplacement-pression)
Lorsque le coefficient de Poisson pour les modèles de Saint-Venant Kirchhoff et néo-Hookéen tend vers 1
2 (ou lorsque le module de compressibilité de la loi de Mooney-Rivlin devient très grand), le matériau est dit quasi-incompressible (ou incompressible). Il se déforme alors tout en préservant son volume. Ceci se traduit par la relation J ≈ 1 pour le cas quasi-incompressible et J = 1 pour le cas incompressible. Dans ces cas, lorsque l’on résout le problème avec la for-mulation en déplacement seul, on observe souvent des problèmes dit de verrouillage numérique qui se traduisent par une rigidité artificielle du matériau et des déplacements erronés. Dans ces situations, la formulation mixte en déplacement et pression est suggérée. Notons que cette seconde formulation n’est pas la seule utilisée dans la littérature (voir [40,46]).
Pour simplifier notre démarche, nous considérons le modèle de Mooney-Rivlin pour la suite. Toutefois le raisonnement présenté ici s’applique à toute autre loi de comportement. Pour commencer, nous allons introduire la pression hydrostatique qui sert de multiplicateur de Lagrange lié à la minimisation de (1.37) et défini par
p = −k(J − 1) (1.33)
et un tenseur S0
déduit du second tenseur de Piola-Kirchhoff par la relation S = S
0
Ainsi, en utilisant la relation (1.28) et la condition (1.33), la formulation variationnelle mixte est alors de trouver (u, p) ∈ (V, Q) avec Q = L2(Ω)telle que
Z Ω (F · S0) : ∇Xw dV − Z Ω pJ F−T: ∇Xw dV = Z Ω F0· w dV + Z ΓN F1· w dA − Z Ω (J − 1)q dV − Z Ω 1 kpq dV = 0 (1.35) que nous réécrivons sous une forme compacte par
R1((u, p), w) = 0, R2((u, p), q) = 0.
Comme pour la formulation en déplacement seul, ce problème est non linéaire et sa résolution sera basée sur la méthode de Newton. Cette linéarisation, qui conduit à la solution d’une suite de problèmes quadratiques à contrainte linéaire, se retrouvera aussi dans le traitement du contact. On y référera sous le vocable d’Optimisation Quadratique Successive (OQS ou, en anglais, sequential quadratic programming SQP).
Soit les opérateurs bilinéaires et continus ak, bk et ck, représentant les entrées de la matrice jacobienne symétrique deR1((·, ·), w), R2((·, ·), q) et définis par :
ak(δu, w) = ∂R1((uk, pk), w) ∂u · δu = Z Ω S 0 (uk) : ∇TX(δu) · ∇Xw dV + Z Ω C(uk) : FT(u k) · ∇X(δu) :FT(uk) · ∇Xw dV, bk(δp, w) = ∂R1((uk, pk), w) ∂p · δp = − Z Ω J δpF−T(uk) : ∇Xw dV ck(δp, q) = ∂R2((uk, pk), q) ∂p · δp = − Z Ω 1 k(δp)q dV.
Et les opérateurs r1,k et r2,k linéaires, continus, définis par r1,k(w) = −R1
(uk, pk), w
Algorithme 2 Résolution du problème d’élasticité mixte
1: Choisir u0 et p0
2: Pour k = 0, 1, . . ., jusqu’à convergence, faire
— Résoudre le problème linéaire
ak(δu, w) + bk(δp, w) = r1,k(w), bk(q, δu) + ck(δp, q) = r2,k(q). — Mettre à jour la solution
uk+1= uk+ δu et pk+1= pk+ δp.
Remarque L’existence et l’unicité de la solution du problème linéaire dépend en plus de la coercivité de l’opérateur ak définie par la relation (1.32), de la condition inf–sup définie par l’existence d’une constante β strictement positive telle que
inf v∈Vsupq∈Q
b(q, v) kvkVkqkQ
≥ β. (1.36)
De même que pour la formulation en déplacement seul, le problème de l’absence possible de coercivité pour l’opérateur ak se pose. Si la coercivité dépend des propriétés du matériau, la condition inf–sup quand à elle dépend du domaine Ω (voir [20]).
Problème de minimisation
Sans élaborer sur les différentes approches, rappelons qu’en vertu du principe des travaux virtuels, voir Bonet [42, chapitre 6], la formulation en déplacement seulement et la formulation mixte qui précèdent correspondent à la caractérisation de l’optimalité de l’énergie potentielle totale du système physique, notée J. Les travaux virtuels prescrivant que les déplacements u minimisent J (w) = Z Ω ψ(w) − Z Ω F0· wdV − Z ΓN F1· wdA, (1.37)
avec ψ le potentiel d’énergie associé au matériau. Dans le cas particulier de l’élasticité linéaire, l’énergie J(w) prend la forme simple d’une fonctionnelle quadratique en w définie par
J (w) = 1
2hAw, wi − hf , wi ∀w ∈ V. (1.38)
1.3
Problème discret
Dans ce travail, la méthode des éléments finis est retenue pour l’approximation des solutions. Pour des détails concernant la méthode, nous référons à [11, 42, 47,40]. Soit Ωh une discré-tisation de Ω, c’est-à-dire un maillage composé de triangles ou de quadrangles dans le cas
bidimensionnel et de tétraèdres ou d’hexaèdres dans le cas tridimensionnel. Le paramètre h représente ici la longueur maximale des arêtes du maillage constituant le domaine Ωh. Nous introduisons les sous espaces de dimension finie Vh de V et Qh de Q dont les bases sont (Nui)1<i<n1 et (N
p
j)1<j<n2 respectivement, définies par
Vh= V ect(Nui)1<i<n1 et Qh= V ect(N
p
j)1<j<n2 (1.39)
alors les approximations uh de u et ph de p s’écrivent sous la forme
uh = n1 X i=1 uiNui et ph = n2 X j=1 pjNjp (1.40) où u = (u1, · · · , un1) T et p = (p 1, · · · , pn2)
T sont les vecteurs d’inconnues.
En utilisant ces approximations dans les formulations variationnelles (1.32) et (1.36), on ob-tient un système algébrique linéaire (dont la matrice dépend de l’approximation à l’itération précédente de la méthode de Newton dans le cas de matériau non linéaire).
• Formulation en déplacement seulement
La formulation approchée de l’équation (1.32) est alors de (
trouver uh∈ Vh tel que a(uh, wh) = r(wh) ∀wh∈ Vh.
En utilisant la relation (1.40) et en prenant wh pour chaque Nui , nous pourrons l’écrire sous la forme algébrique suivante
Ku = r. (1.41)
• Formulation mixte
Le problème mixte approché de l’équation (1.36) est :
trouver (uh, ph) ∈ Vh× Qh tel que a(uh, wh) + b(ph, wh) = r1(wh) ∀wh ∈ Vh b(qh, uh) + c(ph, qh) = r2(qh) ∀qh ∈ Qh
et en utilisant les fonctions de bases, nous aurons à résoudre le système matriciel de la forme K BT B −1kM ! δu δp ! = r1 r2 ! . (1.42)
inf–sup (1.36) devra aussi être respectée pour assurer l’existence d’une solution (voir [20]). Cette dernière condition impose des restrictions sur le choix de discrétisation des espaces de déplacements et de pression. Il est montré dans [20] que la combinaison d’une interpolation quadratique pour le déplacement et linéaire pour la pression est adéquate pour la condition inf–sup et donne des résultats précis. D’autres choix sont possibles, mais nous prenons géné-ralement cette discrétisation dans les exemples numériques pour la résolution des problèmes d’élasticité en formulation mixte.
Conséquence de la perte possible de coercivité : La définie positivité de la matrice K assurant son inversibilité n’est pas toujours garantie. Il peut même arriver, pour certains para-mètres du matériau, que la matrice soit singulière (non inversible). La solution approximative initiale u0, point de départ de notre méthode de Newton, doit être bien choisie afin d’éviter certains problèmes de bifurcation.
1.4
Résolution du système matriciel
De façon générique, nous pouvons alors dire qu’à chaque itération de la méthode de Newton, pour le problème en déplacement comme en mixte, le système algébrique à résoudre est de la forme :
Au = b, (1.43)
où A est une matrice de taille n × n, n représentant le nombre d’inconnues du système et le second membre b est un vecteur de dimension n. La matrice A est généralement inversible et u est la solution du problème.
Dans le milieu industriel, les méthodes de prédilection sont les méthodes dites directes. Ré-putées "robustes", elles ne demandent presque aucune connaissance à priori du système algé-brique à résoudre. Elles donnent une solution de bonne précision (voir [48]) pour un problème de la forme de (1.43) raisonnablement bien conditionné. Toutefois, elles ont l’inconvénient de demander beaucoup d’espace mémoire et de temps de calcul pour un problème de grande taille. Or, dans les problèmes d’ingénierie, particulièrement de mécanique des structures dont la géométrie est tridimensionnelle, le nombre d’inconnues est très grand. Face aux exigences en temps de calcul et en stockage mémoire de ces méthodes, nous sommes confrontés au dilemme de déployer des ressources matérielles importantes (et qui ne pourront qu’augmenter) ou de limiter la complexité et la précision des résultats.
Les méthodes itératives donnent une solution approximative nécessitant généralement un temps de calcul inférieur à celui des méthodes directes. Leur inconvénient majeur étant que la convergence est fortement liée au conditionnement du système (structure et entrées du système). Ces méthodes nécessitent souvent des techniques non triviales pour obtenir une convergence performante. L’utilisation de ces méthodes est donc plus complexe et elles sont fréquemment jugées "fragiles" en comparaison des méthodes directes. Toutefois, les possibilités
accrues quand aux dimensions de système et les gains en performance qu’offrent les méthodes itératives rendent ces dernières attrayantes dans le contexte de problème de grande taille. Nous présenterons quelques-unes de ces méthodes.
La littérature concernant les méthodes directes et itératives est grande, mentionnons [31,48,
29, 49, 30, 50]. Nous nous permettrons de ne faire qu’un survol rapide des caractéristiques essentielles de ces deux familles de méthodes.
1.4.1 Méthodes directes
Les méthodes directes [51,29,49] sont fréquemment utilisées car elles donnent la solution en un nombre fini d’opérations. Ces méthodes reposent sur une décomposition de la matrice A en un produit de matrices généralement inversibles. La plus répandue de ces décompositions s’écrit
A = P LU, (1.44)
où P est une matrice de permutation (P−1 = PT) ; L est une matrice triangulaire inférieure et U une matrice triangulaire supérieure.
De ce fait, la résolution se déroulera suivant les étapes :
1. Décomposition de A, P LUu = b, ˜b = PTbentraîne LUu = ˜b 2. Résoudre Ly = ˜b
3. Résoudre Uu = y ce qui implique u = U−1L−1(PTb)
Les matrices L et U étant triangulaires, on résout par la méthode de descente pour l’étape 2 et de remontée pour l’étape 3. En général, la décomposition est la partie la plus coûteuse en nombre d’opérations, toutefois celle-ci est indépendante du second membre b. Une fois la décomposition faite, seul les étapes de descente et de remontée sont nécessaires pour résoudre le système (1.43). Sous sa forme générale, cette méthode dite méthode LU s’apparente à l’éli-mination de Gauss. Une variante particulière est développée lorsque la matrice est symétrique définie positive, c’est la méthode de Cholesky. Dans cette dernière, on décompose la matrice A en produit LLT.
1.4.2 Méthodes itératives
Les méthodes itératives (voir [30, 47, 31]) permettent d’atteindre la solution d’un système linéaire comme la limite d’une suite de solutions approchées. Elles sont moins gourmandes en mémoire que les méthodes directes car elles ne font appel qu’à des produits matrices vecteurs. Pour les systèmes de grande taille, lorsque bien choisies et configurées, elles sont aussi plus efficaces en temps de calcul.
La construction de ces méthodes sera donc entièrement inspirée de la production d’une suite de vecteurs {uk} telle que
u = lim
k−→∞uk. (1.45)
Ces méthodes se repartissent en deux grandes catégories. Notons que cette catégorisation et la nomenclature qui en découle ne font pas l’unanimité, toutefois elle nous permettra de faire un survol rapide des méthodes itératives. On retrouve d’abord les approches basées sur un point fixe qu’on appellera méthodes itératives linéaires comprenant les méthodes stationnaires et les méthodes instationnaires tirées de la méthode d’optimisation appelée méthode du gradient. La seconde catégorie, nommée méthodes de Krylov est inspirée de la minimisation d’une forme quadratique et de la méthode d’optimisation dite du gradient conjugué. Soulignons qu’il n’est pas toujours possible de garantir la convergence de ces méthodes et que cette convergence sera presque assurément dépendante de la nature de la matrice A. Nous allons faire une présentation brève de quelques-unes d’entre elles.
Méthodes linéaires
Les méthodes itératives linéaires (voir [31, 51, 52]) reposent sur une décomposition de la matrice A = M −N où M est une matrice inversible. L’idée est alors de produire une équation de point fixe grâce à l’identité Au = Mu − Nu = b, ce qui implique que Mu = Nu + b d’où
u = M−1N u + M−1b = Bu + c.
Nous pourrons alors prendre la méthode itérative comme
uk+1= Buk+ c, k = 0, 1, 2, · · · . (1.46) Évidemment cette méthode converge quelque soit la donnée initiale u0si B est une contraction, c’est-à-dire lorsque kBk < 1.
Utilisant une décomposition simple de la matrice A, on retrouve trois méthodes de base : Jacobi, Gauss-Seidel et la méthode de relaxation dite SOR (pour successive over relaxation). Pour les définir, on décompose A en une somme de matrices D − L − U où D est la partie diagonale et où (−L) et (−U) sont les parties triangulaires inférieure et supérieure de A. En supposant que D est inversible (i.e. A n’a pas d’éléments nuls sur sa diagonale), la méthode de Jacobi se base sur M = D, Gauss-Seidel M = D − L. La méthode de relaxation résout wAu = wb avec la décomposition M = D − wL où w est un paramètre de relaxation ayant pour but d’accélérer la convergence. On a les itérations
Jacobi : Duk+1= (L + U )uk+ b, (1.47)
Gauss-Seidel : (D − L)uk+1= U uk+ b, (1.48)
