HAL Id: inria-00000083
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Submitted on 26 May 2005
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Voisinage consistant sur des configurations partielles pour la résolution de problèmes réels de grande taille
Djamal Habet, Audrey Dupont, Michel Vasquez
To cite this version:
Djamal Habet, Audrey Dupont, Michel Vasquez. Voisinage consistant sur des configurations partielles pour la résolution de problèmes réels de grande taille. Premières Journées Francophones de Program- mation par Contraintes, CRIL - CNRS FRE 2499, Jun 2005, Lens, pp.439-442. �inria-00000083�
Voisinage onsistant sur des ongurations
partielles pour la résolution de problèmes réels
de grande taille
Djamal Habet 1
Audrey Dupont 2
Mihel Vasquez 2
1
LERIA, Université d'Angers,2 bd Lavoisier, 49045,Angers Cedex 01
2
Eole des Mines d'Alès EERIE LGI2P,Par S. G.Besse, 30035,Nîmes Cedex 01
Djamal.Habetuniv-angers.fr Audrey.Dupontema.fr Mihel.Vasquezema.fr
Résumé
Nousprésentonsuneapprohegénéralepourlaréso-
lutiondesproblèmesd'optimisationombinatoire.Dans
ebut,nousonevonsunvoisinage,quenousappelons
onsistant,telqueàhaquenouvelleinstaniationd'une
variable,ertainesautresvariables,préalablementae-
tées,sontdésinstaniéesandemaintenirlaonsistane
des ontraintes. Ainsi, au lieu d'autoriser des mouve-
mentsinfaisablessurdesongurationsomplètes,nous
parourons uniquementdesongurations partielles et
onsistantesjusqu'àatteindreunesolutionomplète.
Abstrat
Wepresentageneralapproahforsolvingonstraint
optimizationproblems.Inthisorder,wedesignaonsist-
entneighborhoodwhih,aftereahvariableassignment,
deletes oniting variablesto maintainthe onstraint
onsisteny.Hene,insteadofallowinginfeasiblemoves
onompleteongurations,weworkonlyonpartialonsi-
stentonesuntilasolutionisfound.
1 Introdution
Nousprésentonsune métode derésolutiondespro-
blèmes d'optimisation ombinatoire de grande taille,
formaliséspardesréseauxdeontraintesdefaiblearité;
le plus souvent binaire, et dont le temps de résolu-
tion est généralement limité. Cette méthode est ba-
sée sur un algorithmede reherhetabou [1℄ visitant
un voisinageonstitué de ongurations partielles et
onsistantes.Laonsistaneestmaintenueparlapro-
pagationativedesontraintesduproblème.En eet,
àhaquenouvelleinstaniationd'unevariable,onsup-
primelesvariablesquivioleraientertainesontraintes.
Ainsi, aulieu d'autoriserdes mouvements infaisables
sur les ongurations omplètes, on onsidère seule-
mentdesongurationspartielleset onsistantesjus-
qu'à la onstrution d'une onguration omplète et
onsistante.
Dans et artile, nous dénissons d'abord, dans la
setion 2, le formalisme sp (ConstraintSatisfation
Problem). Dans la setion 3, nous présentons notre
méthode de résolution, dite de voisinage onsistant.
Enn,lasetion4onlutlepapier.
2 Le formalisme CSP
Unproblèmedesatisfationdeontraintes(sp)[5,
4℄estdéniparuntripletR=(X;D;C)appeléréseau
deontraintes, ave:
1. unensembledenvariablesX =fx
1
;;x
n g;
2. unensembledendomainesnisD=fD
1
;;D
n g,
où D
i
est l'ensemble des valeurs possibles de la
variablex
i
;
3. un ensemble de e ontraintes C = fC
1
;;C
e g.
ChaqueontrainteC
i
d'arité qestdénie par:
lesous-ensembleordonné(x
i1
;;x
iq )desq
variablessurlesquelleselleporte;
lesous-ensembleduproduitCartésienD
i
1
D
i
q
quispéiequellessontlesvaleurs
desvariables de (x
i
1
;;x
i
q
) qui sont om-
patiblesentreelles.
Leproblèmeonsisteàtrouverlesvaleursàassignerà
touteslesvariablesdel'ensembleXtellesqu'ellessatis-
fassenttouteslesontraintesdel'ensembleC,oud'éta-
blirqu'unetelleaetationn'existepas.L'ensembleS
de toutes les ongurations possibles (espae de re-
herhe)estleproduitartésienS =D
1
D
n de
taillejSj=jD jjD j.
Lors de la résolution de sp exprimés par un ré-
seau de ontraintes R=(X;D;C), lesalgorithmes de
reherheloaletravaillentsouventsuruneinstania-
tionomplète des variablesduproblèmeet eetuent
unesériederéparationssurelle-ijusqu'àl'aboutisse-
mentàunesolutionsatisfaisanttouteslesontraintes
C.Ainsi,lesongurationsvisitéeslorsd'unproessus
dereherheloale sontomplèteset souventinohé-
rentesavelesontraintes.
Notreidéeestdeonevoirunereherheloalequi
parourtuniquementdesongurationsquimaintien-
draient la satisfation des ontraintes. De ela, nous
onsidéronsdurantlareherhedesinstaniationspar-
tielles où ertaines variables ne sont pas enore af-
fetéesmaislesvariablesinstaniéesvérientbien les
ontraintesduproblème.Pourefaire,àhaqueétape
de lareherhe, on aete une nouvelle valeurà une
variablenoninstaniée touten réparantlaongura-
tionainsionstituée.Touteslesongurationsvisitées
sontalorsonsistanteset'estpouretteraisonqu'on
parled'unvoisinage onsistant.
Nousdérivonsi-dessous lesdiérentes étapesqui
nousmèneronsàlaonstrutiond'untelvoisinageet
àsonexploitationparunalgorithme dereherheta-
bou. Cette desription est établie sur des réseaux de
ontraintesbinaires.
3.1 Congurationpartielle
Habituellement,ondénituneongurationparune
aetationàtouteslesvariablesduproblème,onparle
alorsd'uneonguration(instaniation)omplète.L'es-
paedereherheSestomposédel'ensembledetoutes
lesongurationspossibles.Cetteongurationestre-
présentéeparleveteursdéritommesuit:
s=(v
1
;v
2
;;v
n )oùv
i 2D
i
;i=1n:
Dansnotreas,l'espaedereherheest onstituéde
ongurations partielles exprimées par s = (v
i1
; v
i2
;
;v
in
s
),tellesquen
s
variablessontinstaniées,n
s
=
jsjn. Toutefois,ande revenir àlareprésentation
lassique d'uneinstaniation, on omplète une on-
gurationpartielle par l'ajout d'une nouvellevaleuru
(u pour unonstrained: non-ontrainte) àhaquedo-
maine D
k
pour indiquer que la variable x
k
est libre
(noninstaniée).Danslasuite,lesnotationssuivantes
sontutilisées:
v
i
est la valeur ourante de la i eme
variable x
i ,
i=1n;
D
i
[k℄ est lak eme
valeurde D
i
utiliséepourpar-
ouriredomaine.
Comme on l'a indiqué préédemment, le voisinage
exploréparunereherheloaleestonsistant.Lepas-
saged'uneongurationàune autresefait parl'ins-
taniation d'une variable non instaniée, dont la va-
leur est xéeà u,et la désinstaniationdesvariables
quiauserontlaviolationdeertainesontraintes.Ces
désinstaniations sont opéréespar lapropagation des
ontraintessurlesvariablesvoisinesàelleréemment
instaniée.
Un algorithmedereherhetabousur unvoisinage
onsistantentame donlareherheparune ongu-
rationinitialepartielleetonsistanteettented'abou-
tir àune solutionomplète. Guidé pare but, le ri-
tère d'évaluation d'une onguration s, ainsi que de
sonvoisinageN(s),estlenombredevariablesinstan-
iéesdanss:lafontionobjetif àmaximiserestdon
f(s)=jsj,sousl'ensembledesontraintesC.
Toutefois,aulieudealulerf(s),onomptabilise,
grâe à une table Æ, et pour toute variable libre x
i ,
lenombre devariablesàsupprimer (àdésinstanier),
Æ(i;k),six
i
estxéeàlavaleurD
i
[k℄.Cealulsefait
par la propagation impliite des ontraintes portant
surx
i
.LatableÆestaluléedynamiquement(omme
nousallonsledévelopperplusloin)àhaquenouvelle
instaniation et onstitue de e fait un historiquede
lareherhe.Àpartirdeeséléments,l'évaluationdes
ongurations voisinesà s, par latable Æ est omme
déritedansl'algorithme1.
Algorithme1 :Évaluation_N(s)
début
Æmin n;Æ :tabou
min
n;Land ;;
pour toutx
i
2s,telquev
i
=ufaire
[1℄ pourk=1jDijfaire
siÆ(i;k)<Æ
min alors
Æ
min
Æ(i;k);
[2℄ si(xi;Di[k℄)n'estpastabou alors
siÆ(i;k)<Æ :tabou
min
alors
Æ :tabou
min
Æ(i;k);
L
and (x
i
;D
i [k℄);
sinon
siÆ(i;k)=Æ :tabu
min alors
Land Land[f(xi;Di[k℄)g;
retourner(L
and ,Æ
min )
n
Æ
min
est le nombreminimal de variables à suppri-
mer parmi tousles voisins de la ongurations, par
ontre, Æ :tabou
min
est biaiséparle aratèretaboude la
reherhe. Cette distintion est expliquée ultérieure-
ment. Enn,L
and
est lalistedesandidats aumou-
vement(x
i
;D
i
[k℄),telqueÆ(i;k)=Æ :tabu
.
desvariableslibresdansungraphedeontraintessus-
eptiblement dense néessiterait un temps de alul
élevé. An d'assurer une implémentation eae de
etteétaped'évaluation ainsiquel'étapedepropaga-
tion de mouvement, nous avonseu reoursaux prin-
ipes du alul inrémental. Nous onsarons la se-
tion3.5 àladesriptiondesméanismesmisenplae
àetten.
3.3 Heuristiquede mouvement
Unmouvement,notémv(x
i
;v
i
),àpartird'uneon-
guration s, onsiste à aeter la valeur v
i
à la va-
riable x
i
, préalablement instaniée à u, puis à dés-
instanierrvariablesx
j1
;;x
jr
,préalablementae-
tées de v
j1
;;v
jr
, respetivement. Ces désinstania-
tionssontnéessairesarlesvaleursv
i
;;v
jr
desva-
riables x
j1
;;x
jr
ne sont pas des supports pour la
valeurv
i de x
i
parlesontraintes C
ij1
;;C
ijr . Elles
sontaomplies par lesmouvementsmv(v
j1
; u);;
mv(v
j
r
; u).La ongurationrésultante de es opéra-
tionsests 0
etonnotes 0
=s+mv(x
i
;v
i
).Cependant,
an demieuxs'approherd'unesolutionomplète, le
mouvementminimisantlenombrede variablesàdés-
instanier est séletionné.Ces mouvementsandidats
sontontenusdanslalisteL
and
retournéeparl'algo-
rithme 1telquer=Æ :tabu
min .
Contrairement au mouvement lassique, où la ré-
parations'eetueuniquementsuruneseulevariable,
e mouvement instaniation + désinstaniation(s)"
qu'on vientdedénirestmulti-attributs(unattribut
orrespondàunevariablepartiipantaumouvement).
Ilporte,parsasémantique,sur plusieursvariableset
permetainsiuneexplorationpluslargedel'espaede
reherhe.
3.4 Gestion delalistetabou
Étantdonné qu'unmouvement est multi-attributs,
lesrisquesd'ourrenedeyles dansl'espaedere-
herhesontpluttimportants.Andepareràlapro-
dution de telsas, onfait intervenir uneliste tabou
quivaontenir,toutaulongdelareherhe,desmou-
vementsinterdits.Pluspréisément,pouréviterdedé-
fairel'instaniation (x
i
;v
i
)prématurément,onlasse
taboulesmouvementsmv(x
j1
;v
j1
);;mv(x
jr
;v
jr )
durantuneertaineduréeDT donnéepar:
DT =freq(x
k
;v
k
)ettabou(x
k
;v
k
)=iter+DT:
Où freq(x
k
; v
k
)est le nombred'aetations de v
k à
x
k
depuisle débutdelareherhetabou.Laprise en
omptedeestatuttaboulorsdel'évaluationdeN(s)
(voir algorithme 1) est indiquée par Æ :tabou
min
alulée
k
v
k
)silaongurations 0
produiteàpartirdesparun
tel mouvement (i.e. s 0
= s+mv(x
k
; v
k
)) améliore
stritementlaongurationlaplusomplète atteinte
depuisledébut delareherhe,s
.Autrementdit, si
js 0
j >js
j, et parl'appliationde e ritère d'aspira-
tion,lestatuttaboudemv(x
k
;v
k
)estlevé.Deefait,
laonditionàlaligne[2℄del'algorithme1orrespond
autesttabu(x
i
; D
i
[k℄)iter oujs 0
j>js
j.
3.5 Propagationdeontraintes
Cetteétapedepropagations'eetueendeuxphases.
Touteslesdeuxvisentàmettreàjour,defaçonohé-
rente,latableÆ.
Propager_v aleur(x
i
;v
i )
Cette fontion énumère les variables x
j
voisines à
x
i
par la ontrainte C
ij
et parourt leurs domaines
poursupprimer lesvaleursqui sontpasdes supports
dev
i
(ligne[1℄del'algorithme2).Cettesuppressionest
eetuéeendérémentantlavaleurDlibre
j
(initialisée
àjD
j
j)quiindiquelenombredevaleursvalidesdeD
j ).
Algorithme2:Propager_valeur(xi;vi)
début
pourtout x
j 2 (x
i )faire
pourk=1àjDjjfaire
[1℄ si(v
i
;D
j [k℄)2=C
ij alors
[2℄ siÆ(j;k)=0alors
Dl ibre
j
;
Æ(j;k)++;
si((vj6=u)et((vi;vj)2=Cij))alors
Ldel Ldel[fxjg;
retournerL
del
;
n
Enn,silavariablex
j
estpréalablementxéeàune
valeurv
j
6=uqui n'estpasunsupport dev
i alorsx
j
estrajoutéeàlisteL
del
desvariablesàdésinstanier.
Propager_u(x
j )
Par sa dénition, la valeur u (unonstrained) est
ohérenteave touteautrevaleurdesvariables deX.
Paronséquent,onparourtlesdomainesdesvariables
x
l 2 (x
j
) an de dérémenter lavaleur de Æ(l;k) si
l'anienne valeur v
j de x
j
n'était pas un support de
D
l
[k℄.Ainsi,sil'aetationdeD
l [k℄àx
l
nesupprimera
auune autre instaniation (i.e. Æ(l;k) = 0) alors le
nombredevaleursvalidesdeD
l
est inrémenté (ligne
[1℄del'algorithme3).
début
pourtoutx
l 2 (x
j )faire
pourk=1àjDljfaire
si(v
j
;D
l [k℄)2=C
jl
alors Æ(l ;k) ;
siÆ(l ;k)=0alors
[1℄ Dl ibre
l ++;
n
Conjointement,esdeux fontionsahèventlapro-
pagationde tout mouvement mv(x
i
;v
i
) sur le réseau
deontraintesRommeindiquédansl'algorithme4.
Algorithme4:Propager_mouvement(x
i
;v
i )
début
L
del
;;v
i D
i [k℄;
Ldel Propager_valeur(xi;vi);
tantqueL
del
6=;faire
xj hoix(Ldel);
Propager_u(x
j );
vj u;
n
3.6 Algorithmegénéral
Laombinaisondesélémentsdérits i-dessusnous
mèneaushémaderésolutiontabousurunvoisinage
onsistant présenté par l'algorithme suivant, et que
nousnommonsCN-Tabu(ConsistentNeighborhoodin
TabuSearh).
Algorithme5:CN-Tabu
début
s gl outon(S);s
s;
répéter
(Land;Æmin) Évaluation_N(s);
siL
and
6=;alors
iter++;
(xi;Di[k℄) Seletion_Aléatoire(L
and );
Propager_mouvement(x
i
;v
i );
freq(xi;vi)++;
sijsj>js
jalors
s
s;
sijs
j=nalors
retourners
;
jusqu'àLand=;;
retourners
;
n
L'algorithmeglouton(S)tented'instaniersuessi-
vement lesvariables libres tant qu'auune ontrainte
n'estviolée.S'ilrenvoieuneongurationpartiellealors
lareherhetaboutentedel'améliorerpouronstruire
4 Conlusion
Nous avons proposé dans et artile une approhe
hybrideentre lareherheloale etlapropagationde
ontraintespourtraiterdes problèmesd'optimisation
ombinatoire. Par le maintien ontinu de la onsis-
tanedesongurationsvisitées,etteméthodesesert
desontraintespourdénirladiretiondel'espaede
reherhe à explorer. Nous avons appliqué ette mé-
thode de voisinage onsistant àla résolution de plu-
sieursproblèmes(voir[6,8, 7,2℄).
Onretrouvedanslalittératuredestravauxutilisant
desongurationspartiellesdansunalgorithmedere-
herheloale,parexempledeision-repair [3℄.Cepen-
dant,parrestritiondunombredepages,ilestimpos-
sible d'eetuerdes omparaisonsave es approhes
proposées.Pourlamêmeraison,quelquesdétailsdela
méthodologieontétéomis.
En perspetivedeestravaux,nousnousintéresse-
ronsàl'appliationduvoisinageonsistantàd'autres
problèmesaadémiquesetindustriels,notamment,les
problèmes de satisabilité (SAT) et de olorationde
graphes.
Référenes
[1℄ F.GloverandM.Laguna. TabuSearh. JohnWiley&
Sons,1989.
[2℄ D. Habetand M. Vasquez. Saturatedand Consistent
Neighbourhood for Seleting and Sheduling Photo-
graphs of Agile Earth Observing Satellite. In Pro.
of the 5th Metaheuristis International Conferene
(MIC'2003),pages281286,2003.
[3℄ N. Jussien and O. Lhomme. Loal Searh With
ConstraintPropagationandConit-BasedHeuristis.
ArtiialIntelligene,139(1):2145,2002.
[4℄ A. K.Makworth. Constraint Satisfation. In S. C.
Shapiro,editor,Enylopediaof ArtiialIntelligene,
JohnWiley&Sons,NewYork,pages285293,1992.
[5℄ E.Tsang.FoundationsodConstraintSatisfation.Aa-
demiPress, 1993.
[6℄ M.Vasquez.ArConsistenyandTabuSearhforthe
FrequenyAssignementProblemwithPolarisation. In
Pro. of the 4th International Workshop on Integra-
tionof AIandORtehniques inConstraintProgram-
ming for Combinatorial Optimization Problems (CP-
AI-OR'02), pages359372, LeCroisi, Frane,marh
2002.
[7℄ M. VasquezandJ.K. Hao. A Heuristi Approahfor
AntennaPositioning inCellular Network. Journal of
Heuristis,7:443472, 2001.
[8℄ M. Vasquez and J.K. Hao. A Logi-Constrained
Knapsak Formulation and aTabuAlgorithmfor the
DailyPhotographShedulingofanEarthObservation
Satellite. Computational Optimization and Applia-
tions,20:137157, 2001.
