Linéarisation suivant la variable duale

À chaque itération de la méthode de Newton, on doit résoudre le problème (2.16) ; ce qui revient à résoudre un problème d’optimisation sous contraintes d’inégalité. Il existe dans la littérature des méthodes permettant de résoudre ce type de problème. La plus fréquente est celle dite de contraintes actives, en anglais active set strategy ou primal-dual active set strategy. L’idée est de transformer l’inégalité en une boucle d’égalité dépendant des points en contact. On obtient convergence de cette boucle lorsque l’ensemble actif devient stable. Pour plus de détails sur la méthode dans sa globalité, en théorie d’optimisation, nous nous référons à [68,69,70,71,72] et pour les problèmes de contact, on peut noter les travaux de P. Alart et A. Curnier [24] et ceux Hüeber et al. [73,74].

État de contact

Évidemment, l’ensemble des contraintes actives lié à l’état de contact évolue lors des itérations de la méthode. Nous dirons qu’un point ou nœud de la frontière esclave est actif lorsqu’il est en contact avec un autre point de la frontière maître. Il est dit inactif dans le cas contraire. L’état de contact d’un point est défini par la valeur du multiplicateur λnet le résidu du gap rn au point vérifiant la condition (2.17). Si le multiplicateur λnest nul et le résidu rnsupérieur à zéro alors le nœud est inactif. Par contre, si le résidu est négatif alors le gap est négatif et l’état est considéré actif. Si λn est strictement supérieur à zéro alors le nœud est considéré actif. Ainsi, nous pourrons définir un opérateur qui représente l’état de contact que nous noterons par P (λn, rn) =      0 si λn= 0 et rn≥ 0 (1) rn si λn= 0 et rn< 0 (2) rn si λn> 0 (3) (2.19)

Nous pouvons dire que le cas (1) correspond à un état inactif, les cas (2) et (3) représentent l’état actif. Nous pourrons facilement voir que la condition d’optimalité de Kuhn-Tucker (2.17)

peut être écrite par

λn≥ 0 et P (λn, rn) = 0. (2.20)

Remarque : Le cas (2) correspond à un nœud interpénétré, ce qui peut arriver au cours des itérations sur l’état de contact. Il disparaît lorsqu’on atteint la convergence.

Stratégie de contraintes actives

On note par AC l’ensemble des états actifs et IC l’ensemble des états inactifs qui représentent les indices des nœuds actifs respectivement inactifs définis par

AC = n x ∈ γC tel que λn> 0 ou (λn= 0 et rn≤ 0) o (2.21) I_C = nx ∈ γ_C tel que λ_n= 0 et rn> 0 o . (2.22)

La méthode des contraintes actives étudiée dans [16, chapitre 12] consiste à résoudre de manière itérative le problème      a0(δu, v) + hλn, v · ni = r0(v) ∀v ∈ V, P (λn, rn) = 0 et λn≥ 0. (2.23)

uniquement sur l’ensemble des nœuds actifs AC jusqu’à ce que ce dernier soit stable c’est-à-dire jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de changement d’état..

À cette fin, on résolvera de manière itérative le problème (2.23). On se donne une solu- tion approximative associée (δu0_{, λ}0

n) puis on détermine une correction (δδu, δλn) telle que (δu, λn) = (δu0+ δδu, λ0n+ δλn)et vérifiant pour tout v ∈ V et φn∈ Λn

    

a0(δδu, v) + hδλn, v · ni = r0(v) − a0(δu0, v) − hλ0n, v · ni, hδδu · n, φni = hg0n− δu0· n, φni et λn≥ 0.

(2.24)

Il est montré dans l’article d’Ito et al. [75] que la méthode de contraintes actives peut être interprétée comme une méthode de pseudo-Newton pour l’opérateur P (λn, rn) de (2.19). Pour terminer, la détermination du nouvel ensemble de contraintes actives ne se fait que pour les valeurs positives du multiplicateur. Définissons l’opérateur P+(λn) de projection de λn sur Λ+= {λn≥ 0}par

(P+(λn))(x) = max 0, λn(x)
. (2.25) C’est un opérateur de "positivité" dont l’appel précédera l’appel à l’opérateur P et la déter-

Algorithme 12 Stratégie de contraintes actives pour le problème sans frottement

1: Initialisation :

• Soit (up_{, λ}p

n)la solution du problème de contact à l’itération précédente de Newton • On définit les opérateurs ap et rp et le gap gnp associés au déplacement up

• Soient ru et rn tels que

hr_u, vi = r0(v) − hλpn, v · ni ∀v ∈ V hr_n, φni = hgpn, φni ∀φn∈ λn • On calcule P (λpn, rn) pour déterminer les ensembles AC et IC • On initialise la correction en déplacement : δu = 0

2: Pseudo-Newton :

• On résout le problème suivant sur AC uniquement    ap(δδu, v) + hδλn, v · ni = hru, vi ∀v ∈ V hδδu · n, φ_ni = hr_n, φni ∀φn∈ Λn (2.26)

• On met à jour les corrections

δu = δu + δδu λn = λn+ δλn • On recalcule les résidus ru et rn qui vérifient

hr_u, vi = rp(v) − ap(δu, v) − hλn, v · ni ∀v ∈ V hr_n, φni = hgnp − δu · n, φni ∀φn∈ λn

• On projette λn sur l’ensemble admissible Λ+ i.e λn= P+(λn)

• On calcule P (λ_n, rn) pour mettre à jour les ensembles AC et IC

3: Vérification de l’état :

• Si l’état est stable, on arrête le calcul • Sinon on retourne à l’étape 2

La stratégie de contraintes actives exposée ici est l’étape centrale la méthode de Newton géné- ralisée proposée précédemment. C’est l’état du système à l’itération de Newton précédente qui servira d’état de départ dans (2.23). L’Algoritihme12qui caractérise la stratégie de contraintes actives, présente donc l’essentiel des étapes nécessaires à chaque itération de Newton.

En résumé, le problème de contact étant non linéaire il est traité à l’aide d’une boucle de Newton. Pour le cas continu, une seconde boucle (contraintes actives) sera imbriquée dans la

première :

• Une boucle de Newton en u où les opérateurs a, r et le gap initial gn dépendant du déplacement précèdent sont calculés.

• Un pseudo-Newton (stratégie de contraintes actives) représentant une boucle en λnpour la résolution du problème d’inégalité (2.17).

2.1.5 Problème discret

Afin d’obtenir une approximation éléments finis, nous reprenons certains des éléments présen- tés à la section 1.3. Nous noterons par Λh ⊂ Λn l’espace d’approximation de la pression de contact.

Le choix de ces espaces doit bien sûr satisfaire à certaines conditions.

• En pratique, le matériau considéré est généralement incompressible et nécessite une formulation mixte. Ceci impose quelques restrictions dans le choix de Vh et de l’espace Qhassociée à la pression hydrostatique (voir [20] pour plus de détails). En pratique, pour les problèmes tridimensionnels, nous utilisons l’approximation de Taylor-Hood, qui est quadratique pour le déplacement et linéaire pour la pression hydrostatique. Néanmoins, il existe d’autres choix possibles.

• Le problème mixte (2.26) est un problème de type point de selle et le choix de Λ_h doit aussi satisfaire une condition inf-sup (voir [76] et [77] pour les détails de la condition inf– sup pour une formulation mixte en contact). Étant donné un déplacement quadratique, dans un modèle simplifié, El Abbasi et al. (voir [77]) ont obtenu une approximation stable dans H−1

2(Γ_C) pour les choix suivant d’espace d’approximation des multiplicateurs :

(1) interpolation égale à l’interpolation des déplacements : pour des déplacements (P2), des multiplicateurs quadratiques par éléments (P2)

(2) interpolation d’un ordre plus bas que l’interpolation des déplacements : pour des déplacements (P2), des multiplicateurs linéaires par élément (P1)

(3) interpolation de deux ordres plus bas que l’interpolation des déplacements : pour des déplacements (P2), des multiplicateurs constants par élément (P0)

Le premier choix donne une estimation d’erreurs optimale c’est-à-dire une convergence quadratique pour des solutions régulières. Les deux derniers choix sont d’ordre 3

2. Cepen- dant, pour le premier choix, la définition de la contrainte de positivité n’est pas évidente et le dernier a un comportement moins lisse que le choix (2). Ainsi, en pratique, nous utilisons des éléments linéaires pour Λh.

associés à Nu

i et Nλj. Utilisant les fonctions de base, nous écrirons alors uh = X i uiNui λnh = X j λjNλj

et notons λn et u les valeurs nodales (suivant la discrétisation de l’élément associé) de λnh et u_h définies par

λn = (λn)j u = (ui).

On introduit aussi nh pour l’approximation de la normale, dont le type d’interpolation est identique à celui de λnh. On note n la valeur nodale de la normale nh. On définit par la suite (. , .) le produit scalaire dans Rn avec n quelconque.

Le produit scalaire dans Λh est alors écrit en utilisant une matrice M définie par Mij = Z ΓC Nλ iNλj ds entraînant _Z ΓC λnhφnhds = (M λn, φn), ∀ λnh, φnh∈ Λh. (2.27) Cette matrice étant symétrique définie positive, nous pouvons alors définir le produit de dualité dans Λ0

h par M−1.

Analysons maintenant les inégalités : plusieurs possibilités dépendant du choix de la discré- tisation des espaces primal et dual existent (voir [78, 79]) pour définir les inégalités. Dans cette thèse, nous avons choisi de vérifier ponctuellement la condition sur le multiplicateur et faiblement la condition sur le gap.

• La condition λnh ≥ 0est remplacée par la condition λn≥ 0 i.e ((λn)j ≥ 0 ∀j). Notons que pour une approximation P1 les deux conditions sont identiques.

• La condition sur l’interpénétration, vh· nh ≥ 0, quand à elle, sera interprétée comme Z

ΓC

φnh(vh· nh) ds ≥ 0, ∀φnh≥ 0 (2.28) qui est une moyenne pondérée locale. De ce fait, la pénétration est permise aux nœuds de vh. Ainsi, nous pourrons introduire une matrice B définissant un opérateur de Vh dans Λ0 h par Z ΓC φnh(vh· nh) ds = (φn, Bv) avec Bij = Z ΓC Nλ iNuj · nh ds

Dans la thèse, nous considérons l’opérateur de projection de Vh dans Λh pour définir l’inégalité (2.28) autrement dit

vh· nh≥ 0 devient PΛhvh≥ 0.

Idéalement, il faudrait que PΛh soit une projection dans H 1

2(Γ_C). Nous utiliserons une

projection L2 _{ou même une approximation de cette projection. L’opérateur projection} PΛh de Vh dans Λh peut alors être défini par

Z ΓC φnh(PΛhvh) ds = Z ΓC φnh(vh· nh) ds.

En associant à l’opérateur de projection, la matrice du même nom, on aura (M φn, PΛhv) = (φn, Bv).

Comme M est symétrique, nous pouvons réécrire la relation précédente par (φn, M PΛhv) = (φn, Bv)

ce qui implique que

PΛh = M

−1

B. (2.29)

Le diagramme de la Figure2.5 permet de résumer la situation

Λh Vh Λ0_h V_h0 PΛh P T Λh B BT M M−1 ? 6  @ @ @ @ @ @ R - 

Figure 2.5 – Diagramme commutatif pour Vhespace de la variable primale et pour Λhespace de la variable duale.

Remarque : On peut utiliser une approximation diagonale M_D de M. Celle-ci peut être obtenue en remplaçant (2.27) par une quadrature de Newton-Cotes utilisant seulement les sommets de ΓC. Dans le cas de la discrétisation linéaire, on peut aussi utiliser une matrice dite condensée obtenue en sommant les colonnes de M. Ainsi, la projection

PΛhu = M

−1

D Bu

Terminons cette section en illustrant l’effet des choix de discrétisation et de traitement des inégalités. Pour cela, nous considérons le problème de contact glissant qui s’écrit

min vh∈Vh

J (vh) := a(vh, vh) − r(vh) sous la contrainte gn− vh· nh ≥ 0.

Nous considérons la contrainte au sens faible, ceci dit, nous aurons, pour tout φnh∈ Λh, Z ΓC  gn− vh· nh  φnhds = Z ΓC gnφnh ds − Z ΓC (vh· nh)φnhds ≥ 0.

En utilisant la définition de l’opérateur de projection PΛh, nous pouvons réécrire l’inégalité

sous la forme Z

ΓC

gn− PΛhvh
φnh ≥ 0, ∀φnh≥ 0 i.e gn− PΛhvh ≥ 0,

ce qui nous permet d’avoir le problème de minimisation suivant min

vh∈Vh

J (vh) := a(vh, vh) − r(vh) sous la contrainte gn− PΛhvh≥ 0.

Ainsi, comme l’opérateur a(·, ·) est symétrique et coercif, nous pouvons traduire le problème de contact glissant en un problème de point de selle

inf Vh sup Λh L(v_h, φnh) = 1 2a(uh, uh) − r(uh) − Z ΓC gn− PΛhuh
λnhds = 1 2a(uh, uh) − r(uh) − Z ΓC gnλnhds + Z ΓC (PΛhuh)λnh ds.

En définissant le vecteur ˆgn dit vecteur de gap intégré par (ˆgn)j = Z ΓC gnNλj ds, on aura _Z ΓC gnφnhds = (ˆgn, φn), ∀φnh∈ Λh, et en utilisant la définition des opérateurs PΛ, a(·, ·) et r(·), nous aurons

inf Vh sup Λh L(v_h, φnh) = 1 2ah(u, u) − rh(u) − (ˆgn, λn) + (M λn, M −1_Bu),

où nous avons introduit la version discrète de a(·, ·) et r(·) correspondant à ah(v, v) − rh(v) = a(vh, vh) − r(vh), ∀vh ∈ Vh.

Dans le cas particulier de l’élasticité linéaire, on aura une représentation simplifiée, en intro- duisant la matrice A associée à la forme quadratique. Puisque la matrice M est symétrique, nous aurons inf Vh sup Λh L(v_h, φn) = 1 2(Au, u) − (f, u) − (ˆgn, λn) + (λn, Bu).

Nous sommes presque en mesure de donner la forme du système linéaire (2.26) (c’est-à-dire le système discret à résoudre à chaque itération de la stratégie de contraintes actives). Il nous reste à définir l’ensemble actif et présenter sa prise en compte pour la résolution. La forme discrète de l’ensemble IC et de son complémentaire AC sont relativement simples considérant les choix faits dans cette section,

IC = n

j ∈ N tel que (λn)j = 0 et (Bu − ˆgn)j ≤ 0 o

.

Nous pouvons maintenant définir l’opérateur de restrictions aux noeuds actifs, qui est repré- senté par une matrice diagonale (de taille égale au nombre de valeurs nodales dans la zone de contact). Cette matrice diagonale est définie de la façon suivante :

(Rn)ii=    1 si i ∈ AC 0 sinon. Ainsi, le système linéaire correspondant à (2.26) s’écrit

A BTRn RnB 0 ! δδu δλn ! = f − Au p_{− B}T_λp n Rn(ˆgn− Bup) ! . (2.30)

Nous pouvons donner la version discrète de l’Algorithme12. Nous discuterons plus loin (Cha- pitre 3) des stratégies particulières pour tenir compte des changements d’état. Pour le moment, limitons nous simplement à souligner qu’ils entraînent une modification des composantes du système algébrique (et un retour à l’étape 4 de l’algorithme 13qui suit).

Algorithme 13 Stratégie de contraintes actives pour le cas glissant

1: Étant donné la solution (up, λp), la solution à la précédente itération de Newton

2: On calcule le gap et les matrices et résidus associés

3: On détermine les états de contact et on construit AC et IC puis Rn

4: Pseudo-Newton

• On résout le problème linéaire (2.30). • On projette λn sur l’ensemble admissible

(λn)j = max(0, (λn)j) • On met à jour les résidus et on calcul P (λ, r),

• On met à jour les ensembles actif A_C et inactif I_C puis l’opérateur Rn.

5: Vérification de l’état :

• Si l’état est stable, fin du calcul • Sinon on retourne à l’étape 4.

2.2

Résolution du contact frottant

Sommairement, le frottement est la résistance au mouvement dû au contact entre les corps. Pour qu’il y ait alors frottement, il faut que les surfaces demeurent en contact pendant un cer- tain temps (rappelons que nous sommes dans le cadre quasi-statique usuel, le temps (qui n’est pas physique) s’interprète comme un paramètre contrôlant l’application du chargement sta- tique cible). Dans ce cas, les points en contact sont classés en deux catégories : ceux adhérents et ceux glissants. Il existe plusieurs lois permettant de modéliser le frottement. Dans cette thèse, nous avons retenu la loi de Coulomb introduite par Amontons1 _{en 1699 et généralisée}

par Coulomb [81] en 1781.

Dans cette section, nous présenterons brièvement le problème de contact frottant dans sa formulation quasi-statique. Pour cela nous aborderons les lois de frottement de Tresca et de Coulomb. La loi de Coulomb est plus réaliste, cependant d’un point de vue théorique elle présente des difficultés car elle établit une relation intrinsèque entre la solution et le seuil déclenchant le frottement (voir Figure 0.6), ce qui rend le problème quasi-variationnel. Pour les aspects théoriques, la loi de Tresca est souvent utilisée, cette dernière menant à une inégalité variationnelle classique. Fréquemment présente dans la littérature du contact, une partie de l’intérêt pour la loi de Tresca étant que l’on peut interpréter la loi de Coulomb comme la limite d’un processus itératif basé sur une loi de Tresca.