3.3 Préconditionneur pour les problèmes d’élasticité avec contact
3.3.1 Formulation en déplacement
Comme on a pu le montrer au Chapitre 2, dans le cas d’une formulation en déplacement seulement, le système linéaire à résoudre issu du problème de contact glissant sera (2.30), un système algébrique de point selle. La forme la plus générale correspond à (2.76) et comprend tous les types de contact. Il s’agit d’un système qui n’est pas de la forme d’un système de point selle et qui n’est pas symétrique.
Même si dans le cas glissant on obtient un système de la forme générique (3.1), l’utilisation du Mix-It-GCR ne peut se faire sans quelques modifications. Une différence majeure apparaît dans le système ((2.30) ou (2.76)) par rapport à ceux présentés jusqu’ici. En effet ces systèmes algébriques sont issus de la prise en compte de la condition d’inégalité par une stratégie de contraintes actives. À toutes les itérations du solveur, le multiplicateur λ doit vérifier les contraintes (positivité ou cône de Coulomb), ce qui modifie les opérateurs de restrictions (si l’état de contact change, voir Chapitre 3), et par conséquent ceci modifie certains blocs de la matrice du système. En se référant à l’Algorithme 15, on doit vérifier à chaque itération du Mix-It-GCR, après la mise à jour du multiplicateur, qu’en tout point de la zone de contact, le nouveau multiplicateur λ dont l’incrément est zλ appartient à la zone d’admissibilité, c’est- à-dire K = n φn≥ 0 dans ΓC o (3.22) dans le cas glissant et
Kµ=φtel que φn≥ 0 et |φT| ≤ µφn . (3.23) dans le cas frottant. Si un changement d’état se produit (changement dans la nature d’une composante du multiplicateur), il pourra être considéré comme motif de redémarrage du Mix- It-GCR. Dans ce cas, on calcule à nouveau l’état de contact, on met à jour les opérateurs de restrictions et on résout le nouveau système associé à l’aide du Mix-It-GCR.
Contact général
Dans le cas général le multiplicateur λ se décompose en une pression de contact et une "pres- sion" tangentielle de contact qui se définissent par
λn= λ • n λT = λ − (λ • n)n.
La composante tangente se décompose à son tour en λA pour les nœuds adhérents et λG pour les nœuds glissants. En dimension 3, la partie glissante se divise en parties parallèle et angulaire. Réécrivons le système linéaire (2.76) associé au problème frottant tridimensionnel pour les inconnues u et λ décomposée en partie normale, adhérente, glissante paralèlle et glissante angulaire A0u +BnTRnλn +BTTRAλT +BTTRGλ⊥T +BTTλ // T RnBnu RABTu (BTu)⊥ −RGαλλ⊥T −µ wλRnλn +λ // T = ru,0− BTλ0 −Rnrn,0 −RArT ,0 −RGr⊥T ,0 0 . (3.24)
On remarque en premier lieu que la composante λ//
T (correspondant à la partie glissante parallèle) est déterminée de manière unique par la dernière ligne du système
λ//T = µwλRnλn. (3.25)
Elle peut donc être éliminée du système, nous placerons cette égalité au niveau du précondi- tionneur.
Pour la composante λ⊥
T vérifiant la quatrième équation du système il serait aussi possible d’éliminer cette variable. Cependant cela modifierait la matrice A0, ce que l’on voudrait éviter. Puisqu’il s’agit de construire une méthode itérative, une approximation de qualité relativement bonne de cette variable au niveau du préconditionneur est suffisante. L’équation s’écrit
λ⊥T = s0 α0 RGr⊥T + (Bu)⊥ (3.26) où les opérateurs définis ponctuellement aux nœuds glissants s0 et α0 sont tels que
αλ = α0
Différentes stratégies ont été expérimentées afin de trouver une "bonne" approximation de cette valeur. Voici ce qui semble être la meilleure. On définit d’abord ponctuellement sur la partie glissante, un opérateur r0 associé au résidu tangentiel glissant rT ,0 par r0= |rT ,0|puis nous considérons deux situations à chaque nœud de la partie glissante. Notons d’abord que si s0 n’est pas nul, on a wλ = λT/s0 ce qui donne
α0= (rT, λT
r0
) = r0cos(rT, λT). • Cas 1 : r0 > s0
Lorsque s0 est nul, il n’y a pas de partie angulaire pour le point correspondant. La partie parallèle est obtenue par la relation (3.25) avec wλ= rT/r0.
• Cas 2 : s0 > r0
Rappelons d’abord que r0 est nul si le point était adhérent et devient glissant. Quoi qu’il en soit, nous avons wλ = λT/s0 et α0 est plus petit que r0 donc que s0, ce qui nous mène à 1 α0 > 1 s0 . (3.27)
Cette inégalité nous permettra d’approximer α0 par s0 afin d’éviter d’éventuelles per- turbations.
En somme, dans le préconditionneur on peut approximer (3.26) par λ⊥T = s0 max (s0, α0) r⊥T + (Bzu)⊥ . (3.28)
D’autres choix ont été tentés mais de nos multiples expériences numériques, (3.28) reste le meilleur choix. Mais il est clair qu’un travail est encore à faire pour déterminer une valeur optimale du coefficient associé à cette partie angulaire.
Le système se réduisant à un système de point de selle, on peut s’appuyer sur la structure du PMS(ici la variante d’Arrow-Hurwicz, utilisant la matrice identité comme approximation du complément de Schur) pour obtenir un préconditionneur mixte pour les problèmes de contact frottant génériques. C’est le préconditionneur du contact frottant (PFrottant), présenté dans l’Algorithme 24 :
Algorithme 24 Préconditionneur du contact (PFrottant)
1: Étant donné les résidus en déplacement ru et en multiplicateur rλ 2: On calcule les incréments de corrections zu, zλ et z⊥T
— zu = ˜A−1ru — zrλn = RnBnzu — zrA= RABTzu — ˜rλ = rλ− zrλ — zλn = −Rn˜rλ — zA= −RA˜rλ — zG= µzλnwλ — z⊥ T = −s0 max(s0,r0)RG BTzu ⊥
3: On détermine le paramètre de relaxation β
— ˜ru = −BT zλ+ z⊥T — ˜zu = ˜A−1˜ru — zrλ = B˜zu — Tλ = zrλn, zrA, (s0zr⊥T − α0z⊥T) — β = (rλ, Tλ) ||Tλ||2
4: On met à jour les incréments
— zu = zu+ β˜zu — zλ = βzλ — z⊥
T = βz⊥T
Nous finirons cette partie par la présentation d’une version particulière du solveur Mix-It- GCR dite Mix-It-GCR-Contact méthode itérative pour la résolution des systèmes prove- nant d’une formulation en déplacement de problèmes de contact génériques. Notons que dans le cas glissant (sans frottement) la partie tangentielle sera nulle et pour le cas bidimensionnel, la variable angulaire λ⊥
Algorithme 25 Solveur de contact formulation en déplacement (Mix-It-GCR-Contact)
1: Étant donné les résidus en déplacement ru et en multiplicateur rλ 2: On linéarise la partie angulaire
• s0= |λT|, r0= |rT| • Si |λT| ≥ , alors wλ= λT |λT| , sinon wλ = rT |rT| • α0= (rT , wλ) • ˜rλ = (Rnrλ, RArλ, s0RGr⊥T)
3: On initialise à zéro les incréments de corrections zu et zλ
4: GCR : on itère jusqu’à atteindre la convergence ou le nombre maximum d’itérations. • PFrottant(ru, ˜rλ) donne (zzu, zzλ, zz⊥T) — zrλ= (M−1B)zzu — Tu = Azzu+ BT(zzλ+ zz⊥T) — Tn= zrλn — TA= zrλA — TG= s0zr⊥T − α0zz⊥T — Gram-Schmidt Tu, Tλ, zzu, zzλ, zz⊥T — γ = (ru, Tu) + (rλ, Tλ) — zu= zu+ γzzu — zλ= zλ+ γ(zzλ+ zz⊥T) — ru= ru− γTu — ˜rλ= ˜rλ− γTλ
• Vérification de l’état de contact par (3.22) ou (3.23) • Si l’état de contact a changé, on arrête le calcul
5: Fin de la boucle
Stratégie de convergence
Outre le choix des solveurs utilisés à différents niveaux dans l’Algorithme25, un certain nombre de paramètres peuvent influencer de manière substantielle le comportement de l’algorithme de résolution. Temps d’exécution, nombre d’itérations, exigence en espace mémoire sont autant de quantités dont on doit tenir compte et qui varient selon les choix faits pour la configuration de l’approche.
Comme on le voit à l’étape 4 de l’Algorithme 25, un changement d’état peut être considéré comme motif de redémarrage du GCR. Ainsi, on calcule à nouveau l’état de contact puis on résout le nouveau système associé. Ces changements, généralement présents aux premières itérations de Newton, ralentissent la convergence du solveur et créent parfois des oscillations mais une fois l’état stable la convergence devient rapide. Il arrive souvent qu’il ait beaucoup de changements d’état dans la résolution d’un problème surtout aux premières itérations de New-
ton. Dans ces situations, on autorise une résolution GCR avec changement d’état en se fixant une fréquence de vérification de l’appartenance de la solution dans la zone d’admissibilité. Ceci a l’avantage d’accélérer la convergence en limitant les redémarrages mais augmentera le nombre d’itérations de Newton et éventuellement du pseudo-Newton. Ceci n’influencera que le chemin de convergence (le rendant souvent moins long), mais n’aura aucun effet sur la solution qui à convergence sera la même.
Exemple numérique
À titre d’illustration, nous avons choisi l’écrasement d’un cube déformable sur une sphère rigide. Ainsi, on suppose qu’un déplacement est imposé sur la face supérieure du cube et la sphère rigide dont le centre est dans l’axe du barycentre du cube, est située sous le cube. Ce choix permet d’illustrer le comportement des algorithmes dans le cas d’une normale non constante. La sphère ne sera pas approximée donc elle ne sera pas maillée. Le matériau du cube est élastique linéaire avec comme coefficient de Poisson ν = 0, 3 et de module d’élasticité E = 102. La résolution du contact est faite avec et sans frottement. Le coefficient de frottement est égal à 0,4. La déformation et la pression de contact sont représentées dans la Figure 3.13
pour le cas avec frottement. La résolution du système primal (choix de ˜A) est faite avec une méthode directe et une méthode itérative. Les courbes associées à la norme euclidienne du résidu en λ en fonction du nombre d’itérations sont représentées à la Figure 3.14. Comme on peut le voir, la convergence du problème glissant est beaucoup plus rapide que celui avec frottement et le nombre de changement d’état est moins important. La convergence est plus rapide lorsque l’on résout le système primal par une méthode directe. Peu importe la méthode de résolution prise, les changements d’état produisent une convergence lente.
Figure 3.13 – Déformation et pression de contact pour le problème de l’écrasement du cube (élasticité linéaire) sur une sphère rigide avec un coefficient de frottement µ = 0, 4.
0 10 20 30 40 50 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 101
Nombre d’itérations cumulées
norme absolue des résidus LU GCR Changement d’état 0 20 40 60 80 100 120 140 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 101
Nombre d’itérations cumulées
norme absolue des résidus LU GCR Changement d’état
Figure 3.14 – Comportement du résidu normal en λ pour le problème du cube sur la sphère en élasticité linéaire avec une résolution du système primal en direct et itératif. À gauche, problème sans frottement, à droite, problème de contact frottant avec µ = 0, 4.
3.3.2 Formulation mixte
Dans la plupart des problèmes industriels, les matériaux élastiques à l’étude sont fortement non linéaires et incompressibles. De ce fait, pour approximer la solution de tels problèmes de manière satisfaisante, l’introduction de la pression hydrostatique est nécessaire. La péna-
lisation, approche simplificatrice, est proscrite. Si elle permet une prise en compte simple de la pression, elle produit des solutions dépendant du paramètre de pénalisation. De plus, tel que mentionné au Chapitre1, le système algébrique résultant de la pénalisation exige à toute fin pratique l’utilisation de solveur direct, rendant la résolution de problème de grande taille extrêmement complexe. On utilisera donc une formulation mixte déplacement-pression usuelle qui sera cependant modifiée par le contact.
La formulation sera produite en considérant le problème de minimisation de l’énergie élastique sous deux contraintes. À la condition de cône de Coulomb (ou de non pénétration) pour le contact s’ajoute l’incompressibilité qui se traduit par la recherche d’un champ de déplacement à divergence nulle. Pour fixer les idées, dans le cas du contact glissant, on aura le problème de minimisation
inf div(v)=0
gn(v)≥0
J (v). (3.29)
En utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange, on obtient une formulation mixte, un problème de point de selle, avec deux variables duales : la pression hydrostatique déduite de la contrainte d’incompressibilité et la pression de contact issue de la condition d’interpénétration. Le raisonnement pouvant aussi se faire dans le cas du contact frottant, nous serons mené à résoudre, quelque soit le type de contact, un système linéaire plus complexe, dont la forme générale sera A BT CT B 0 0 C 0 0 | {z } A u p λ = ru rp rλ . (3.30)
Ce type de système se substitue à (2.30) ou (2.76) dans la stratégie de contraintes actives (Algorithme 13et14 respectivement). On devra donc résoudre un système à chaque itération de Newton pour le cas glissant ou à chaque itération angulaire pour le cas frottant. Nous présenterons trois stratégies de résolution dans cette thèse et nous discuterons de chacune d’entre elles afin d’en présenter les avantages et limites. Tout comme précédemment, nos critères de comparaisons seront liés au temps de résolution et au comportement général relatif à la convergence.
En se basant sur un solveur Mix-It-GCR, la prise en compte de différentes stratégies se fera au niveau des préconditionneurs. Pour fixer les idées, nous présentons dans l’algorithme suivant, une version du solveur Mix-It-GCR spécifique au contexte
Algorithme 26 Algorithme Mix-It-GCR en formulation mixte
1: Initialisation
• Étant donné le résidu R = (ru, rp, rλ)T
• On se donne Z = (u0, p0, λ0)T une approximation de la solution • On prend R = R − AZ
2: Tant que la convergence n’est pas atteinte
• À partir de R, un préconditionneur nous donne Z = (zu, zp, zλ)T • On calcule T = AZ
• On utilise GSM pour obtenir T⊥ et Z⊥ • On prend β = R , T⊥ • On met à jour uk+1 pk+1 λk+1 = uk pk λk + βZ⊥ R = R − βT⊥ Variante imbriquée
Il serait naturel de réécrire le système (3.30) sous la forme d’un problème de point de selle à une contrainte. Pour ce faire, nous pouvons rajouter des blocs de matrices nulles en colonne et en ligne dans la matrice du système. On obtient alors le système augmenté suivant
A CT C 0 ! u λ ! = ru rλ !
dans lequel les blocs sont définis par
A= A B T B 0 ! , C= C 0 0 0 ! , u= u p ! , ru = ru rp ! , λ = λ 0 ! et rλ = rλ 0 ! . Il est alors possible de traiter ce problème par la méthode Mix-It-GCR-Contact (voir Al- gorithme 25). Chaque résolution du système élastique (système "en u") correspond à une résolution d’un problème d’élasticité en formulation mixte. En choisissant que cette résolution soit faite en utilisant l’Algorithme Mix-It-GCR (voir Algorithme 15), nous aurons l’appel à un solveur Mix-It-GCR à chaque itération en λ du solveur contact (dans le précondition- neur). Nous dirons de cette approche qu’elle est imbriquée. Le préconditionneur ainsi produit, Algorithme 27, sera dit préconditionneur imbriqué (PFrottant-Imbriqué). Naturellement, on n’utilisera pas le solveur Mix-It-GCR-Contact sur la forme compacte du système. On combinera plutôt ce préconditionneur à l’Algorithme 26.
Algorithme 27 Préconditionneur de la variante imbriquée (PFrottant-Imbriqué)
1: Étant donné les résidus en déplacement ru, rp et rλ 2: On calcule les incréments de corrections zu, zλ et z⊥T
— À partir de (ru, rp), Mix-It-GCR nous donne (zu, zp) — zrλ = RnBnzu, RABTzu, s0RG BTzu ⊥ — ˜rλ = rλ− zrλ — zλ = − Rn˜rλ, −RA˜rλ, µzλnwλ− 1 max(s0,r0)RG˜rλ
3: On détermine le paramètre de relaxation β
— ˜ru = −BTzλ
— À partir de (˜ru, ˜rp) avec ˜rp= 0, Mix-It-GCR nous donne (˜zu, ˜zp) — zrλ = B˜zu
— Tλ = zrλn, zrA, (s0zr⊥T − α0z⊥T) — β = (rλ, Tλ)
||Tλ||2
4: On met à jour les incréments
— (zu, zp) = (zu, zp) + β(˜zu, ˜zp) — zλ = βzλ
Cette méthode converge bien, comme on peut le remarquer dans la Figure3.15 où les résidus en λ sont représentés pour la résolution de contact en formulation mixte (u, p) avec la variante imbriquée. Nous avons pris le même nombre d’itérations np pour les solveurs Mix-It-GCR (étapes 2 et 4 de l’Algorithme 27) et la résolution du bloc u dans ces solveurs est faite par une méthode directe.
Si on note une amélioration du comportement de la convergence en λ entre np = 3et np= 5, le comportement semble ne plus varier au delà de cette dernière valeur.
L’inconvénient de cette approche est le coût important des itérations en λ. En effet, à chaque itération, deux résolutions du problème en (u, p) sont demandées. Ces dernières étant faites de manière itérative elles nécessitent aussi une résolution en déplacement seulement qui à elle seule reste coûteuse pour un problème de grande taille. Comme nous pouvons le voir dans l’Algorithme 27, nous aurons 2n(m + k) résolutions du système en déplacement seul (système "en u"). En effet, si nous revenons à la résolution du problème de contact (u, λ) avec n itérations, nous avons deux systèmes (u, p) à résoudre ; ces derniers seront remplacés par le préconditionneur (u, p), avec m itérations pour le premier et k pour le second (en général, on prend k = m), qui à leur tour ont à chaque itération deux résolutions du système en
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100
Nombre d’itérations cumulées
norme euclid ie n ne du résidu normale en λ np= 3 np= 5 np= 10
Figure 3.15 – Comportement du résidu en λ du solveur Mix-It-GCR-Contact pour le problème du cube sur la sphère avec la méthode imbriquée suivant le nombre d’itérations np du solveur Mix-It-GCR.
Variante séquentielle
La variante imbriquée nécessitant généralement un temps de calcul élevé, nous proposons dans cette section une nouvelle stratégie qui, on l’espère, permettra de réduire le temps de calcul en comparaison avec le PFrottant-Imbriqué.
En considérant le problème mixte (3.30), nous avons les équations suivantes Au + BTp + CTλ = r u Bu = rp Cu = rλ (3.31)
De la résolution du système primal à partir de la première équation du système (3.31), on obtient
u = A−1ru− A−1BTp + CTλ.
En substituant cette équation dans les deux dernières de (3.31), on obtient les résolutions suivantes sur les systèmes duaux
BA−1BTp = BA−1ru− BA−1CTλ − rp CA−1CTλ = CA−1ru− CA−1BTp − rλ
Nous pourrons alors résoudre le système (3.31) par la séquence d’étapes suivantes : u∗ = A−1ru BA−1BTp = Bu∗− rp CA−1CTλ = Cu∗− rλ u = u∗− A−1BTp + CTλ .
Dans ce cas, nous avons deux compléments de Schur, BA−1BT pour la pression hydrosta- tique et CA−1CT pour la pression de contact. Nous appellerons variante séquentielle cette approche. Il semble alors naturel d’envisager l’utilisation d’un préconditionneur combinant l’appel successif de deux préconditionneurs PMG (Algorithme22). Utilisant comme approxi- mation du complément de Schur des matrices masse que nous dénotons par Mp et Mλ, on produit un préconditionneur qu’on dira séquentiel. Nous utiliserons ici la variante simplifiée des préconditionneurs (PMS, voir Algorithme 23). Ceci nous donne l’algorithme suivant Algorithme 28Préconditionneur de la variante séquentiel (u, p, λ) (PFrottant-Sequentiel)
1: Étant donné les résidus ru, rp et rλ
2: Résolution du problème zu= ˜A−1ru 3: Préconditionnemment de la variable p • zp= Mp−1(rp− Bzu) • zpu = − ˜A−1BTzp • Tp= Bzλu. • βp = (rp, Tp) kTpk2 4: Préconditionnemment de la variable λ • zλ = Mλ−1(rλ− Czu) • zλ u = − ˜A−1CTzλ • Tλ = Czλu • βλ = (rλ, Tλ) kTλk2 5: Mise à jour • zp= βpzp • zλ = βλzλ • zu = zu+ βpzpu+ βλzλu
28) de la méthode, trois résolutions en ˜A (étapes 2, 3 et 4) pour chaque itération du solveur Mix-It-GCR. Même si la résolution est faite en itératif, le calcul reste coûteux en temps. Sans oublier les résolutions sur le système dual (matrice masse Mp et Mλ) qui peuvent être aussi dispendieux en temps lorsque nous sommes en présence d’un très important nombre de sommets. L’emploi de versions diagonales de ces matrices afin de limiter le temps de résolution des systèmes duaux est possible. Mais dans ce cas, comme on peut s’y attendre, on note une dégradation des performances.
Cette méthode est équivalente à la stratégie imbriquée dans laquelle on fait (voir Algorithme
27) une seule itération pour le premier problème (système en u, p) et le second problème (système en (u, λ)).
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 10−3
10−2 10−1
Nombre d’itérations cumulées
norme euclid ie n ne du résidu normale en λ
Figure 3.16 – Comportement du résidu en λ pour le problème du cube sur la sphère avec la méthode séquentielle.
Variante alternée
La variante séquentielle, basée sur la construction de préconditionneurs pour chaque variable duale, converge bien. Mais les performances quoique améliorées, ne sont pas celles attendues. S’inspirant de la méthode des directions alternées (voir [46]), nous avons donc essayé de ré- soudre indépendamment et alternativement les problèmes (u, p) et (u, λ). L’idée repose sur la
résolution du problème incompressible (u, p) A BT B 0 ! u p ! = ru rp ! (3.32)
suivi de la résolution du problème de contact (u, λ) A CT C 0 ! u λ ! = ru rλ ! . (3.33)
Dans la mesure où les systèmes sont "découplés" on s’attend à une perte d’information et a priori devoir faire un grand nombre d’itérations. Toutefois, nous utiliserons cette stratégie comme préconditionneur, nous pouvons négligé cet aspect. Explicitement, le préconditionneur alterné se résume de la sorte :
Algorithme 29 Préconditionneur de la variante alternée (u, p, λ) (PFrottant-Alterné)
1: Étant donné ru, rp et rλ
2: Résoudre (3.32) avec un solveur Mix-It-GCR (Algorithme15) produisant zpu et zp
3: On met à jour les résidus
— ru = ru− Azpu− BTzp — rp = rλ− Bzpu
— rλ = rλ− Czpu
4: Résoudre (3.33) avec un solveur Mix-It-GCR-Contact (Algorithme 25) produisant zλu
et zλ
5: On obtient maintenant les corrections suivantes
— zu = zpu+ zλu pour le déplacement — zp pour la pression hydrostatique — zλ pour la pression de contact
Cette méthode peut être vue comme une extension de la variante séquentielle dans laquelle on résout une seule itération et le préconditionneur mixte est séparé et a plusieurs niveaux. Explicitement, nous avons, dans ce préconditionneur, des itérations en pression (u, p) puis en contact (u, λ).
L’avantage de cette méthode est du en grande partie au fait qu’on n’a pas besoin de beau- coup d’itérations pour une approximation de la pression de grande précision. Dans l’exemple considéré, trois itérations suffisent pour faire converger le problème (voir Figure 3.17). La Table 3.5 présente une comparaison des temps et du nombre d’itérations des 3 stratégies
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100
Nombre d’itérations cumulées
norme euclid ienne du résidu normale en λ
Figure 3.17 – Comportement du résidu en λ pour le problème du cube sur la sphère avec la méthode alternée.
variante Nombre d’itérations Temps CPU en secondes
imbriquée (np = 3) 146 542.6286
séquentielle 198 342.9018
alternée 201 277.6162
Table 3.5 – Nombre d’itérations et temps CPU du problème du cube sur la sphère avec un matériau incompressible résolu par les différentes variantes présentées (résolution complète (LU) du système en déplacement).
Dans ce chapitre, nous avons développé une méthode de résolution de problèmes mixtes de façon générale. Quelques applications impliquant ce type de problèmes ont été étudiées. Cette méthode peut aussi être utilisée pour traiter les problèmes de mécanique de fluides. Une étude de la performance et de la robustesse du solveur pour les problèmes de contact surtout de nature industrielle sera faite au prochain chapitre.
Chapitre 4
Résultats numériques
Ce chapitre présente les résultats numériques pour quelques exemples de problèmes de contact obtenus en utilisant la méthode développée dans cette thèse. L’algorithme est mis en œuvre dans le logiciel d’éléments finis MEF++ qui est un outil de recherche fondamentale en analyse numérique et un logiciel d’applications industrielles développé par le Groupe Interdisciplinaire de Recherche en Éléments Finis (GIREF ) de l’université Laval. Quatre différents exemples