PC∗
Interrogation sur les séries entières et les équations
différentielles
Durée : libre
Exercice 1
(2 pts) On note Rpet Ri les rayons de convergence respectifs de
X a2nznet de X a2n+1zn. Exprimer en fonction de Rp et Ri le rayon de convergence R de X anzn.
Exercice 2
SoitXanznune série entière de rayon de convergence R > 0.
a) (1,5 pts)Montrer queXan
n!z
na un rayon de convergence égal à +∞. Pour tout t ∈ R on pose f (t) =
+∞ X n=0 an n!t n.
b) (1,5 pts)Montrer que pour tout λ >1
Rl’intégrale Z +∞ 0 f (t) e−λtdt converge et vaut +∞ X n=0 an λn+1.
Exercice 3
a) (1 pt)Montrer que le rayon de convergence de la série entièreX 2n
n
!
znvaut R = 1/4.
b) (2 pts)Trouver une équation différentielle d’ordre 1 vérifiée par f (x) =
+∞ X n=0 2n n ! xnet en déduire f (x).
Exercice 4
(2 pts) Soient a et b deux fonctions positives et intégrables définies sur [0, +∞[.
Soit f : [0, +∞[→ R+une fonction croissante, positive, de classeC1telle que pour tout t > 0, f 0
(t) 6 a(t)f (t) + b(t). Montrer que f possède une limite finie en +∞.
Exercice 5
Soit α ∈ R∗. On considère l’équation différentielle (E) : (t2−t)x00+ tx0− αx = 0. a) (1,5 pts)Soit x(t) =
+∞ X
n=0
antnune série entière de rayon de convergence R > 0. Montrer que x vérifie (E) si et seulement
si :
a0= 0 et ∀n > 1, an+1=
(n2− α)
n(n + 1)an
b) (1 pt)En déduire les valeurs de α pour lesquelles (E) admet une solution polynomiale non nulle.
c) (1 pt)Les solutions de (E) sur ]0, 1[ sont-elles toutes développables en série entière en 0 ? Justifier votre réponse.
Exercice 6
On cherche les fonctions continues f : R → R vérifiant (E) : ∀x ∈ R, f (x) = x + Zx
0
(x − t)f (t) dt. a) (1 pt)Montrer que si f vérifie (E) alors f est de classeC2.
b) (1,5 pts)Montrer qu’une fonction f : R → R de classeC2vérifie (E) si et seulement si f00= f , f (0) = 0 et f0(0) = 1. En déduire les solutions de (E).
Exercice 7
On considère deux fonction f et q continues sur R, ainsi que les équations différentielles (E) : x00+ q(t)x = f (t) et (H) : x00+ q(t)x = 0 On note S l’ensemble des solutions de (E) et SHcelui de (H).
On considère enfin deux réels a < b ainsi que le sous-espace vectoriel V des fonctions x ∈C2(R, R) vérifiant x(a) = x(b) = 0. a) (2 pts)Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) la fonction nulle est l’unique solution de (H) appartenant à V ; (ii) l’application φ : SH→ R2définie par φ(x) =x(a), x(b)est bijective ; (iii) l’application ψ : S → R2définie par ψ(x) =x(a), x(b)est bijective.
b) (2 pts)On suppose dans cette question uniquement que q(t) = λ constante. Déterminer les valeurs de λ pour lesquelles les propriétés du a) sont vérifiées.
