Suites
I - Suites arithmétiques :
1° - Approche :
Une parfumerie a vendu 5 000 parfums en 2002. Le responsable prévoit pour les années à venir une augmentation de 150 unités par an. Il établit le tableau suivant pour les huit années à venir.
Année 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Nombre de parfums 5 000 5 150 5 300
Une telle suite est appelée ..., de premier terme u1 = 5 000 et de ... r = 150 .Le second terme, 5 150 est désigné par u2 ; u2 = u1 + r
2° - Définition :
On appelle suite arithmétique, une suite de nombre réels tels que chacun d’eux, à partir du deuxième, est égal à la somme du précédent et d’un nombre constant, appelé raison de la suite .
u n = u n-1 + r 3° - Exemples :
Ecrire les quatre premiers termes de la suite arithmétique de premier terme u1 = 11 et de raison r = 3 .
Ecrire les six premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme u1 = 7 et de raison r = - 5 .
4° - Détermination du terme de rang n : a - Définition :
Le terme de rang n est tel que : u n = u 1 + ( n - 1 ) r b - Exemple :
Calculons le septième terme de la suite arithmétique de premier terme u1 = 17 et de raison r = 2,5 .
5° - Somme des termes d’une suite arithmétique limitée : S = 2
n x
(u
1+ u
n)
Application :
Calculer la somme des 25 premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme u1 = 5 et de raison r = 7.
a. Calculons le 25ème terme :
b. La somme est :
Quelle est la somme des 30 premiers nombres impairs ?
Une entreprise produit 20 000 unités par an. La production augmente de 1 550 unités par an.
a. Combien cette entreprise aura-t-elle produit en 5 ans ?
b. Quelle sera la production au bout de la 10ème année ?
II - Suites géométriques :
1° - Exemple :
Un capital de 5 000 € est placé au taux annuel de 6 %. Quel sera le capital acquis au bout de la première année, de la deuxième année, de la troisième ?
Capital acquis à la fin de la première année :
A la fin de la deuxième année : A la fin de la troisième année :
Remarque : ...
………...
...………
2° - Définition :
On appelle suite géométrique, toute suite de nombres, tel que chacun de ses termes est obtenu en multipliant le précédent par un même nombre appelé raison ( q ).
u n = u n-1 x q 3° - Exemples :
a - Calculer les 6 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 10 et de raison 5.
b- Calculer les 4 premiers termes de la suite géométrique de premier terme u1 = 1 et de raison q = 2 1 .
4° - Détermination du terme de rang n : a - Définition :
Le terme de rang n est tel que : u n = u 1 x q n - 1
b - Exemples :
Calculer le 7ème terme d’une suite géométrique de premier terme u1 = 6 et de raison q = 3 .
Calculer le 8ème terme d’une suite géométrique de premier terme u1 = 5 et de raison q = 2 .
5° - Somme de termes d’une suite géométrique : a - Définition :
S = u 1 x qqn 11
b - Application :
Calculer la somme des dix termes consécutifs d’une suite géométrique de premier terme u1 = 2 et de raison q = 3 .
Suites : Etudes de situations
Exercice 1 :
Deux entreprises A et B ont chacune une production de 100 000 articles en 2005.L’entreprise A prévoit d’augmenter sa production de 12 000 articles par an. L’entreprise B prévoit d’augmenter sa production de 9% par an.
(On affecte à l’année 2005 le numéro 1, à l’année 2006 le numéro 2, etc. On désigne par a1, a2, a3,…
les productions correspondantes à l’entreprise A et par b1, b2, b3,…celles de l’entreprise B).
1° - Pour l’entreprise A :
a. Déterminer la nature de la suite, son premier terme et sa raison.
b. Exprimer an en fonction de n.
c. Calculer sa production pour l’année 2009.
2° - Pour l’entreprise B :
a. Déterminer la nature de la suite, son premier terme et sa raison.
b. Exprimer bn en fonction de n.
3° - Représenter graphiquement les productions an et bn sur un graphique, jusqu’à n = 10.
4° - Au bout de combien d’années, la production de l’entreprise B aura-t-elle dépassé celle de l’entreprise A ?
Exercice 2 :
Le prix de vente d’un magazine d’esthétique est augmenté de 8% chaque fin d’année.1° - a- Sachant qu’à sa création son prix de vente P1 est égal à 14,5 €. Déterminer le prix de vente P2 de la deuxième année.
b – En déduire le coefficient multiplicateur permettant de calculer directement le prix de vente d’une année sur l’autre.
2° – Exprimer et calculer les prix de vente P3, P4 de cette brochure la 3ème année, la 4ème année (arrondir à 0,01 € près).
3° - Exprimer en fonction de P1, le prix de vente Pn de la brochure la nième année.
Calculer pour n = 10 (arrondir à 0,01 près)
Exercice 3 :
Une fabrique de parfums réalise une étude de marché concernant ses produits : en 2000, la production P1 est de 5 000 parfums. Chaque année la production doit augmenter de 4%de celle de l’année précédente.
1° - Calculer la production P2 prévue pour l’année 2001.
2° - P1 , P2 , P3 ,…………, Pn forment une suite géométrique. Déterminer la raison q de cette suite ; exprimer Pn en fonction de P1 de q.
3° - Calculer la production totale T des six années de 2000 à 2005.
Exercice 4 :
La production mensuelle de produits cosmétiques d’une entreprise constitue une suite arithmétique. Le sixième mois, la production atteint 18 000 produits (soit u6 = 18 000) et la production totale de l’entreprise au cours de ces six mois est de 65 700 produits.Calculer la production u1 du premier mois et la raison r de la suite.
