Td corrigé CORRIGÉ : SUITES NUMÉRIQUES Page 5 pdf

y

1 x 1

0

DESCARTES René (1596 – 1650) Philosophe, mathématicien

et physicien français

MATHÉMATIQUES

DANS LE REPÈRE CARTÉSIEN

Éléments de corrigé

AUTOMATISMES

&

REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES

Exercices

Titre Page

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DU 1er DEGRÉ À 1 INCONNUE

/ Page 3 3

PROPORTIONNALITÉ

/ Page 4 4

SUITES ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES

/ Page 5

5

ÉQUATIONS DE DROITES

/ Page 6 6

SYSTÈMES D’ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ

/ Page 7 7

SYSTÈMES D’INÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ

/ Page 8 8

FONCTIONS ET LANGAGE MATHÉMATIQUE

/ Page 9 9

VOLUMES ET COURBES

/ Page 10 10

FONCTIONS Parité et variation

/ Page 11 11

FONCTIONS LINÉAIRES ET FONCTIONS AFFINES

/ Page 12 13

VARIATIONS DE FONCTIONS DE LA FORME f + g et k

f / Page 13 14

FONCTIONS PERIODIQUES /

Page 14 15

FONCTION, ÉQUATION ET INÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

/ Page 15

16

FONCTIONS ET ÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES /

Page 16 17

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

/ Page 17 18

OPERATIONS SUR LES FONCTIONS

/ Page 18 19

COMPARAISON DE FONCTIONS /

Page 19 20

FONCTIONS DÉRIVÉES DE FONCTIONS USUELLES

/ Page 20 21

STATISTIQUES : mode, x et Me

^{/ Page 21} 22

STATISTIQUES : e, Q

i

et Q

3  Q1 / Page 22 23

STATISTIQUES : 

/ Page 23 24

LOI NORMALE

/ Page 24 25

FLUCTUATION D’ÉCHANTILLONNAGE

/ Page 25 26

Académie de Toulouse / GL / Document libre de droit

2

Corrigé : ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ À UNE INCONNUE

Page 3

Objectif : représenter graphiquement les solutions d’une équation.

EXERCICE Dans chaque cas :

a) représenter graphiquement les solutions des équations et hachurer la partie de l’axe des abscisses ne convenant pas,

b) indiquer l’ensemble de solution S.

Corrigé : INÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ À UNE INCONNUE Page 3

Objectif : représenter graphiquement les solutions d’une inéquation.

EXERCICE Dans chaque cas :

a) représenter graphiquement les solutions des inéquations et hachurer la partie de l’axe des abscisses ne convenant pas ;

b) indiquer l’intervalle numérique auquel appartient

x

.

Corrigé : PROPORTIONNALITÉ

D

4

7

x + 1 < 5

x

5 1

E

7 x > 5

0 2

F

7 2  x

3 0 3

G

7 x  3

x’

_{4 0 4}

H 0 < x  4 _x

0 1

1

x’

x’

x’

x’

x

x

x

A x  1 = 6

5

_x

0 2

C 0  x = 2 _{x’ x}

B 0  x = 0 x’

0

x

x’ x = 5  S = 5

x  ]-  ; + [  S = R

Pas de solution :  S = 

x < 4  x  ]   ; 4[

 S = ]   ; 4[

5 < x  x  ] 5 ; + [

 S = ] 5 ; + [

x  2  x  ]   ; 2]

 S = ]   ; 2]

x  3  x  ]   ; 3]

 S = ]   ; 3]

0 < x  4  x  ]0 ; 4]

 S = ]0 ; 4]

Page 4

Objectif : reconnaître graphiquement une relation de proportionnalité.

EXERCICE

Indiquer dans quels cas les représentations graphiques suivantes représentent une relation de proportionnalité.

Justifier.

Corrigé : SUITES ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES Page 5

Académie de Toulouse / GL / Document libre de droit

4

y

70 40 100

30

x

0

I

30

10 20

x

y

25

0

G

3

x

y

1,5

0

H

-3 -2 -1

x

y

15

5 10

D

0 2 4 6

x

y

4

2 6

0

F

M

N y

7 4 10

3 6 9

x

0

A

1 2 3

x

y

4 16

E

0 8 12

4

C

1,5 2,5

x y

0 1

0,5

0,5 3

x

y

30 60

7,5 0

B

2 45

-1 4

Les points sont alignés sur une

-15

droite qui ne passe pas par l’origine du repère :

relation de NON proportionnalité

Les points sont alignés sur une droite qui passe par l’origine du repère : relation de proportionnalité

Les points sont alignés sur une droite passant par l’origine du repère mais confondue avec l’axe des abscisses :

relation de NON proportionnalité

Les points sont alignés sur une droite qui passe par l’origine du repère : relation de proportionnalité

Les points ne sont pas alignés : relation de NON proportionnalité

Le segment de droite [MN] est aligné sur une droite qui passe par l’origine du repère : relation de proportionnalité

Les points de la courbe ne sont pas alignés :

relation de NON proportionnalité Les points sont alignés sur une droite ne

passant pas par l’origine :

relation de NON proportionnalité

Les points sont alignés sur une droite

ne passant pas par

l’origine du repère

mais confondue avec

l’axe des ordonnées :

relation de NON

proportionnalité

Objectif : reconnaître graphiquement une suite arithmétique ou géométrique.

EXERCICE

Indiquer dans quels cas les représentations graphiques suivantes représentent une suite arithmétique ou une suite géométrique. Justifier.

Corrigé : ÉQUATIONS DE DROITES

Page 6

1 2 3

n U

_n

5

3 7

0

A

u

₁

= 3

u

₂^

u

₁

= u

₃^

u

₂

5 – 3 = 7 – 5 = 2 = r

C’est une suite arithmétique

u

₁

=

u

₂

=

u

₃

=

1 2 3

n U

n

4

2 6

0

E

u

₁

=

u

₂

=

u

₃

=

1 2 3

n U

_n

7

0

F

u

₁

= u

2

= u

₃

=

1 2 3

n U

_n

4 2 8

0

B

u

₁

=

u

₂

=

u

₃

=

u

₁

= 2 u

₂

/ u

₁

= u

₃

/ u

₂

4 / 2 = 8 / 4 = 2 = q

C’est une suite géométrique

1 2 3

n U

_n

10 15

5 0

C

u

₁

=

u

₂

=

u

₃

=

u

₁

= 15 u

₂^

u

₁

= u

₃^

u

₂

10 – 15 = 5 – 10 =  5 = r

C’est une suite arithmétique

1 3

n U

_n

30 60

15 0

D

2

u

₃

=

u

₂

=

u

₁

=

u

₁

= 60 u

₂

/ u

₁

= u

₃

/ u

₂

30 / 60 = 15 / 30 = 0,5 = q

C’est une suite géométrique

Ce n’est pas la représentation d’une suite numérique : il y a une infinité de points

u

₁

= 7

u

₂

u

₁

= u

₃

u

₂

= 7 – 7 = 0 = r

C’est une suite arithmétique constante

u

2

/ u

1

= u

3

/ u

2

= 7 / 7 = 1 = q

C’est une suite géométrique constante

n

1 2 3

U

n

 8 4 16

G

0

u

₁

=

u

₂

=

u

₃

=

u

₁

= 4 u

₂

/ u

₁

= u

₃

/ u

₂

– 8 / 4 = 16 / – 8 = – 2 = q

C’est une suite géométrique

1 2 3

n U

n

5 3 10

0

H

u

₁

=

u

₂

=

u

₃

=

u

1

= 3

u

₂

u

₁

 u

₃

u

₂

 5 – 3  10 – 5

u

₂

/ u

₁

 u

₃

/ u

₂

 5 / 3  10 / 5 C’est une suite quelconque

Les points sont alignés sur une droite

Les points sont alignés sur une droite

1,5

?

Objectif : associer une formule à une droite.

EXERCICE

Déterminer une équation de chaque droite représentée dans les repères orthonormaux suivants.

Corrigé : SYSTÈMES D’ÉQUATIONS DU 1

^er

DEGRÉ À 2 INCONNUES Page 7

Académie de Toulouse / GL / Document libre de droit

6

a = 

0,75

5

x

A

0 5

y

1

x

B

0 3

y y

1

x

C

0 4

3

x D

0 1,5

y

4

2 ₃

x

E

0

2,25

y

4

3

1

x

F

0 5

y

2

4

x I

0 5

y

2

2

2

4

x J

0 3 4

y

3 2

4

x K

0 8

y

2 ₄

x

L

0 5

y

1 1

: y = 1 x + 0 = x : y = 3 x + 0 = 3 x

: y =



4 x + 0 =



4 x

a =

0,5

: y = 0,5 x + 0 = 0,5 x

: y =



0,75 x + 0 =



0,75 x 1

1 1

a = 

4

a = 3

1

a = 1

1

a =

3

b =

: y =

3

x + 2 = 3 x

(7 – 1)/2 + 1 = 4

x

2

G 7

0

y

7

1 b =

1

a =  3

: y =



3 x + 7

5

x H 7

0 3

y

1 b =

: y =

0

x + 3 = 3 y = x + b = 5 – 2

0,5

x + b 4 – (–2)

5 = 0,5  4 + b  b = 3 : y =

0,5

x + 3

b11 = b10 =

3 – 2 4 – 0

: y = x + b

₁₀ = 0,25 x + 2

: y = 0,25 x + 3

a10

 a

12

= – 1

 a12

= – 1 – a

10

 a12

= – 1 – 0,25

 a12

= – 1,25

b12 =

: y = 0,25 x – 1,25 : x = 4

Objectif : déterminer graphiquement les solutions d’un système d’équations.

EXERCICE

Résoudre sans calculs les systèmes d’équations suivants :

Corrigé : SYSTÈMES D’INÉQUATIONS DU 1

^er

DEGRÉ À 2 INCONNUES

Page 8

Objectif : déterminer graphiquement les solutions d’un système d’inéquations.

3

4

x

0

y

2 4

2

3:

y = 0,5 x + 4

4:

x = 0 y = 0,5 x + 3

y = 0,5 x + 5

y = 1,5 x + 3 y = 0 A

y = 0,5 x + 4 x = 0

B 7

C

D y = 0,25 x + 3 y = 0,25 x + 2

y = 0,5 x + 2 y = x + E

3

4

x

0 5

y

2

2 4

2

1:

y = 0,5 x + 3

2:

y = 0,5 x + 5

5:

y = 1,5 x + 3

6:

y = 0

3

x

0

y

2

7 :

y = 0,25 x + 3

8 :

y = 0,25 x + 2

²

4

x

0 3 4

y

y

9 :

y = 0,5 x + 2

10:

y = x +

3

x

0 2

2

I(2 ; 4)



xI

= 2 et y

I

= 4

 S = (2 ; 4)

I

I(0 ; 4)



xI

= 0 et y

I

= 4

 S = (0 ; 4)

I

I( 2 ; 0)

 x

I

=  2 et y

I

= 0

 S = ( 2 ; 0) I

Pas de points d’intersection :  S = 

9

et

10

sont confondues :

 S = R

EXERCICE 1

Résoudre graphiquement les deux systèmes d’inéquations suivants.

EXERCICE 2

EXERCICE 3

a) Déterminer le polygone des solutions du système d’inéquations ci-dessous.

b) Donner les coordonnées des points solutions du système lorsque ces coordonnées sont des nombres entiers.

Corrigé : FONCTIONS ET LANGAGE MATHÉMATIQUE Page 9

EXERCICE

Académie de Toulouse / GL / Document libre de droit

8

 Un jour de marée

 Variation de la hauteur de l’eau sur une journée

 ...

A y < 0,5 x + 2 y < 0,5 x + 5

B 7

y > 0,5 x + 3 y < 4

y < 0,8 x + 4,8 y  0,2 x + 1,3 x  0

y > 0

Caractériser par un système d’inéquations le triangle ABC

(partie du plan qui n’est pas hachurée).

3,5

3

x

0 5

y

2

1 :

y = 0,5 x + 2

2 :

y = 0,5 x + 5

3 :

y = 0,5 x + 3

4 :

y = 4

3 4

0

x y

1

4

4

x

2 0

y

5 :

y = 0,25 x + 2

6 :

y = 2 x + 4

2 1

B

A

C y < 0,25 x + 2

y < 2 x + 4 0 < y

Plusieurs réponses sont possibles : la lecture graphique ne permet pas de définir avec certitude lequel des deux signe qu’il faut utiliser (< ou  )

4

3,5

x

0

y

2 1

1 2 5 6

3 6

7 :

y = 0,8 x + 4,8

8 :

y = 0,2 x + 1,3

A B

C A (0 ; 1,5) ; B (3,5 ; 2) ; D

C (6 ; 0) ; D (0 ; 0)

1.

Donner un titre à la représentation graphique ci-dessous.

2.

Quelle est la grandeur qui correspond aux « antécédents » ?

3.

Quelle est la grandeur qui correspond aux « images » ?

4.

Compléter le tableau suivant.

Question (Q)ou affirmation (A) EN FRANÇAIS COURANT

EN LANGAGE MATHEMATIQUE en utilisant les mots

« antécédent » et /ou « image »

EN LANGAGE MATHEMATIQUE en utilisant les mots

« calculer » ou « résoudre » et /ou

les symboles « =, , ,  ou  »

1 A

À 4 h la hauteur de l’eau

est de 8 m L’image de 4 par f est 8 f (4) = 8

2 Q Quelle est la hauteur de

l’eau à19 heure ?

Quelle est l’image de 19 par f ?

Calculer f (19)

3 Q A quelle heure la hauteur de l’eau est-elle de 6

mètres ?

Quelle est l’antécédent

qui a pour image 6 par f ?

Résoudre l’équation f (x) = 6

4 A

Entre 0 h et 3 h la hauteur d’eau est comprise

entre 3 m et 7 m

Les antécédents appartenant à [0 ; 3]

ont des images appartant à [3 ; 7]

Si 0 < x < 3 alors 3 < f (x) < 7

5 Q À quelles heures la hauteur de l’eau est-elle

supérieure à 8 mètres ?

Quels sont les antécédents qui ont une

image supérieure à 8 ?

Résoudre l’inéquation f (x) > 8

6 Q

À quelle heure la hauteur d’eau est-elle inférieure

ou égale à 3 m ?

Quels sont les antécédents qui ont une

image inférieure ou égale à 3 ?

Résoudre l’inéquation f (x)  3

Corrigé : VOLUME ET COURBE

Temps (en h) 1

1 3 9

24

4 7 10 19

y

x Hauteur d’eau (en m)

0

La courbe est la représentation graphique d’une fonction f sur l’intervalle [0 ; 24] .

Page 10

EXERCICE :

Une bouteille est constituée de trois volumes différents :

 un cylindre de 20 cm de hauteur,

 un tronc de cône de 20 cm de hauteur,

 un cylindre de 10 cm de hauteur.

h

est la hauteur du liquide versé et

V

le volume correspondant.

Quelle est la représentation graphique qui correspond au remplissage de la bouteille ? Justifier.

Corrigé : FONCTIONS : PARITÉ ET VARIATION Page 11

EXERCICE

Académie de Toulouse / GL / Document libre de droit

10

h

20 20 10

V

0

x y

20 40 50

h (en cm)

V A

7

x

0

y

20 40 50

h ^{(en cm)}

V B

7

x

0

y

20 40 50

h ^{(en cm)}

V C

7

x

0

y

10 30 50

h ^{(en cm)}

V F

x 7

0

y

20 40 50

h (en cm)

V E

7

h (en cm)

x

0

y

20 40 50

V D

7

Le volume versé dans le tronc de cône diminue avec la hauteur (n’est pas « régulier ») : ce ne peut pas être un segment

Le volume total ne peut pas diminuer durant le emplissage d’un cylindre

Le volume versé dans le tronc de cône n’augmente pas à son sommet

Le volume versé dans un cylindre doit être le même pour une même hauteur

Le volume versé

dans le premier

cylindre doit être

supérieur à celui

versé dans le

second

1. Indiquer pour chacune des courbes suivantes, en justifiant la réponse, si elle est la représentation graphique d’une fontion sur l’intervalle I = [-5 ; 5].

2. Dans le cas d’une fonction :

a) indiquer si cette fonction est paire (f (− x) = f (x)) ou impaire (f (− x) = − f (x)), justifier ; b) construire son tableau de variation.

4. Dans le cas où la courbe est la représentation d’une fonction, construire le tableau de variation.

Académie de Toulouse / GL / Document libre de droit

11

5 ₅

x

y

6

B

7

0 1

3

2

5 5

x

y

3

F 7

0 1

1

 Chaque antécédent sur I a une seule image : c’est une fonction.

 Fonction ni paire, ni impaire.

5 ₅

x

y

6

A

7

0 2

3

1

 Un antécédent sur I peut avoir plusieurs images : ce n’est pas une fonction.

 L’antécédent 4 a plusieurs

images : ce n’est pas une fonction. ^ Chaque antécédent sur I a une seule image : c’est une fonction.

 Fonction Impaire : le point O est centre de symétrie

 Chaque antécédent sur I a une seule image : c’est une fonction.

 Fonction paire : l’axe (O, y) est axe de symétrie.

 Chaque antécédent sur I a au maximum une seule image (0 ou1) : c’est une fonction.

 Fonction paire : l’axe (O, y) est axe de symétrie.

 Les antécédent ont une ou deux images : ce n’est pas une fonction.

 Chaque antécédent sur I a une seule

image : c’est une fonction affine par morceaux (expressions algébriques différentes sur [5 ; 0] et [0 ; 5].

 Fonction paire : l’axe (O, y) est axe de symétrie.

5 5

x

y

4

C 7

0 2

2

x

f(x)

5 5

A 7

6 3

2

B

5 5

x

y

2

G 7

0

2

5 5

x

y

3

D 7

0

3

5 5

x

y

3

E 7

0

5 5

x

y

4

H 7

0

Corrigé : FONCTION LINÉAIRE ET FONCTION AFFINE Page 12

Objectif :

Académie de Toulouse / GL / Document libre de droit

12

C

5 5

x

f(x)

5 5

D 7

3

3 Ce n’est pas une fonction : le tableau de variation ne peut pas être construit

Ce n’est pas une fonction : le tableau de variation ne peut pas être construit

x

f(x)

5 5

E

3

0

3

x

f(x)

5 5

F

3

0

3

0 1 1

0

G

x

f(x)

5 5

H

Ce n’est pas une fonction : le tableau de variation ne peut pas être construit

4

0

4

 reconnaître graphiquement une fonction linéaire et/ou affine ;



associer une formule à une fonction linéaire et/ou affine.

EXERCICE 1

Les trois courbes (droites) ci-contre sont les représentations graphiques de fonctions de la forme f(x) = a x + b sur l’intervalle [-2 ; 4].

Compléter le tableau.

EXERCICE 2

Quelles sont, parmi les fonctions représentées graphiquement ci-dessous sur l’intervalle [0 ; 2], celles qui sont :

 croissantes,

 décroissantes,

 constantes (ou monotones), (fonction nulle)

 linéaires, Toutes

 affines ? Toutes

EXERCICE 3

Déterminer les expressions algébriques qui définissent les différentes fonctions représentées graphiquement ci-contre sur l’intervalle [-3 ; 10].

Préciser s’il s’agit d’une fonction linéaire et/ou affine.

.

Corrigé : VARIATIONS DE FONCTIONS DE LA FORME f + g et k f

Page 13

Académie de Toulouse / GL / Document libre de droit

13

« Affine »

« Cube »

x5 0 5 f

3

( x )

= ax

²f(5) =

5

f(0) =

0

f(5) =

5 C

7

x 3 5 f

4

( x )

= ax + b

= 0,5x + 1f(5)

= 0,5

f(5)

=

3,5 D

7

x60 2 f

₇

( x )

=

f(6)

 0,16

++

f(2

)

G 7

x0 5 f

₈

( x )

= a f (0)

= 0 f ( 4 )

= 2 H

7

x 5 5 f

₆

( x )

= ax

³ f(5)

= 5

f(5)

= 5 F

7

x20 2 f

₅

( x )

= ax

²

f(2) =

6

f(0) =

1

f(2) =

6 E

7

x4 3 f

₂

( x )

= b

= 2f(4)

=

2

f(3)

=

2 B

7

x5 5 f

₁

( x )

= ax

f(5) =

2

f(5) =

2 A

7

Parabole :

ax

²

Parabole :

ax

²

Hyperbole :

Demi parabole

« horizontale » :

a

Droite :

ax + b

Droite passant par l’origine :

ax + 0

Droite horizontale :

0x + b

L’origine du repère est un point d’inflexion de la courbe :

ax

³

« Constante »

« Linéaire »

« Carrée »

« Carrée »

« Inverse »

« Racine » 4

x

0 6

y

2

2 4

2

0,5

0,50 2

x

y

1

1 2

-1

-2

CourbeFonction

ab

₁

f

₁

0,254

2

f

₂

0,252

₃

f

₃

0,25 0

0

x

y

1 10 -3

1 15 20

3

: f₁₁

(x) = (2/1) x = 2 x

: f₁₄

(x) =



(5/3) x + 15

: f₁₂

(x) = (2/4) x = 0,5 x

5

9 : f₁₃

(x) = (1/3) x

1 3 2

5

4 2

1 3

5 1

M(2 ;



4)

 6

 4

y_M

=



(1/5) x

_M + b  

4 =



0,2  2 + b  b =



3,6

: f

₁₅

(x) =



0,2 x



3,6

Corrigé : FONCTIONS PÉRIODIQUES Page 14

Objectifs :

Académie de Toulouse / GL / Document libre de droit

14

 reconnaitre graphiquement une fonction périodique ;

 déterminer graphiquement la période.

EXERCICE

Indiquer pour chacune des représentations graphiques suivantes, en justifiant la réponse, si elle représente une fonction périodique. Si oui, déterminer sa période T.

F

Corrigé : FONCTION ET ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ Page 15

Objectifs :

1

y

0

x

3,14

4,71 6,28

1,57 7,85

3,14

1,57

A

1

7

T₁ = 2  3,14 = 6,28 T₂ = 2  3,14 = 6,28

Fonction périodique :

T = T₁ = T₂

= 6,28

B 7

y

0

x

0,75 1,00

0,50 1,25

1

1,50 0,25

T₁ = 0,50 T₂ = 0,50

Fonction périodique :

T = T₁ = T₂

= 0,50

C 7

y

0 ₁

x

1

d₁ d₂

Fonction non

périodique :

d₁

 d

2

y

0 5

10

x

1 5

D 7

T₁ = 4 T₂ = 4

Fonction périodique :

T = T₁ = T₂

= 4

 déterminer graphiquement l’extremum d’une parabole ;

 résoudre graphiquement une équation du second degré ;

 déterminer graphiquement le signe du polynôme

ax

²

+ bx +c

et le signe de

a

. EXERCICE

Les courbes ci-dessous sont des paraboles représentatives de fonctions de la forme

f : x



ax

²

+ bx + c

. Répondre aux questions suivantes por chaque courbe.

1. a. Placer le sommet

S

sur la courbe.

Répondre au verso de la feuille

b. Quel est l’extrémum

y

S de la fonction (

y

S est l’ordonnée de

S

) ?

c. Quel est le signe de

a

(

a

> 0 si

y

Sest un minimum, et

a

< 0 si

y

Sest un maximum) 2. Quelles sont les valeur de

x

qui sont solutions de l’équation

ax

²

+ bx + c

= 0 ?

3. Déterminer le signe de

y

=

ax

²

+ bx +c

sur l’intervalle des

x

où la courbe est représentée.

Corrigé : FONCTIONS ET ÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES Page 16

EXERCICE 1

Académie de Toulouse / GL / Document libre de droit

16

1. b. Extremum minimum : y_S = 1

c. a > 0 car y_S est un minimum 2. a. ne coupe pas l’axe des x : pas de solution b. ( < 0)

3. y > 0 : pour x  [4 ; 1]

y = 0 : pas de solution.

y < 0 : pas de solution.

y_S ⁼ 1

4

x

y

2

A 7

0 1

S

M y

_M > 0

y B 7

2

x

y_S ⁼ 0 4

S

M y

_M > 0

1. b. Extremum minimum : y_S = 0.

c. a > 0 car y_S est un minimum . 2. a. coupe l’axe des x en S : une seule solution x₁ = 2.

b. ( = 0).

3. y> 0 : pour x  [1 ; 2[  ] 2 ; 4].

y= 0 : pour x₁ ^{= 2.}

y < 0 : pas de solution.

1 4

1. b. Extremum minimum : y_S =  4

c. a > 0 car y_S est un minimum.

2. a. coupe l’axe des x ^en

deux points : deux solutions

x₁ ⁼ 1 ^et x₂ ^{= 3}

b. ( > 0)

3. y> 0 pour x  [2 ;  1[  ] 3 ; 4].

y^{= 0 pour} x₁ = 1 et x₂ ^{= 3.}

y < 0 pour x  ] 1 ; 3[.

C 7

x₂

x

= 3

y

y_S =  4 x₁

= 1 0

1

S

M y

_M > 0

N y

_M < 0

2 4

4

1. b. Extremum maximum : y_S = 5.

c. a < 0 car y_S est un maximum.

2. a. coupe l’axe des x en deux points : deux solutions x₁ = 2 et x₂ ^{= 4.}

b. ( = 0)

3. y > 0 pour x  ] 2 ; 4[

y= 0 pour x₁ = 2 et x₂ = 4

y< 0 pour x  [3 ; 2[  ] 4 ; 5]

D 7

5 x₂ = 4

y

y_S ⁼ 5

x₁ = 2

0 1

S

M y

_M > 0

N y

_M < 0

3 4

x

2

S

1. b. Extremum minimum : y_S = 0

c. a < 0 car y_S est un maximum.

2. a. coupe l’axe des x en S : une seule solution x_S = 2.

b. ( = 0)

3. y > 0 : pas de solution.

y= 0 pour x = 2

y< 0 pour x  [4 ; 2[  ] 2 ; 1].

E 7

y

1

x

y_S ⁼ 0

N y

_M < 0

4 4

1. b. Extremum maximum : y_S = 2.

c. a < 0 car y_S est un maximum 2. a. ne coupe pas l’axe des x : pas de solution.

b. ( < 0)

3. y > 0 : pas de solution.

y = 0 : pas de solution.

y < 0 : pour x  [3 ; 3]

x y

y_S = 2 0

S

N y

_M < 0

3 3

Cercle

trigonométrique

1. Les angles étant en degrés, déterminer graphiquement à l’aide du cercle trigonométrique :

 cos 30°  0,87

 sin 30° = 0,5

 cos 120° =  0,5

 sin 250°   0,94.

2. Les angles étant en radians, déterminer

graphiquement à l’aide du cercle trigonométrique :

 cos

3



rad = 0,5

 sin

3



rad  0,87

 cos



rad =  1

 sin



^{rad = 0}

 cos 

4



rad  0,71

 sin 

4



rad   0,71

3. Résoudre graphiquement, en radians sur l’intervalle [0 ; 2] et à l’aide du cercle trigonométrique, les cinq équations suivantes :

 cos

x

= 0,5  sin

x

= 0,5  sin

x

= 1  cos

x

= 1  cos

x

= 0

x =

3



et

x =



3



x = 6



et

x = 



6



x = 2



x =

0 et

x =

2



x = 2



et

x = 2



+



=

2

3 

b. Même question sur l’ensemble des nombres réels R. On donne : k entier relatif (k  Z).

 cos

x

= 0,5  sin

x

= 0,5  sin

x

= 1  cos

x

= 1  cos

x

= 0

x =  ^ ₃

^{+ 2}k



_{x =}

6



+ 2k



_et

_{x =} 

_

6



+ 2k



_{x =}

2



+ 2k



_{x =}

_{0 + 2k}



_{x =}

2



+ k



EXERCICE 2 1. Résoudre graphiquement sur l’intervalle [ ; ], à l’aide des courbes ci-dessous, les équations : cos

x

= 0

 x = 

2

 et x = 2



et sin

x

= 0,

5  x = 6

 et x

 2,6 2. Déterminer graphiquement, à l’aide des courbes ci-dessous :

sin (-2)

  0,9

; cos 6

  0,9

et sin 2



.

= 1

Corrigé : FONCTIONS LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES

π

6

1 1

3 2 2 3

π



π

1

1

π

2 0,5

0,5 0 y

x :

y = sin x

:

y = cos x

Fonctions trigonométriques cos x et sin x

π

2

Angle (en radian)

2,6

Page 17

EXERCICE 1

1. Compléter le tableau à l’aide de la représentation graphique ci-dessous. Justifier.

Fonction Courbe représentative et justification

f(x) = x f(0) = 0 et f(1) = 1  courbe

f(x) = 10

^x

f(0) = 10

⁰

= 1 et f(1) = 10

¹

=10  courbe

f(x) = e

^x

f(0) = e

⁰

= 1 et f(1) = e

¹

= e  courbe

f(x) =

n

x f(1) =

n

1 = 0 et f(e) =

n

e = 1  courbe

f(x) =

og

x f(1) =

og

1 = 0 et f(10) =

og

10 = 1  courbe

2. Quelles sont les courbes deux à deux symétriques par rapport à la droite ?

EXERCICE 2

Résoudre (sans calculatrice) à l’aide de la représentation graphique ci-dessous,les deux équations

4

^x

= 10

et

8

^x

= 1

en utilisant la propriété og

(a

ⁿ

)

=

n 

og (

a)

.

4

^x

= 10

og

( 4

^x

) =

og (

10 ) x 

og (

4 ) =

og (

10 ) x =

x

 6 , 0

1

x

 1,6

8

^x

= 1 

og

( 8

^x

) =

og (

1 )



x 

og (

8 ) =

og (

1 )



x =  x =  x = 0

Corrigé : OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS

Académie de Toulouse / GL / Document libre de droit

18

og (

8 ) 0

og (

8 )

og (

1 )

og (

4 )

og (

10 )

x y

10 10

1 0 1

e

e

f(x) e

^x

x

og

x

n

x 10

^x

et (soit « e

^x

» et «

n

x ») et (soit « 10

^x

» et «

og

x »)

0 1

x y

10

:

f(x)

=og

x

f(x)

0,8 0,6 0,4 0,2

 0,2 1 2 3 44 5 6 7 8 9

Page 18

Objectif : construire la représentation graphique des fonctions

f + g

et

 f.

EXERCICE 1 EXERCICE 2

La courbe

.

est la représentation graphique de la La courbe

est la représentation graphique de la fonction

f

1 sur I = [2 ; 10]. Représenter graphiquement, fonction

f

2sur I = [2 ; 9]. Représenter raphiquement, sur I, la courbe d’équation

y = f

1

(x) + 2

. sur I, la courbe d’équation

y = f

2

(x)  3.

EXERCICE 3

La courbe

.

est la représentation graphique de la fonction

f

3 sur I = [1 ; 10].

La courbe est la représentation graphique de la fonction

g

sur I = [1 ; 10].

Représenter graphiquement, sur I, la courbe d’équation

y = f

3

(x) + g(x)

.

EXERCICE 4

La courbe

.

est la représentation graphique de la fonction

f

4 sur I = [1 ; 10].

Représenter graphiquement, sur I, la courbe d’équation

y = 2  f

4

(x)

.

Corrigé : COMPARAISON DE FONCTIONS ET INÉQUATIONS

x

0

y

1 1

0

x y

1

1 10

4

x

0

y

1

¹⁰

1 = g(1) 3 = f₃(1) f₃(x) + g(x) = 4 4

3

x

0

y

2 1

1 2 5 6

3 6

4 7 8

5

2 1 9 10 2 9

I

Page 19

Objectif : interpréter graphiquement

f (x)

 0 et

f (x)



g(x)

EXERCICE 1

Dans les cinq repères ci-dessous, les courbes , , , et sont les représentations graphiques respectivement des fonctions

f

1

, f

2

, f

3

, f

4 et

f

5 sur l’intervalle

I

= [3 ; 4]

.

1. Quelles sont, dans chaque cas, les valeurs de

x

qui sont solutions de l’équation

f(x)

=0 ? 2. Quelles sont, dans chaque cas, les valeurs de

x

qui sont solutions de l’inéquation

f(x)

0 ?

EXERCICE 2

Dans les deux repère ci-dessous, les courbes , , et sont les représentations graphiques respectivement des fonctions

f

1

, f

2

, g

1 et

g

2

.

1.

Quelles sont, dans chaque cas, les valeurs de

x

qui sont solutions de l’équation

f(x)

=

g(x) ? 2.

Quelles sont, dans chaque cas, les valeurs de

x

qui sont solutions de l’inéquation

f(x)



g(x) ?

Académie de Toulouse / GL / Document libre de droit

20

1.

f

₁

(x)

=

g

₁

(x)

a deux solutions :

x₁

= 3 et x

₂

= 7 S = 3 ; 7

2.

f

₁

(x)



g

₁

(x)

:

S = [1 ; 3]  [7 ; 8]

1.

f

₂

(x)

=

g

₂

(x)

a deux solutions :

x₁

= 2 et x

₂

= 6 S = 2 ; 6

2.

f

₂

(x)



g

₂

(x) : S = [1 ; 2]  [6 ; 6,5]

N

2

x y

 0,75 5 6

3

1 6,5

5

y

x D

7

0

3

3 4

y

x E

7

0 1

3 4

1.

f

1

(x)

=0 a deux solutions : x1

= 2 et x

2

= 3 :

S = 2 ; 3

2.

f

1

(x)

0 :

S = [2 ; 3]

1.

f

2

(x)

=0 a une solution : x = 1

S = 1

2.

f

2

(x)

0 :

S = [1 ; 4]

1.

f

3

(x)

=0 a deux solutions :

x1

= 2 et x

2

= 1 S = 2 ; 1

2.

f

3

(x)

0 :

S = [3 ; 2]  [1 ; 4]

1. L’équation

f

4

(x)

=0 n’a pas de solution :

S = 

2. L’inéquation

f

4

(x)

≥0 n’a pas de solution :

S = 

1. L’équation

f

5

(x)

=0 n’a pas de solution :

S = 

2.

f

5

(x)

0 :

S = [3 ; 4]

x y

x A

7

0 4

2 3

3 4 0 4

y

3

B 7

1

4

y

x C

7

0 1

3

3 2

M 7

4 2

0 5

y

8

x

3 6

7 1

1

Corrigé : FONCTIONS DÉRIVÉES DE FONCTIONS USUELLES Page 20

Objectif : reconnaître graphiquement la fonction dérivée d’une fonction usuelle.

EXERCICE

Les courbes dans la colonne de gauche sont les représentations graphiques de fonctions sur l’intervalle I = [-5 ; 5]. Les courbes de la colonne de droite sont celles de leurs fonctions dérivées.

Sans calcul, associer chaque fonction à sa fonction dérivée. Justifier.

5 ₅

x

y A

0 2

5 ₅

x

y 1

7

0  2 2

y

5 5

x

1

E

0 11

1

F

y

5 ⁰ ₅

x

3 2

1

5 ₅

x

3 y 7

0

5 ₅

x

y 5

7

0 1

5 ₅

x

y 4

7

0 1

1

5 5

x

y B

0 1

3

 2

y

5 5

x

D

0

5 5

5

x

6

y

0

5 5

x

y 2

7

0 -1

1 1

5 5

x

y

5

C

0

FONCTION DÉRIVÉE

y < 0 y < 0

y < 0

0 < y 0 < y 0 < y 0 < y

0 < y

y = 0 y = 0

y = 0

y = 0

Constante

Croissante

Croissante

Croissante

Croissante Décroissante

Décroissante Croissante Décroissante

Croissante

1

y = 0

Corrigé : STATISTIQUES : moyenne, mode et médiane

Page 21

Objectif : déterminer graphiquement le mode, la médiane et la moyenne d’une série statistique.

EXERCICE 1

Les quatre nuages de points représentent à chaque fois les notes obtenues à six évaluations , , , , et . Déterminer le mode Mo, la médiane Me et calculer la moyenne

x

dans chaque cas.

EXERCICE 2

Pour les séries statistiques représentées ci-dessous :

1. préciser si la distribution est unimodale ou bimodale ;

2. dans les cas où cela est possible, déterminer sans calcul la moyenne

x

et la médiane Me.

Académie de Toulouse / GL / Document libre de droit

22

y

A

x x

y

B

x

y

C

x

y

D

E 7

Caractère

Effectif

F 7

Caractère

Effectif

G 7

Caractère

Effectif

H 7

Caractère

Effectif

I 7

Caractère

Effectif

J

7

Caractère

Effectif

K

7

Caractère

Effectif

L

7

Caractère

Effectif

Les quatre séries de notes ont le même mode, la même médiane et la même moyenne :

Mo = 10 points , Me = 10 points et

x = 10 points.

 Unimodale.



x = 10 et Me = 10.

Il est facile de connaître la moyenne et la médiane d’une série lorsque sa distribution présente un axe de symétrie

 Bimodale.



x = 10 et Me = 10.

 Unimodale.



x et Me avec calculs.

 Pentamodale.



x = 10 et Me = 10.

 Unimodale.



x et Me avec calculs.

 Unimodale.



x et Me avec calculs.

 Bimodale.



x = 10 et Me = 10.

 Unimodale.



x et Me avec calculs.

Corrigé : STATISTIQUES : étendue, quartiles et écart interquartile Page 22

Objectifs :

 déterminer graphiquement l’étendue et les quartiles d’une série statistique ;

 associer une représentation graphique à un diagramme en boite à moustaches.

EXERCICE 1

L’effectif total de la série ci-contre est N = 80.

1. Quelle est son étendue e ?

e = x

max

– x

min

= 19 – 1 = 18

2. Quelle est la valeur du premier quartile Q1 ?

Q

1

= 5

3. Quelle est la valeur du troisième quartile Q3 ?

Q

3

= 16

4. Calculer l’écart intercartile Q3  Q1. À quelle proportion de la population correspond ce nombre ?

Q

3

 Q

1

= 16 – 5 = 11

EXERCICE 2

Sans calcul, associer chaque histogramme de ces quatre séries, de même effectif N = 40, avec un des quatre diagrammes en boite à moustaches.

Corrigé : STATISTIQUES : écart-type

Effectifs

Caractère

A 7

Effectifs

Caractère

B 7

Caractère

Effectifs

C 7

Effectifs

Caractère

D 7

1

7 2

7

4 3 7

7

Effectifs

Caractère

Q1

20 40 20

Q3

Q

1

Q

3

Me

Q

1

Q

3

Me

Q

1

Q

3

Me

Q

1

Q

3

Me

B A

D C

10 10 10 10 10 10 10

10

10 10 10

10 10 10 10 10