Exercice 1 Les carrés.
On peut chercher, parmi ses carrés, ceux qui croisent un minimum d’autres carrés. Il s’agit bien souvent des petits carrés :
On trouve aisément 6 petits carrés (en orange), auxquels on peut joindre un grand carré qui englobe un petit carré, sans le croiser (en vert).
Cela fait 7 carrés à garder. 11-7=4. On peut donc en effacer 4.
La réponse est donc 4 carrés.
Exercice 2 Les fléchettes.
Voici les scores qu’on peut atteindre avec 4 fléchettes au maximum sur la cible.
1=1 2=1+1 3=3 4=3+1 5=3+1+1 6=3+3 7=3+3+1 8=3+3+1+1 9=9
10=9+1 11=9+1+1 12=9+3 13=9+3+1 14=9+3+1+1 15=9+3+3 16=9+3+3+1
On trouve que 17 n’est pas atteignable avec 4 fléchettes car au minimum on peut faire 17=9+3+3+1+1.
Le plus petit total impossible à réaliser est donc 17.
Exercice 3 Les pièces du labyrinthe.
Comme on ne peut se déplacer que vers la droite ou vers le bas, on va parcourir des salles contenant 1 pièce d’or (au minimum une salle), puis des salles contenant 2 pièces d’or (au minimum une salle), puis des salles contenant 3 pièces d’or (au minimum une salle), et enfin des salles contenant 4 pièces d’or (au minimum une salle). On parcourt au total 9 salles.
1+2+3+4=10. On est obligé de passer par quatre salles contenant au total 10 pièces d’or.
Il nous reste 9-4=5 salles qui contiennent 21-10=11 pièces d’or.
Commençons par remplir au maximum les premiers nombres, on trouve : 11=4+4+1+1+1
11=4+3+2+1+1 11=4+2+2+2+1 11=3+3+3+1+1 11=3+3+2+2+1 11=3+2+2+2+2
On peut avoir 6 chemins différents.
Exercice 4 Un dé à huit faces.
En observant ce patron, on s’aperçoit que deux faces séparées par deux autres faces dans le même alignement, sont opposées.
Cela signifie que la face grise est opposée au nombre 2.
La somme des nombres situés sur deux faces opposées est toujours la même.
Il n’y a qu’une seule façon de répartir ces nombres, c’est de faire : 1+8=2+7=3+6=4+5. Et le total est de 9.
Le nombre sur la face grisée est donc 7 .
Exercice 5 Le partage de la tablette.
4×5=20. Il y a 20 carrés de chocolat à partager en 4, cela fait 20÷4=5 carrés par morceau.
Cherchons les formes composées de 5 carrés, il y en a 12. Les voici :
On ne peut pas aboutir avec la première forme.
Avec la deuxième, c’est assez simple :
Avec la troisième, on y arrive aussi :
Avec la quatrième, on ne peut pas aboutir.
Avec la cinquième, on trouve une solution :
Mais avec les 7 autres, on ne peut pas aboutir.
On peut avoir 3 formes différentes.
Exercice 6 Une lampe au plafond.
Le petit carré peut être au centre, comme sur le modèle :
Il peut être dans l’un des 4 coins :
Ou bien il peut être sur l’un des 4 bords, au milieu :
1+4+4=9.
Il y a donc 9 endroits différents.
Exercice 7 Les années suiveuses.
Écrivons toutes les années suiveuses :
Comme on se sert beaucoup de la somme des chiffres de 1 à 9, calculons-la : 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.
12+23+34+45+56+67+78+89= 44 unités et 36 dizaines (car 45-1=44 et 45-9=36) 36+4=40. Ce total fait 404.
1011+1112+...+1920=45 unités 11 dizaines 45 centaines et 10 milliers.
45+110+4 500+10 000=14 655.
Enfin 404+910+14 655 +2 021=17 990.
Son résultat sera de 17 990.
1 2 9 10 10 11 20 21
2 3 11 12
3 4 12 13
4 5 13 14
5 6 14 15
6 7 15 16
7 8 16 17
8 9 17 18
18 19 19 20
Exercice 8 Les pièces de puzzle.
Les coins peuvent être de 3 formes : avec 2 creux, avec 2 bosses, ou avec 1 creux et 1 bosse.
Les bords peuvent être de 6 formes différentes :
Les pièces centrales peuvent être de 6 formes différentes :
Au total on peut obtenir 15 piles de pièces de puzzle.
Exercice 9 Toujours plus petit.
Dans ce dessin, chacun des triangles (rouges ou bleus) ont la même aire. Par conséquent l’aire du losange (en rouge) vaut la moitié de l’aire du rectangle.
Dans le deuxième dessin, chacun des triangles bleus a son jumeau en rouge. Par conséquent l’aire du rectangle (en rouge) vaut la moitié de l’aire du losange.
1er rectangle : l’aire est de 80×40=3200 dm².
1er losange : l’aire est de 3200÷2=1600 dm².
2e rectangle : l’aire est de 1600÷2=800 dm².
2e losange : l’aire est de 800÷2=400 dm².
3e rectangle : l’aire est de 400÷2=200 dm².
3e losange : l’aire est de 200÷2=100 dm².
4e rectangle : l’aire est de 100÷2=50 dm².
4e losange : l’aire est de 50÷2=25 dm².
5e rectangle : l’aire est de 25÷2=12,5 dm².
5e losange : l’aire est de 12,5÷2=6,25 dm².
6e rectangle : l’aire est de 6,25÷2=3,125 dm².
6e losange : l’aire est de 3,125÷2=1,5625 dm².
7e rectangle : l’aire est de 1,5625÷2=0,78125 dm²<1 dm².
Mathilde a dû dessiner 6 losanges.
Exercice 10 Huit diviseurs.
Première façon :
On peut tester sur les premiers nombres :
1=1×1 1 diviseur 2=1×2 2 diviseurs 3=1×3 2 diviseurs 4=1×4
=2×2 3 diviseurs 5=1×5 2 diviseurs 6=1×6
=2×3 4 diviseurs 7=1×7 2 diviseurs 8=1×8
=2×4 4 diviseurs 9=1×9
=3×3 3 diviseurs 10=1×10
=2×5 4 diviseurs 11=1×11 2 diviseurs 12=1×12
=2×6 =3×4 6 diviseurs 13=1×13 2 diviseurs 14=1×14
=2×7 4 diviseurs 15=1×15
=3×5 4 diviseurs 16=1×16
=2×8 =4×4 5 diviseurs 17=1×17 2 diviseurs 18=1×18
=2×9 =3×6 6 diviseurs 19=1×19 2 diviseurs 20=1×20
=2×10
=4×5
6 diviseurs
21=1×21
=3×7 4 diviseurs 22=1×22
=2×11 4 diviseurs 23=1×23 2 diviseurs 24=1×24
=2×12
=3×8 =4×6
8 diviseurs
D
euxième façon :
Si on connaît la décomposition en facteurs premiers, un nombre N qui se décompose en an×bp×cq×…
avec a,b,c,… nombres premiers différents, possède (n+1)×(p+1)×(q+1)×… diviseurs.
Ainsi, pour avoir 8 diviseurs, N doit s’écrire sous la forme a7 ou a3b1 ou a1b1c1. Le plus petit de chaque forme est 27=128, 23×3=24, 2×3×5=30.
On trouve ainsi que le plus petit nombre possédant 8 diviseurs est 24.
Exercice 11 Ficelle cadeau.
225=3×3×5×5.
Nous avons 225=C×C×H où C est la longueur du côté du carré et H la hauteur de la boîte.
Comme H>1 cm, alors C≠15 mais on peut avoir C=3 et H=25 ou C=5 et H=9.
La longueur du ruban est L=4C+4H+25.
Si C=3 et H=25 alors L=4×3+4×25+25=12+100+25=137 cm.
Si C=5 et H=9 alors L=4×5+4×9+25=20+36+25=81 cm.
Nous avons 2 solutions : 81 cm et 137 cm.
Exercice 12 Diagonales.
Partons du quadrilatère ABCD qui possède 4 côtés, 2 diagonales coupées en 2 soit 8 traits. Si on compte tous les points il y en a 5 : les 4 sommets et le point d’intersection des diagonales. Le nombre de régions est donné par la formule R=T-P+1. C’est à dire R=8-5+1=4.
Si on rajoute le point E, on obtient un pentagone qui possède 5 côtés et 5 diagonales coupées en 3 soit 20 traits. Il y a 5 sommets et 5 points d’intersections des diagonales soit 10 points. R=20-10+1=11.
Si on rajoute le point F, on obtient un hexagone qui possède 6 côtés et 9 diagonales (6 coupées en 4 et 3 coupées en 5) soit 6+24+15=45 traits. Pour les points, il y a les 6 sommets et pour les points
d’intersection des diagonales (3+3+4) partent de chaque sommet et sont comptés 4 fois 10×6÷4=15.
P=6+15=21. R=45-21+1=25.
Quand on rajoute le point G, on obtient un heptagone qui possède 7 côtés et 14 diagonales (7 coupées en 5 et 7 coupées en 7) soit 7+35+49=91 traits. Pour les points il y a les 7 sommets et pour les points d’intersections des diagonales, (4+4+6+6) partent de chaque sommet et sont comptés 4 fois.
20×7÷4=35. P=7+35=42. R=91-42+1=50.
Il y a 50 régions.
A C B
D
E
F G
A C B
D
E
F G
A C B
D
E
F G
A C B
D
E
F G
Exercice 13 Jouer à la loterie.
Il y a 6 nombres et 10 chiffres cela veut dire qu’il y a 4 nombres à deux chiffres et 2 nombres à un chiffre.
Les nombres à 4 chiffres commencent forcément l’un par 1, l’autre par 2, l’autre par 3 et le dernier par 4 car les nombres sont inférieurs à 42. Le dernier est forcément 40 car le 1 et le 2 sont déjà utilisés. Les nombres sont de la forme A B 1C 2D 3E 40 où A,B,C,D et E sont choisis aléatoirement parmi 5,6,7,8,9.
Pour E on a 5 possibilités. Pour D il reste 4 possibilités. Pour C il reste 3 possibilités. Pour A et B, on prend ce qu’il reste dans l’ordre croissant.
On a donc 5×4×3=60 possibilités.
On peut composer 60 grilles différentes.
Exercice 14 Partage équitable.
Calculons pour chaque N la somme totale des N nombres :
Toutes les sommes totales impaires ne peuvent pas être partagées en deux parts égales.
Montrons que pour les sommes totales paires, un partage est possible : Pour 3 on a 1+2=3.
Pour 4 on a 5=1+4=2+3.
Pour 7 on a 14=1+6+7=2+3+4+5.
Pour 8 on a 18=5+6+7.
Pour 11 on a 33=11+10+9+3.
Pour 12 on a 39=12+11+10+6.
Pour 15 on a 60=15+14+13+12+6.
Pour 16 on a 68=16+15+14+13+10.
Pour 19 on a 95=19+18+17+16+15+10.
Pour 20 on a 105=20+19+18+17+16+15.
Nous avons 10 solutions : 3,4,7,8,11,12,15,16,19,20.
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 somme totale 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 136 153 171 190 210 231
Exercice 15 Le robot.
Voici les premiers mouvements : 1+2+3+… +N= N(N+1)÷2.
Si N(N+1)÷2=2080 alors N(N+1)=4160.
Trouvons des carrés proches de ce nombre : 60²=3600
70²=4900 65²=4225
1+2+3+...+64=64×65÷2
=32×65=2080. On arrive au 64e point après le point de départ.
Or 64÷4=16. Le robot fait donc 16 tours complets. Il arrivera au point A16.
Les points A0, A1, A2, … A16 sont alignés sur une diagonale et A0A1=100×
√
2 .Donc A0A16=16×100×
√
2≈16×100×1,414=16×141,4=2262,4.Le robot se trouve à environ 2262 cm de son point de départ.
Exercice 16 Le carré kryptonien.
J’ai remplacé les symboles kryptoniens par des lettres ou leur valeur numériques.
donne
où a,b,c sont des nombres consécutifs en ordre croissant.
On a donc xc + b + xy = xy +xa +z (1ère ligne et 3e colonne) Par conséquent c+b=a+z
a+2+a+1=a+z donc z=a+3.
On a aussi xc+x0+z=9+x0+xa (1ère diagonale et 2e ligne) Par conséquent c+z=9+a.
a+2+a+3=9+a donc a+5=9 et a=4. Il vient ensuite b=5, c=6 et z=7.
On a x6+5+xy=9+x0+x4 (1ère et 2e ligne) donc 11+y=13 et y=2.
On a 5+x0+xt=9+x0+x4 (2e colonne et 2e ligne) donc 5+t=13 et t=8.
On a u+x0+x2=9+x0+x4 (2e diagonale et 2e ligne) donc u+2=13 et u=11.
On a x6+5+x2=11+x8+7 (1ère et 3e ligne) donc x0+13=26 donc x0=13.
La base est un diviseur de 13 qui n’est pas 1 : c’est donc 13 et x=1.
Écrit en base décimale le carré est donc le suivant :
15+5+19=39 et 39×3=117.
Nous avons 1 solution : La somme des nombres vaut 117.
xc b xy
9 x0 xa
u xt z
19 5 15
9 13 17
11 21 7
Exercice 17 Quatre petits cubes.
Supposons qu’on raisonne sur le cube au fond à gauche.
Les faces 1 et 2 sont blanches et les autres sont vertes au départ.
Cherchons toutes les possibilités sachant que les deux faces blanches sont interchangeables.
Si la face 3 est blanche, alors l’autre face blanche est la face 1, 2, 5 ou 6. Cela nous donne respectivement 3 faces vertes visibles, 3 faces vertes visibles, 2 faces vertes visibles et 2 faces vertes visibles.
Si la face 3 est verte et la face 4 est blanche, alors l’autre face blanche est la face 1, 2, 5 ou 6. Cela nous donne respectivement 3 faces vertes visibles, 3 faces vertes visibles, 2 faces vertes visibles et 2 faces vertes visibles.
Enfin si les faces 3 et 4 sont vertes alors les faces blanches sont soit 1 et 2, soit 2 et 6, soit 6 et 5, soit 5 et 1. Cela nous donne respectivement 4 faces vertes visibles, 3 faces vertes visibles, 2 faces vertes visibles et 3 faces vertes visibles.
Ainsi la probabilité que sur un dé on ait 4 faces vertes visibles est de 1/12.
La probabilité que sur un dé on ait 3 faces vertes visibles est de 6/12.
La probabilité que sur un dé on ait 2 faces vertes visibles est de 5/12.
Pour obtenir 12 cm² de vert avec les quatre dés il faut soit faire 4+4+2+2, soit 4+3+3+2, soit 3+3+3+3.
Pour 4+4+2+2, il faut choisir 2 dés parmi 4 soit 4×3÷2=6 possibilités avec une probabilité de
(
121)
2×(
125)
2.Pour 4+3+3+2, il faut choisir 2 dés parmi 4 et 1 parmi les deux restants soit 6×2= 12 possibilités avec une probabilité de
(
121)
×(
126)
2×(
125)
.Pour 3+3+3+3, il y a 1 seule possibilité avec une probabilité de
(
126)
4.Au total : 6×52+12×62×5+64
124 =52+2×62×5+63
2×123 =25+360+216
2×1728 = 601 3456. 601 n’étant ni divisible par 2 ni par 3, on a une fraction irréductible.
La probabilité d’obtenir 12 cm² est de 601/3456.
Exercice 18 Le partage du jardin.
Posons x=BD, y=BE et L= DE.
Le périmètre de BDE est x+y+L et celui de DACE est de 36-x+60-y+38+L.
On a donc x+y = 134-x-y. 2x+2y=134. Et x+y=67.
Le demi périmètre de ABC vaut 67 m.
Aire(BDE)=x.y.sin(^B)/2 Aire(ABC)=36×60.sin(^B)/2
Par conséquent xy=36×60/2=1080.
Les nombres x et y sont donc solutions de l’équation X²-67X+1080=0 Δ=67²-4×1080=4489-4320=169=13².
X=(67±13)/2 X=40 ou X=27
Comme x<36 alors x=27 et y=40.
Il y a donc 1 solution, BD=27 m et BE=40 m.
A
B C
D
E
