1 Champ créé par une distribution plane

Feuille d'exercices : Révisions d'électrostatique et de magnétostatique

P Colin 13 octobre 2010

Première partie

Électrostatique

1 Champ créé par une distribution plane

On considère une distribution de charges volumique uniforme (ρ0), comprise entre les deux plansx=−a/2 etx= +a/2.

1. En utilisant les équations locales de l'électrostatique, déterminer le champ et le potentiel électrostatique en tout point de l'espace.

2. Étudier la limitea7→0(en supposant que σ=ρa=Cste). Comparer au champ créé par un plan uniformément chargé en surface.

2 Étude d'une sphère creuse

Une sphère creuse de rayonRet de charge totaleQest chargée uniformément en surface.

1. Déterminer le champ électrique et le potentiel en tout point de l'espace (origine des potentiels à l'inni).

2. Retrouver très simplement l'expression deV (O).

3. Quel travail minimal doit fournir un opérateur pour augmenter la charge de dQ en amenant sur la sphère la charge dQ depuis l'inni ? En dé- duire le travail minimalU_elà fournir pour constituer une charge surfaçique sphérique uniforme de charge totaleQ₀à partir de charges séparées à l'in- ni.

4. ComparerU_elà l'énergie électrostatique de la distribution de charges.

3 Point matériel dans un tunnel

La terre, considérée comme une boule homogène, est percée d'un tunnel entre deux points de sa surface.

1. Déterminer le champ gravitationnel en tout point à l'intérieur de la terre.

2. Étudier le mouvement d'un point matériel glissant sans frottement dans le tunnel.

4 Pression au centre d'une étoile

Une étoile est une sphère de masseM et de rayonR; nous la supposerons aussi homogène, de masse volumiqueρ; la pression à sa surface est négligeable.

1. Déterminer le champ de gravitation qui règne à la distancerdu centre de l'étoile.

2. Déterminer la pressionp0 qui règne au centre de l'étoile.

5 Équilibre d'une charge ponctuelle

Une spire circulaire de rayonRporte une charge linéique uniforme de densité λ > 0. Cette spire est maintenue immobile. En un point M de l'espace, on lâche sans vitesse initiale une particule ponctuelle de charge q. Sans calculer explicitement le champ ou le potentiel créés par cette spire, justier :

1. La position de M pour que la particule puisse y être en équilibre ; 2. L'existence d'une condition sur q pour que cette position soit stable vis

à vis d'un petit déplacement de la particule le long de l'axe de la spire (orthogonal au plan de la spire, passant par son centre) ;

3. L'instabilité de cette position vis à vis d'un petit déplacement dans le plan de la spire lorsque la condition précédente est vériée.

6 Champ au voisinage d'un axe de révolution

Soit, dans une région vide de charge, un champ électrique−→E =Er−→er+Ez−→ez

(coordonnées cylindriques) présentant la symétrie de révolution autour de Oz. 1. Montrer qu'au voisinage de l'axe,Er(r, z) =−^r₂^∂E_∂z^z(r= 0, z)

2. Appliquer ce résultat pour calculer le champ au voisinage de l'axe d'un anneau de rayonaportant la densité linéique de chargeλ.

7 Dipôle et l chargé

Un dipôle−→p est placé au centre O d'une spire circulaire de rayonaportant la charge par unité de longueur λ, uniforme.−→p fait un angleθ avec l'axe de la spire (cf. gure 1).

1. Calculer le moment des eorts exercés sur le dipôle.

2. Calculer la résultante des eorts exercés sur le dipôle.

8 Dipôle cylindrique

Deux ls identiques, 1 et 2, cylindriques, rectilignes, de rayon très petit a, inniment longs, sont disposés dans le vide parallèlement l'un à l'autre. Le l 1 porte la charge λpar unité de longueur, et le l 2 la charge−λpar unité de longueur. On se propose de calculer le potentiel et le champ électrostatiques en un point M de coordonnées polairesretθdans le planxOyperpendiculaire aux

Figure 1 Dipôle et l chargé

Figure 2 Dipôle cylindrique

1. Analyser les symétries et les invariances de cette distribution de charges.

Que peut-on en conclure concernant le potentiel et le champ ?

2. Calculer le potentiel électrostatique V(r1, r2)en M, en prenant par con- ventionV = 0 sur Oy.

3. On suppose que la distanceddes axes des deux ls ést telle querda. On obtient alors un dipôle cylindrique de moment−→p =λd−→ux. Calculer le potentielV(r, θ)en M. En déduire les composantesEretEθ du champ électrostatique−→E.

4. Peut-on qualier cette distribution de dipolaire ?

9 Répartition supercielle de charges

Deux sphères de même rayon R sont uniformément chargées en volume : l'une porte la densité de charges −ρ, l'autre la densité de charge +ρ. Leurs centres O1 et O2 sont aux abscisses−aet+asur l'axe Ox, avecaR.

1. Déterminer le champ électrique créé par les deux sphères en tout point de l'espace appartenant soit aux deux sphères soit à aucune d'entre elles.

Exprimer les résultats en fonction du moment dipolaire électrique total de

la distribution :

−

→p = Z Z Z

V

−−→OM ρ(M)dτ

2. Le système précédent peut être considéré comme une couche sphérique de rayonRchargée en surface, avec une densité surfacique de charges en un point M donnée parσ=σ₀cosθ, oùθ est l'angle que fait OM avec Oxet oùσ₀ est une constante.

(a) Déterminer le champ créé en O par une telle distribution.

(b) En déduire une relation entreσ0en fonction deρeta, puis exprimer le champ électrique créé en tout point de l'espace par cette distribu- tion surfacique de charges. Etudier le comportement des composantes normales et tangentielles de−→E à la traversée de la sphère de rayonR. Rappel : le potentiel électrostatique créé par un dipôle électrostatique de moment−→p situé à l'origine en un point repéré par−→r est donné parV = −→p.−→r

4π0r³.

10 Plasma

Dans un plasma, la densité particulaire d'une espèce de particules de charge qdépend du potentiel électrostatiqueV selon :

n=Kexp

−_k^qV_BT

Le plasma considéré, globalement neutre, contient des ions (chargeq= +e) et des électrons (charge−e). On place dans ce milieu une charge ponctuelleQà l'origine O. Il règne alors dans le milieu un potentiel à symétrie sphériqueV(r). 1. Justier que la densité particulaires des ions (resp. des électrons) enrpeut

s'écrire :

n_i =n₀exp

−^eV_kB^(r)_T

(n_e=n₀exp eV(r)

kBT

)

2. Ecrire l'équation aux dérivées partielles vériée parV ; on fera apparaître la longueur caractéristiquel=

qε₀k_BT 2n₀e²

3. Résoudre l'équation précédente en supposant eV kBT. Interpréter le résultat en comparantV(r)à celui que l'on observerait dans le vide ; On rappelle qu'en symétrie sphérique :

∆V = ¹_rdr^d22 (rV (r))

11 Potentiel de Yukawa

On a un potentielV(M) = _4πε^q

0rexp −^r_a

dans un espace oùr représente la distance d'un point xe O au point courant M.

1. (a) Determiner le champ electrostatique −→E(M).

(b) Calculer le uxΦ(r)de−→E(M)à travers une sphère (S) de centre O et de rayonr.

(c) si r → 0, que deviennent −→E(M) et Φ(r)? Interpréter les résultats

2. (a) Determiner la densité volumique de charge enrnotéeρ(r). (b) Calculerq⁰ la charge interieure à la sphère (S).

(c) Decrire la distribution de charges. Que pourrait-elle modéliser ?

Deuxième partie

Magnétostatique

12 Courant surfacique - discontinuité du champ

1. Déterminer en tout point le champ magnétostatique créé par une nappe de courant plane (densité surfacique−→j_s=j_s−→u_xdans le planz= 0).

2. On considère une distribution volumique de courants, uniforme, passant parallèlement à Ox entre les deux plans z = a et z = −a. le vecteur densité volumique de courant est donc donné par−→j =j₀−→u_xpour|z|< a et−→j =−→0 pour|z|> a.

Déterminer en tout point de l'espace la direction du champ magnétique créé ; De quelles variables est-il eectivement fonction ? Comparer les champs magnétiques en deux points symétriques par rapport àxOy.

3. Déterminer l'expression du champ magnétique en tout point de l'espace.

4. Donner l'expression de la densité surfacique de courant vers laquelle tend ce système lorsquea→0. Retrouver les résultats du 1.

13 Champ à symétrie de révolution

1. Calculer le champ magnétique créé par une spire circulaire d'axe Ozpar- courue par un courantien un point de son axe.

2. Montrer qu'à une petite distance r de l'axe Oz, le champ possède une composante radiale Br que l'on calculera en fonction de Bz(z)et de ses dérivées.

3. Calculer Br(r, z)au voisinage de l'axe.

14 Solénoïde inni

1. Rappeler brièvement l'expression du champ magnétique créé par un l in- ni, cylindrique, de rayona, parcouru par la densité volumique de courant uniforme−→j₀=j0−→ez.

2. Rappeler brièvement l'expression du champ magnétique créé par un solénoïde inni, parcouru par la densité surfacique de courant uniforme−→j_s=ni−→eθ. On noteraale rayon de ce l cylindrique.

3. Déterminer un potentiel vecteur convenable, créé par ce solénoïde inni.

Vérier la jauge de Coulomb. Faire le lien avec la question 1.

15 Champ créé par un cylindre chargé en rota- tion

On considère un cylindre de rayona uniformément chargé en volume avec une densité volumiqueρ, en rotation autour de son axe avec la vitesse angulaire

1. À partir de considérations de symétrie, prévoir la direction du champ magnétique créé et les variables dont il dépend.

2. Exprimer le vecteur densité de courant.

3. En prenant le champ nul à une distance innie de l'axe, déterminer le champ magnétique en tout point.

On donne, pour une fonction−→B(M) =B(r)−→u_z(coordonnées cylindriques),

−→rot−→B =−^dB_dr−→uθ.

16 Champ magnétique dans une cavité

Un conducteur rectiligne inni, parcouru par un courant I uniformément réparti dans sa section, est formé de l'espace compris entre deux cylindres de rayonsR etR⁰ (R⁰> R), d'axes parallèles mais non confondus.

Calculer le champ magnétique créé dans la cavité de rayon R.

17 Densité de courant donnant un champ donné

On considère en coordonnées cylindriques un champ magnétique d'expres- sion :

0≤r≤a −→B =B0 r a

3

exp −^r_a−→uθ

a≤r −→B =^2B_r^0a−→uθ

1. Déterminer la densité volumique de courant en tout point de l'espace.

2. Montrer qu'il existe en r=aune densité surfacique de courant et donner son expression.

18 Électro-aimant

Les pièces polaires d'un électro-aimant sont constituées (cf. gure 3) de deux troncs de cône de même sommet O, de demi-angle au sommetα. On enroule un l de diamètre 2a sur chacun de ces trons de cône. Le l est enroulé de sorte que les spires soient jointives ; elles sont réparties entre les distances minimale et maximale au sommet d et D > d. Toutes les spires sont parcourues par le même courant d'intensitéi.

1. Quel doit être le sens respectif du courant dans les deux enroulements pour que le champ magnétique soit maximal en O et respecte les polarités du schéma ?

2. Calculer le champ magnétique créé en O par cet enroulement.

3. Calculer la résistance de cet enroulement, en fonction de la conductivité γdu l.

Figure 3 Électro-aimant

19 Sphère chargée en surface

Une sphère isolante de centre O et de rayon R porte (cf. gure ) la den- sité surfacique de charge uniforme σ. Cette sphère tourne autour d'un de ses diamètres (Oz) à la vitesse angulaireω constante.

Figure 4 Sphère chargée en surface

Déterminer, par un calcul direct, le potentiel vecteur−→A(O)et le champ magnétique−→B(O)créés au centre de la sphère.

Exprimer, en tout point M , le potentiel vecteur−→A sous la forme−→A(M) = ω−→ez ∧H

f(P)−→n dS. Calculer cette intégrale au moyen du théorème du gradient, et montrer qu'elle se ramène à la détermination d'un champ électrostatique classique. En déduire enn−→A(M)puis−→B(M)en tout point M .

20 Bobines de Helmholtz

Deux spires plates, de même rayonaet de même axe (Oz), sont parcourues par le même courant i. On noted la distance des centres de ces deux bobines (voir la gure 5).

1. Rappeler l'expression du champ créé par ce dispositif en un point de son axe. On notera O le centre de l'intervalle séparant les deux bobines.

Figure 5 Bobines de Helmholtz

2. On se place maintenant à une distance r relativement faible de l'axe.

Montrer que le champ possède une composante radiale donnée parB_r=

−^r₂^∂B_∂z^z

3. À quelle condition peut-on considérer que le champ magnétique est quasi- ment uniforme dans la région voisine de O ?

21 Supraconducteur

Un matériau supraconducteur est caractérisé par la relation constitutive

−

→j =− −→A

µ0δ², oùδ est une constante positive. Le système est étudié en régime permanent.

1. Quelle est la dimension deδ? Quelle condition de jauge doit-on imposer ? 2. Le matériau supraconducteur occupe le volume compris entre les plans z=−aetz= +a. On supposeraδa. À l'extérieur du milieu supracon- ducteur, il règne un champ magnétique uniforme et constant de module B₀, colinéaire à l'axe (Ox). On admet que, dans ce modèle, aucune distri- bution surfacique de courants n'est à prendre en compte et que le champ magnétique est continu dans l'espace.

Déterminer le champ magnétique en tout point du matériau.

3. Déterminer la densité volumique de courants dans le matériau.