TD3 : Transformation & automates à pile—Correction

TD3 : Transformation & automates à pile—Correction

Bingzhi LI ([email protected]) 2 octobre 2020

1 Transformations de Grammaires

1. Soit le langageL₁ sur le vocabulaireV = {l’,homme,ours,qui,a,vu} formé de l’ensemble des phrases finies de la formel’homme qui a vu l’ours,l’homme qui a vu l’homme qui a vu l’ours,l’homme qui a vu l’homme qui a vu . . . qui a vu l’ours.

(a) Donner une grammaire algébrique (context-free) engendrant L1. Solution: S → NP Rel

NP → l’ homme

Rel → qui a vu NP Rel

| qui a vu l’ ours

(b) Mettre en forme normale de Chomsky la grammaire obtenue.

Solution: La grammaire est déja propre (-libre, pas de symboles inutiles, pas de productions singulières).

On garde la règle S→N P Rel et on ajoute : N P → X_l⁰ X_homme

Rel → X_qui A₁ A1 → Xa A2

A₂ → X_vu A₃ A₃ → N P Rel Rel → Xqui B1

B₁ → X_a B₂ B₂ → X_vu B₃ B3 → X_l⁰ Xours

X_l⁰ → l’

X_homme → homme Xours → ours X_qui → qui

X_a → a

Xvu → vu

2. Transformer la grammaire suivante en grammaire sans règles singulières : S→AB|A; A→aB|bA|aSb; B →S|b

Solution: S→AB|aB |bA|aSb; A→aB |bA|aSb; B →AB|aB|bA|aSb|b

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3. Soit la grammaire suivante : S −→ aSbS |bSaS |ε. Appliquer l’algorithme vu en cours pour éliminer des productionsε.

Solution: S⁰ → S |ε

S → aSbS|bSaS|ab|ba|aSb|abS |bSa|baS

2 Automates à pile

4. Proposer un automate à pile déterministe pourL₂ ={aⁿbⁿ |n≥0}.

Solution:

Table de transition :

(1,1) a, →A (1,2) b, A→ (2,2) b, A→

Graphe :

1

start 2

a, →A

b, A→ε

b, A→ε

Réflexion: Nous devons utiliser quel type d’acceptation ici ?

5. Trouver un automate à pile qui accepte le langage{ww / w ∈ {a, b}^∗}, oùwdésigne le mot miroir dew.

6. Proposer un automate à pile pour la grammaire algébrique suivante : S → a|aa |b|bb|aSa |bSb

Solution: Principe : on empileaen lisanta,b en lisantb, puis on transitionne par une des 4 règles lexicales dans un état final où l’on dépileaen lisanta,ben lisantb. Ici on a besoin d’une acceptation mixte : être dans l’état final etavoir une pile vide.

Remarque : pour que Y puisse représenter n’importe quel symbole, on utilise le fait que l’alphabet d’entrée et l’alphabet de pile ne sont pas nécessairement disjoints. Par exemple, Y, P →Y P est une simplification notationnelle d’un ensemble de transitions y₁, p₁ → y₁p₁, y₁, p₂ → y₁p₂... pour tout y∈X∩Γ, p∈Γ.

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3 Y, P →Y P 4 a, P →P

b, P →P

a, P →P

ε, P →P

b, P →P

ε, P →P

Y, Y →ε

7. Proposer un automate à pile pourL1 ={w∈ {a, b}^∗ | |w|_a =|w|_b}(tout mot contenant autant de aque deb).

Solution: Principe : à chaquealu, unb est empilé, et vice-versa. Mêmes remarques que précédem-

ment.

1 start

a, P →bP

b, P →aP

a, a →ε b, b →ε

8. Donner l’automate de la grammaire ETF : G=

E→ E+T |T T → T∗F |F F → (E) |a

Solution: Principe : on commence par empiler l’axiome, et on ajoute autant de transitions-εbou- clant sur q2 qu’il y a de règles, chacune empilant la partie droite de la règle à condition que la partie gauche soit en haut de pile. Ceci requiert donc que l’alphabet de pile comprenne et l’alphabet d’entrée et l’alphabet des non-terminaux de la grammaire (Γ =X∪V ∪ {Z₀}). Ensuite, on rajoute autant de transitions qu’il y a de symboles terminaux, en bouclant toujours sur q2, chacune dépilant un charactère à la fois lu et en haut de pile. On donne enfin un état d’acceptation accessible par transition-εà condition que la pile soit vide.

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start 2 3

ε, Z0→EZ0

ε,E →E+T ε,E →T ε,T →T ∗F ε,T →F ε,F →(E) ε,F →a

a,a →ε +,+ →ε

∗,∗ →ε (,( →ε ),) →ε

ε, Z0 →ε

9. Donner les états de la pile et l’arbre pour reconnaître le mota+a∗a.

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