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mathsbdp.fr DM arithmétique
Ex2. Prévoir un événement
Un phare émet trois feux différents ( un rouge, un vert et un blanc).
Ces trois feux sont émis à intervalles réguliers.
Le feu rouge est émis toutes les 16 secondes ; le feu vert est émis toutes les 45 secondes ; le feu blanc est émis toutes les 2 minutes.
Aujourd’hui, à minuit, les trois feux ont été émis simultanément.
Calculer dans combien de temps ces trois feux seront de nouveau émis simultanément.
16 = 2
445 = 3
2× 5
120 = 2
3× 3 × 5
On cherche le plus petit multiple commun de 16 ; 45 et 120 𝑃𝑃𝐶𝑀(16; 45; 120) = 2
4× 3
2× 5 = 720
720 𝑠 = 12 𝑚𝑖𝑛
Toutes les 12 minutes, les trois phrases émettent en même temps.
Remplir une boîte
Une boîte a une forme parallélépipédique avec une base carrée.
Nous voulons remplir cette boîte avec des cubes tous identiques avec une longueur d’arête égale à un nombre entier différent de 0.
Les cubes doivent remplir la boîte complétement sans espace vide.
a) Dans cette question, ℓ = 882 et 𝐿 = 945
Déterminer toutes les valeurs possibles pour 𝑎 longueur de l’arête des cubes.
b) Si le volume de la boîte est 77 760 et que nous savons que 𝑎 = 12,
déterminer les dimensions ℓ et 𝐿 de la boîte.
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Ex4. Fill a box
A box has the shape of a cuboid with a square base.
We want to fill box with identical cubes, whose side 𝑎 is an integer other than zero.
The cubes must completely fill the box with no empty space.
a) In this question, ℓ = 882 and 𝐿 = 945 Give all possible values for 𝑎.
On cherche les diviseurs communs à 882 et 945.
882 = 1 × 882 = 2 × 441 = 3 × 294 = 6 × 147 = 7 × 126
= 9 × 98 = 14 × 63 = 18 × 49 = 21 × 42
945 = 1 × 945 = 3 × 315 = 5 × 189 = 7 × 135 = 9 × 105 = 15 × 63 = 21 × 45 = 27 × 35
Valeurs possibles pour 𝑎 : 1 ; 3 ; 7 ; 9 ; 21 ; 63
b) If the volume of the box is 𝑉 = 77 760 and we know that 𝑎 = 12, what are the dimensions ℓ and 𝐿 of the box ?
𝑉 = 𝑙 × 𝑙 × 𝐿 = 𝑙 2 × 𝐿 = 77760
On peut placer des cubes de 12 dans la boîte donc 𝑙 = 12𝑎 et 𝐿 = 12𝑏 avec 𝑎 et 𝑏 entiers 𝑉 = 12𝑎 × 12𝑎 × 12𝑏 = 77 760
donc 𝑎 2 × 𝑏 = 77760
12
3= 45 = 3 2 × 5 donc 𝑎 = 3 et 𝑏 = 5
𝑙 = 12 × 3 = 36 ; 𝐿 = 12 × 5 = 60
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remarque : on peut choisir 𝑎 2 × 𝑏 = 1 2 × 45
𝑎 = 1 donc 𝑙 = 12 𝑏 = 45 donc 𝐿 = 540
Cette boîte aura une forme très allongée !
Ex6. Le paysagiste
Un paysagiste doit réaliser un devis pour un particulier. Il doit planter des arbustes autour d’un terrain rectangulaire.
• Les arbustes sont régulièrement espacés.
• La distance d’un arbuste au suivant est un nombre entier de centimètres compris entre 100 et 200.
• Un arbuste est planté à chaque coin du terrain.
• Le terrain rectangulaire mesure 14,84 m de long et 10,60 m de large.
Utiliser les différentes informations pour aider ce paysagiste à déterminer combien d’arbustes il devra facturer.
On cherche les diviseurs communs de 1484 et de 1060.
On choisira celui compris entre 100 et 200
1484 = 1 × 1484 = 2 × 742 = 4 × 371 = 7 × 212
= 14 × 106 = 28 × 53
1060 = 2 × 530 = 4 × 215 = 5 × 212 = 10 × 106 = 40 × 53
On choisit 106 comme distance entre deux arbustes ( diviseur commun de 1484 et de 1060 )
1484 = 14 × 106 soit 14 divisions soit 15 arbustes
1060 = 10 × 106 soit 10 divisions soit 11 arbustes
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