Intégrales définies et applications

L’intégrale définie 3

Nous verrons dans ce chapitre qu’il existe une relation étonnante entre la notion de primitive et la notion de somme. Cette relation permettra de résoudre rapidement certaines sommes provenant aussi bien des mathématiques que de la physique, de la chimie, de la biologie, de l’économie, de la psychologie, de la sociologie, etc...

3.1 La notation sigma

On aura souvent à traiter de sommes à plusieurs termes. Il convient d’adopter une notation appropriée pour les traiter. La notation “sigma”

sera celle utilisée. Elle tire son nom de la lettre grecque ∑ l’équivalent de notre lettre S, la première lettre du mot somme.

lire “la somme des termes de la forme i où i varie de 1 jusqu’à 10”

Une façon d’abréger l’écriture

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 est d’écrire

∑

i=1 10

i

symbole correspondant à la somme des dix premiers entiers positifs c’est-à-dire à 55.

Ainsi,

∑

i=1 7

i² = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7²

= 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49

= 140

La variable i est une variable fictive (indice de sommation). On peut utiliser une autre lettre sans changer la valeur de la somme. Les bornes de cette variable fictive sont des valeurs quelconques entières. La borne inférieure est toujours plus petite que la borne supérieure.

Par exemple j = -2

∑

1

3j + 2 = (3(-2) + 2) + (3(-1) + 2) + (3(0) + 2) + (3(1) + 2)

= (-4) + (-1) + 2 + 5

= 2

k = 0

∑

n

(k + 1)³ = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + ... + (n + 1)³

= 1 + 8 + 27 + 64 + ... + (n + 1)³ (n ≥ 0) D’une façon générale,

notation sigma

∑

i=m n

a_i = a_m + a_m+1 + a_m+2 + a_m+3 + ... + a_n-1 + an où m et n sont des entiers tels que m ≤ n et a _i est un nombre réel.

exemple 3.1.1

solution

Si a₁ = -4, a₂ = 1/2, a₃ = 7, a₄ = -7/2, a₅ = 1 alors calculer

∑

k=1 5

a_k

.

____________

k=1

∑

5

a_k = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = (-4) + 1/2 + 7 + (-7/2) + 1 = 1

exemple 3.1.2 Écrire à l’aide de la notation sigma.

ƒ(x₁)∆x₁ + ƒ(x₂)∆x₂ + ƒ(x₃)∆x₃ + ƒ(x₄)∆x₄ + ... + ƒ(x_n)∆x_n ____________

exemple 3.1.3 Évaluer

∑

j=2 100

 

 1

j - 1 j - 1 . ____________

rép: - 0,99

propriétés de la sommation m et n sont des entiers tels que n ≥ m

1)

∑

i=m n

ca _i = c

∑

i=m n

a _i où c est une constante,

2)

∑

i=m n

(

^a i ± b _i

)

=

∑

i=m n

a _i ± ∑ i=m

n b _{i ,}

démonstration 1)

∑

i=m n

ca _i = ca_m + ca_m+1 + ca_m+2 + ca_m+3 + ca_m+4 + .. . ca_n-1 + ca_n

= c (a_m + a_m+1 + a_m+2 + a_m+3 + a_m+4 + ... a_n-1 + a_n)

= c

∑

i=m n

a _i ,

2)

∑

i=m n

(

^a i + b _i

)

=

∑

i=m n

(

^a i - b _i

)

=

∑

i=m n

a _i - ∑ i=m

n

b _i se démontre de la même façon.

exemple 3.1.4

solution

Si

∑

k=1 28

a_k = 19 et

∑

k=1 28

b_k = 8 alors trouver

∑

k=1 28

2a_k + 3b_k. ____________

∑

k=1 28

2a_k + 3b_k =

∑

k=1 28

2a_k +

∑

k=1 28

3b_k (par la propriété 2)

= 2

∑

k=1 28

a_k + 3

∑

k=1 28

b_k (par la propriété 1)

= 2(19) + 3(8) (par hypothèse)

= 62

formules utiles

noter que la borne inférieure de la variable fictive i est 1 pour les 3 formules

1)

∑

i=1 n

c = nc pour toute valeur de n ≥ 1 (c est une constante),

2)

∑

i=1 n

i = n(n + 1)

2 pour toute valeur de n ≥ 1,

3)

∑

i=1 n

i² = n(n + 1)(2n + 1)

6 pour toute valeur de n ≥ 1.

démonstration

preuve par induction

1)

∑

i=1 n

c = c + c + c + c + c + ... + c (n fois)

= nc

2)

∑

i=1 n

i = n(n + 1)

2 pour toute valeur de n ≥ 1 a) Vérifions que la proposition est vraie pour n = 1.

∑

i=1 1

i = 1(1 + 1) 2

1 = 1 (vraie pour n = 1)

puisque par hypothèse , la proposition est vraie pour n = k

alors ∑

i=1 k

i = k(k + 1) 2

b) Démontrons que la proposition est vraie pour n = k + 1 lorsqu’elle est vraie pour n = k.

∑

i=1 k+1

i =

∑

i=1 k

i + ( k + 1)

= k(k + 1)

2 + (k + 1)

= k(k + 1) + 2(k + 1) 2

= (k + 2)(k + 1) 2

=

(

(k+ 1) + 1

)

(k + 1) 2

La proposition est toujours vraie pour n = k + 1 lorsqu’elle est vraie pour n = k.

On conclut qu’elle est vraie pour toute valeur de n ≥ ^1.

3)

∑

i=1 n

i² = n(n + 1)(2n + 1)

6 pour toute valeur de n ≥ 1 Prouver cette proposition par induction.

exemple 3.1.5

solution

Évaluer

∑

j=1 17

9 . ____________

∑

j=1 17

9 = 17(9) (par la formule 1)

exemple 3.1.6

solution

Évaluer

∑

i=1 10

5 - 3i . ____________

∑

i=1 10

5 - 3i =

∑

i=1 10

5 ^-

∑

i=1 10

3i (par la propriété 2)

=

∑

i=1 10

5 ^- 3

∑

i=1 10

i (par la propriété 1)

= 10(5) - 3 

 10(11)

2 (par les formules 1 et 2)

= 50 - 165

= -115

exemple 3.1.7 Évaluer

∑

i=1 n

(2i + 1). ____________

rép: n(n + 2)

exemple 3.1.8 Évaluer

∑

i=1 n

6(1 + i)² . ____________

rép: n(2n² + 9n + 13)

exemple 3.1.9 Évaluer dans R _

lim n → ∞







∑

 i=1 n

i n² . ____________

rép: 1/2

Exercices 3.1

1. Évaluer chacune des sommes.

a)

∑

k=1 4

1

k d)

∑

k=1 1000

(-1)^k

b)

∑

i=0 5

2ⁱ e)

∑

k=1 100

(

√k - √k - 1

)

c)

∑

j= -5 6

j³

2. Si

∑

k=1 18

a_k = 37 et

∑

k=1 18

b_k = -83 alors trouver

∑

k=1 18

b_k - 3a_k

utiliser les propriétés de la sommation (page 3-3) ainsi que les formules de la page 3-4

3. Évaluer chacune des sommes.

a)

∑

i=1 75

(2i - 1) b)

∑

k=1 20

(5 - 3k²)

utiliser les propriétés de la sommation (page 3-3) ainsi que les formules de la page 3-4

4. Calculer chacune des sommes.

a)

∑

i=1 n

(3 + 2i) c)

∑

i=1 n

i (3i - 2)

b)

∑

j=1 n

(j² - 2j + 1) d)

∑

j=1 n

(2j - 1)²

utiliser les propriétés de la sommation (page 3-3) ainsi que les formules de la page 3-4

5. Évaluer chacune des limites dans R _ . a) lim

n → ∞

∑

i=1 n

   i n

2 

 1

n b) lim

n → ∞

∑

k=1 n

   2k

n 2

  2 n

Réponses 3.1

1. a) 25/12 d) 0

b) 63 e) 10

c) 216

2. -194

3. a) 5625 b) -8510

4. a) n(4 + n) c) n(2n - 1)(n + 1)

2 b) n(2n - 1)(n - 1)

6 d) n(2n - 1)(2n + 1)

3

5) a) 1/3 b) 8/3

3.2 Somme intégrale et intégrale définie

Examinons trois problèmes de nature différente que l’on tentera de ré- soudre en utilisant dans chacun des cas une approche similaire.

Problème 3.2.1:

évaluation d’une aire

solution

1 2 3

y = x²

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

figure 3.2.1

y = x²

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1/2 1 3/2 2 5/2 3 1/4 3/4 5/4 7/4 9/4 11/4

figure 3.2.2

Calculer l’aire de la région délimitée par la courbe y = x², l’axe des x et la droite verticale x = 3.

____________

Le problème présente une difficulté de taille. La région en question (figure 3.2.1) possède une forme irrégulière. Les règles de la géométrie élémentaire ne sont d’aucune utilité.

Nous pouvons néanmoins obtenir une approximation de cette aire en décomposant la région en six rectangles.

Pour cela,

• on subdivise l’intervalle [0,3] en six sous-intervalles de longueur 1/2,

^{0 1/2 1 3/2 2 5/2 3}

• dans le but d’approximer l’aire de la région hachurée, on considère le point milieu de chaque sous-intervalle,

^{1/4 3/4 5/4 7/4 9/4 11/4}

puis, on construit six rectangles ayant pour base, la longueur des sous-intervalles et pour hauteur, l’image du point milieu des sous- intervalles (voir la figure 3.2.2),

• on calcule l’aire de chacun des rectangles puis, on additionne ces aires,

on obtient

(1/4)²×1/2 + (3/4)²×^{1/2 +(5/4)2}×1/2 + (7/4)²×1/2 + (9/4)²×1/2 + (11/4)²×^1/2

= 1/32 + 9/32 + 25/32 + 49/32 + 81/32 + 121/32

= 286/32 ou 8,937.

Nous n’avons pas résolu le problème mais, nous savons que l’aire est approximativement de 8,937.

Problème 3.2.2:

évaluation d’une distance

solution

le nombre de sous-intervalles considérés est arbitraire et ceux- ci pourraient ne pas être égaux

la valeur choisie dans chaque sous-intervalle est aussi arbitraire, son choix est souvent fonction de la simplicité des calculs

distance = vitesse . temps

La vitesse d’un escargot est de v = (2t + 1) mm/s. Évaluer la distance parcourue par l’escargot entre t = 0 s et t = 4 s.

____________

Nous savons que la distance parcourue par un objet est fonction de sa vitesse. Les deux quantités sont reliées par l’équation

distance = vitesse × temps .

Si la vitesse de l’escargot avait été constante sur l’intervalle de temps considéré, le problème aurait été très simple à calculer. La vitesse étant variable il est beaucoup plus difficile de le résoudre. Contentons-nous d’approximer la distance parcourue par l’escargot.

Comme au problème précédent,

• on subdivise l’intervalle [0,4] en quatre sous-intervalles de 1 s,

^{0 1 2 3 4}

• la vitesse de l’escargot dans chaque sous-intervalle est variable, on approxime cette vitesse en utilisant le point milieu du sous- intervalle,

^{1/2 3/2 5/2 7/2}

v(1/2) = 2(1/2) + 1 = 2 mm/s dans le premier sous-intervalle, v(3/2) = 2(3/2) + 1 = 4 mm/s dans le second sous-intervalle, v(5/2) = 2(5/2) + 1 = 6 mm/s dans le troisième sous-intervalle, v(7/2) = 2(7/2) + 1 = 8 mm/s dans le quatrième sous-intervalle,

• on calcule la distance approximative parcourue par l’escargot dans chacun des sous-intervalles puis, on additionne les distances,

on obtient

(2(1/2) + 1) × (1) + (2(3/2) + 1) × (1) + (2(5/2) + 1) × (1) + (2(7/2) + 1) × (1)

= 2 + 4 + 6 + 8

= 20 mm.

Encore ici, bien que le problème n’ait pas été résolu, nous savons que la distance approximative parcourue par l’escargot est de 20 mm.

Problème 3.2.3:

évaluation d’un volume

solution

3 m 3 m

3 m

figure 3.2.1

1/2 3/2

5/2 0 1 2 3

figure 3.2.2

1/2 0 1 3/2 2 5/2 3

figure 3.2.3

Calculer le volume d’une tente pyramidale dont un des côtés est perpendiculaire à la base. La hauteur de cette tente mesure 3 m et sa base est un carré de 3 m de côté (voir la figure 3.2.1) .

_____________

Bien que le problème soit à trois dimensions, nous allons utiliser une technique de solution semblable aux deux derniers problèmes.

• On subdivise la hauteur de la tente en six parties égales.

Associons la valeur 0 au sommet de la tente et la valeur 3 à la base de celle-ci.

1/2 1 3/2 2 5/2 3

0

Cette subdivision a pour effet de sectionner en six parties le volume cherché (voir la figure 3.2.2).

• Nous allons maintenant estimer le volume des six tranches obtenues en considérant la plus grande valeur de chacune des six parties associées à la hauteur.

1/2 1 3/2 2 5/2 3

La section du bas sera approximée à l’aide d’une boîte carrée de 3 m de côté par 1/2 m de hauteur (voir la figure 3.2.3).

La section suivante sera approximée à l’aide d’une boîte carrée de 5/2 m de côté par 1/2 m de hauteur.

La troisième section sera approximée à l’aide d’une boîte carrée de 2 m de côté par 1/2 m de hauteur.

La quatrième section sera approximée à l’aide d’une boîte carrée de 3/2 m de côté par 1/2 m de hauteur.

La cinquième section sera approximée à l’aide d’une boîte carrée de 1 m de côté par 1/2 m de hauteur.

La section du haut sera approximée à l’aide d’une boîte carrée de 1/2 m de côté par 1/2 m de hauteur.

À titre d’exercices montrer que les bases des six boîtes sont des carrés et que les longueurs d’arêtes de ces carrés sont respective- ment: 3 m pour la boîte du bas, 5/2 m, 2 m, 3/2 m, 1 m, et 1/2 m.

• On calcule le le volume de chacune des boîtes puis, on additionne ces volumes. On obtient

(1/2)²(1/2) + (1)² (1/2) + (3/2)²(1/2) + (2)² (1/2) + (5/2)²(1/2) + (3)² (1/2)

= 1 8 + 1

2 + 9

8 + 2 + 25 8 + 9

2

= 91

8 ou 11,375 m³.

Rappelons que 11,375 m³ n’est qu’une valeur approximative du volume cherchée.

Isaac Newton (1642-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) sont considérés comme les pères du calcul différentiel et intégral

Afin de résoudre partiellement les trois derniers problèmes, on a dû recourir à une technique un peu spéciale. Cette technique loin d’être nouvelle, était utilisée dans l’Antiquité. Les mathématiciens de cette époque ne se contentaient pas de réponses partielles à leurs problèmes.

Ils développèrent des méthodes de solution très avancées mais aussi excessivement longues (nous le constaterons un peu plus loin). Au XVII ième siècle NEWTON et LEIBNIZ les créateurs du calcul intégral introduisirent une méthode de solution basée sur le calcul différentiel qui fit oublier les longs développements de leurs prédécesseurs et bouleversa du même coup les mathématiques. Cette méthode porte le nom de théorème fondamental du calcul.

Pour approximer les réponses des trois problèmes précédents, nous avons construit des sommes en utilisant un même modèle. Nous étudierons maintenant ce modèle.

somme intégrale (somme de Riemann)

les sous-intervalles ne sont pas nécessairement égaux

les sommes intégrales sont également appelées sommes de Riemann en l’honneur de Georg Riemann, mathématicien du XIX ième siècle pour sa contribution au développement du calcul intégral

Soit une fonction ƒ continue sur un intervalle [a,b].

a) On subdivise l’intervalle [a,b] en n sous-intervalles plus petits, on obtient ainsi une partition de l’intervalle [a,b].

a = x₀ , x₁, x_2, ... x_i-1, x_i, ... x_n-1 , x_n = b

a = x₀ x₁ x₂ .... x_i-1 x_i .... x_n-1 x_n = b

La longueur de chaque sous-intervalle est notée ∆x_i .

∆x₁ = x₁ - x_0, ∆x₂ = x₂ - x_{1, ...} ∆x_i = x_i - xi-1, ... ∆x_n = x_n - x_n-1 b) On choisit un point arbitraire (le représentant ) dans chaque

sous-intervalle. Le représentant est noté c_i .

c₁∈ [x₀,x₁], c₂∈ [x₁,x₂], ... c_i∈ [x_i-1,x_i], ... , c_n∈ [x_n-1,x_n].

c₁ c₂ .... c_i .... c_n

c) On effectue la somme,

ƒ(c₁)∆x₁ + ƒ(c₂)∆x₂ + ƒ(c₃)∆x₃ + ƒ(c₄)∆x₄ + ... + ƒ(c_n)∆x_{n .} En utilisant la notation sigma la somme devient,

∑

i=1 n

ƒ(c_i) ∆x_i .

La somme obtenue est appelée somme intégrale (somme de Riemann) pour la fonction ƒ sur l’intervalle [a,b] .

exemple 3.2.1

solution

Calculer la somme intégrale de la fonction ƒ(x) = 1 - x² sur

l’intervalle [0,3] en considérant 6 sous-intervalles égaux et en prenant le point milieu comme représentant de chaque sous-intervalle.

____________

• On subdivise l’intervalle [0,3] en six sous-intervalles égaux de longueur ∆x_i = 1/2 (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

^{0 1/2 1 3/2 2 5/2 3}

x₀ = 0, x₁ = 1/2, x₂ = 1, x₃ = 3/2, x₄ = 2, x₅ = 5/2, x₆ = 3

• On choisit comme représentant c_i , le point milieu de chaque sous-intervalle.

^{1/4 3/4 5/4 7/4 9/4 11/4}

c₁ = 1/4, c₂ = 3/4, c₃ = 5/4, c₄ = 7/4, c₅ = 9/4, c₆ = 11/4

• On effectue la somme

∑

i=1 6

ƒ(c_i) ∆x_i

= ƒ(c1)∆x1 + ƒ(c2)∆x2 + ƒ(c3)∆x3 + ƒ(c4)∆x4 + ƒ(c5)∆x5 + ƒ(c6)∆x6

= ƒ(1/4)(1/2)+ƒ(3/4)(1/2)+ƒ(5/4)(1/2) +ƒ(7/4)(1/2)+ƒ(9/4)(1/2)+ƒ(11/4)(1/2)

= 15/32 + 7/32 + (-9/32) + (-33/32) + (-65/32) + (-105/32)

= -190/32 (- 5,9375)

Si dans l’exemple précédent, nous avions choisi un autre représentant que serait devenue la somme intégrale ?

1) En prenant la valeur inférieure de chaque sous-intervalle, on obtient: c₁ = 0, c₂ = 1/2, c₃ = 1, c₄ = 3/2, c₅ = 2, c₆ = 5/2 La somme intégrale devient dans ce cas,

ƒ(0)(1/2) + ƒ(1/2)(1/2) + ƒ(1)(1/2) + ƒ(3/2)(1/2) + ƒ(2)(1/2) + ƒ(5/2)(1/2)

= -3,875.

2) En prenant la valeur supérieure de chaque sous-intervalle, on obtient: c₁ = 1/2, c₂ = 1, c₃ = 3/2, c₄ = 2, c₅ = 5/2, c₆ = 3 La somme intégrale devient dans ce cas,

ƒ(1/2)(1/2) + ƒ(1)(1/2) + ƒ(3/2)(1/2) + ƒ(2)(1/2) + ƒ(5/2)(1/2) + ƒ(3)(1/2)

= -8,375.

Dans ce cas, le choix du représentant a une grande influence sur la valeur obtenue. En est-t-il toujours ainsi ?

Pour répondre à la question on a construit un tableau comparatif des sommes intégrales obtenues pour un nombre croissant de sous-intervalles égaux en considérant dans chaque cas trois choix de représentant:

a) la valeur inférieure de chaque sous-intervalle, b) la valeur médiane de chaque sous-intervalle, c) la valeur supérieure de chaque sous-intervalle.

nombre inférieure médiane supérieure

3 -2 -5,75 -11

6 -3,875 -5,9375 -8,375

12 -4,90625 -5,98775 -7,15625

24 -5,445313 -5,996094 -6570313

48 -5,720703 -5,999023 -6,283203

96 -5,859863 -5,999756 -6,141113

192 -5,929809 -5,999940 -6,070435

384 -5,964874 -5,999985 -6,035187

768 -5,982430 -5,999996 -6,017586

Il apparaît à la lecture du tableau que pour un nombre élevé de sous- intervalles, les sommes intégrales s’approchent de la valeur -6 indé- pendamment du représentant choisi. Nous verrons qu’effectivement sous certaines conditions, lorsque la longueur des sous-intervalles s’approche de 0 , quels que soient les représentants choisis, les sommes intégrales convergent.

intégrale définie

lire: l’intégrale définie de la fonction ƒ de a à b

Soit une fonction ƒ et l’intervalle [a,b].

Si lim

max ∆x_i→ 0

∑

i=1 n

ƒ(c_i) ∆x_i = A ∈ R

alors ƒ est dite intégrable sur [a,b] et la quantité A est appelée l’intégrale définie de la fonction ƒ sur [a,b].

Elle sera notée _a

∫

^b ƒ(x) dx = A .

Le symbole ∫ est une déformation de la lettre S pour somme.

Les valeurs a et b sont les bornes d’intégration.

ƒ(x) est l’intégrande du problème.

dx représente un petit intervalle sur l’axe des x.

La valeur A (lorsqu’elle existe) est indépendante a) de la subdivision de l’intervalle et,

b) du représentant choisi dans chaque sous-intervalle.

Puisque la subdivision de l’intervalle n’affecte pas la quantité A, on utilisera des sous-intervalles égaux pour calculer cette quantité. Dans ce cas la définition de l’intégrale définie de la fonction ƒ sur [a,b]

deviendra:

a

∫

b

ƒ(x) dx = lim

n → ∞

∑

i=1 n

ƒ(c_i) ∆x_i

En effet lorsque les sous-intervalles sont égaux, on aura

∆x_i = (b - a) n si de plus,

max ∆x_i → 0

⇒ (b - a) n → 0

⇒ n → ∞

La valeur de A étant indépendante du représentant choisi, on prendra la plupart du temps comme valeur c_i, le point supérieur, inférieur ou milieu du sous-intervalle. Ce choix aura pour avantage de simplifier les calculs.

On en vient maintenant à la question d’existence de cette valeur A. Le théorème qui suit permettra de déterminer si une fonction est intégrable sur un intervalle. On se contente d’énoncé la proposition en laissant à un cours plus avancé sa démonstration.

Théorème 3.2.1

condition d’existence Si ƒ est continue sur [a,b] alors ƒ est intégrable.

Retournons au problème précédent et cherchons à montrer que l’intégrale définie de la fonction

ƒ(x) = 1 - x² sur [0,3]

est bien la quantité -6 obtenue à partir du tableau de la page précédente.

exemple 3.2.2

on commence toujours par vérifier si la fonction est continue sur l’intervalle

∆xi = b-a n = 3-0

n = 3 n

propriétés 1 et 2 de la sommation (p 3-3) formules 1 et 3 (p 3-4)

Montrer que ₀

∫

3

(1 - x²) dx = -6 en utilisant les sommes intégrales.

____________

La fonction est continue sur [0,3] donc elle est intégrable .

• On subdivise l’intervalle [0,3] en n sous-intervalles égaux

0 3/n 6/n 9/n 12/n .... 3

de longueur ∆x_i = 3

n (i = 1,2,3,4, ... , n).

• On choisit un représentant c_i dans chaque sous-intervalle (on utilise comme représentant la valeur supérieure de chaque sous- intervalle).

c₁ = 3

n , c₂ = 2

( )

n³ , c₃ = 3

( )

³n , c₄= 4

( )

³n . ... c_i= i

( )

n³

• On évalue la somme intégrale correspondante.

∑

i=1 n

ƒ(c_i) ∆x_i =

∑

i=1 n

 

 1 -

( )

³ⁱn

2

( )

n³

=

∑

i=1 n



 3

n - 27 i² n³

= 3 n

∑

i=1 n

1 - 27 n³

∑

i=1 n

i²

= 3

n . (n) - 27

n³

(

n(n+1)(2n+1)

)

6

= -6 - 27 2n - 9

2n²

• On considére la somme intégrale lorsque n tend vers l’infini,

0

∫

3

(1 - x²) dx = lim n → ∞

∑

i=1 n

ƒ(c_i) ∆x_i

= lim

n → ∞

(

^{-6 - 27}2n - 9

)

2n²

= -6

exemple 3.2.3 Évaluer ₀

∫

4

(2 - 3x) dx en utilisant les sommes intégrales.

____________

rép: -16

exemple 3.2.4

Évaluer ₁

∫

4

x² dx en utilisant les sommes intégrales.

____________

rép: 21

exemple 3.2.5

1 2 3

y = x²

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

lorsque ƒ est une fonction continue et non négative sur [a, b] alors

a

∫

b

ƒ(x) dx correspond à l’aire sous la courbe y = ƒ(x) au dessus de l’axe des x entre x = a et x = b

Calculer la valeur exacte de l’aire de la région définie à la page 3-11 (problème 3.2.1) en utilisant les sommes intégrales.

____________

rép: 9

Exercices 3.2

utiliser la démarche de l’exemple 3.2.1

1. Calculer la somme intégrale de la fonction ƒ(x) = 1

x + 1 sur l’intervalle [0, 1]

en utilisant 4 sous-intervalles égaux et les points milieux des sous- intervalles comme représentants.

utiliser la démarche de l’exemple 3.2.1

2. Calculer la somme intégrale de la fonction

g(x) = √x sur l’intervalle [1, 4]

en utilisant 6 sous-intervalles égaux et les points supérieurs des sous-intervalles comme représentants.

utiliser la démarche de l’exemple 3.2.2

3. Évaluer a) ₀

∫

2

^{3 dx d)} ₀

∫

1

(x² + 2) dx

b) ₀

∫

1

^{x dx e)} ₁

∫

3

(1 - 4x) dx

c) ₀

∫

3

(2x + 1) dx f) ₂

∫

3

^{(3x2 - 2) dx}

utiliser la démarche de l’exemple 3.2.2

4. Montrer que a) _a

∫

b

c dx = c(b - a) où c est une constante .

b) _a

∫

b

x dx = b² 2 - a²

2 . c) _a

∫

b

x² dx = b³ 3 - a³

3 .

5. Calculer la distance exacte parcourue par l’escargot à la page 3-12 (problème 3.2.2) en utilisant les sommes intégrales.

6. Calculer le volume exact de la tente à la page 3-13 (problème 3.2.3) en utilisant les sommes intégrales.

7. Calculer l’aire de la région délimitée par la courbe y = x², l’axe des x et les droites verticales x = 1 et x = 2.

(Utiliser les sommes intégrales)

1 2

y = x²

8. Après t secondes, la vitesse d’un objet est de t² mètres par seconde.

Trouver la distance parcourue par l’objet dans l’intervalle [2,5].

(Utiliser les sommes intégrales)

diviser la hauteur en n sous- intervalles égaux et former n disques (le volume d’un disque de rayon r et de hauteur h est πr²h)

9. Calculer le volume d’un cône dont le rayon est de 2 mètres et la hau- teur est aussi de 2 mètres.

(Utiliser les sommes intégrales)

3 m

2 m3 m

2 m

Réponses 3.2

1. 0,691

2. 4,91

3. a) 6 d) 2,33

b) 0,5 e) - 14

c) 12 f) 17

4.

5. 20 mm

6. 9 m³

7. 2,33

8. 39 m

9. 8,378 m³

3.3 Le théorème fondamental du calcul

Les quelques problèmes que l’on a résolu à la section précédente mon- trent à quel point il est difficile et long de calculer une intégrale définie.

Avant le XVII siècle, on était contraint à utiliser ces méthodes. Newton et Leibniz ont découvert une façon simple de résoudre ce genre de problème. Leur méthode utilise le lien profond qui existe entre l’intégration et la dérivation. Cette section a pour objet l’exposé de cette méthode.

Lorsqu’on a introduit la notion d’intégrale définie, on a supposé a < b.

Que se passe-t-il si b < a ou si b = a ?

définition 1. _a

∫

^b ƒ(x) dx = - _b

∫

^a ƒ(x) dx si _b

∫

^a ƒ(x) dx existe, 2. _a

∫

^a ƒ(x) dx = 0 si ƒ(a) existe.

propriétés de

l’intégrale définie 1 _a

∫

^b c ƒ(x) dx = c_a

∫

^b ƒ(x) dx où c ∈ R 2. _a

∫

^b

⁽

ƒ(x) ± g(x)

⁾

dx = _a

∫

^b ƒ(x) dx ± _a

∫

^{b g(x) dx}

3. _a

∫

^b ƒ(x) dx = _a

∫

^c ƒ(x) dx + _c

∫

^b ƒ(x) dx où a, b, c ∈ R (pourvu que les trois intégrales existent)

démonstration

propriétés de la sommation et des limites

par définition

1. _a

∫

b

c ƒ(x) dx = lim n→ 0

∑

i=1 n

c ƒ(c_i) ∆x_i

= c 



 lim 

n → 0

∑

i=1 n

ƒ(c_i) ∆x_i

= c _a

∫

^{b ƒ(x) dx}

propriété de la sommation

propriété de la limite

par définition

2. _a

∫

b

(

ƒ(x) ± g(x)

)

dx = lim n→ 0

∑

i=1 n

(

^ƒ(ci) ± g(c_i)

)

∆x_i

= lim n → 0 





∑

i=1 n

ƒ(c_i) ∆x_i ±

∑

i=1 n

g(c_i) ∆x_i

= lim n → 0

∑

i=1 n

ƒ(c_i) ∆x_i ± lim n→ 0

∑

i=1 n

g(c_i) ∆x_i

= _a

∫

b

ƒ(x) dx ± _a

∫

b

g(x) dx

(cette propriété se généralise à plusieurs fonctions)

a c b

propriété de la limite

par définition

3 a) Supposons d’abord que a < c < b.

_a

∫

b

ƒ(x) dx = lim n → 0

∑

a b

ƒ(c_i) ∆x_i

= lim n→ 0









∑

a c

ƒ(c_i) ∆x_i +

∑

c b

ƒ(c_i) ∆x_i

= lim n → 0

∑

a c

ƒ(c_i) ∆x_i + lim n→ 0

∑

c b

ƒ(c_i) ∆x_i

= _a

∫

c

ƒ(x) dx + _c

∫

b

ƒ(x) dx .

a c b

a b c

en utilisant 3 a)

car si b < c c

∫

b

ƒ(x) dx = - _b

∫

c ƒ(x) dx

3 b) Supposons maintenant que a < b < c.

a

∫

c

f(x) dx = _a

∫

b

f(x) dx + _b

∫

c

_{f(x) dx}

⇒ _a

∫

b

ƒ(x) dx = _a

∫

c

ƒ(x) dx - _b

∫

c

ƒ(x) dx

= _a

∫

c

ƒ(x) dx + _c

∫

b

ƒ(x) dx .

3 c) À démontrer: b < a < c ; b < c < a ; c < b < a ; c < a < b .

1^re application de l’intégrale définie valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

Soit ƒ une fonction continue sur l’intervalle [a,b]. La valeur moyenne µ de cette fonction sur l’intervalle [a,b] est donnée par

µ = 1 b - a _a

∫

b

ƒ(x) dx ____________

démonstration Pour résoudre le problème, on subdivise l’intervalle [a,b]

en n sous-intervalles égaux puis, on considère la valeur la plus grande de chaque sous-intervalle. Soient

c₁, c₂, c₃, c₄, ... , c_i ... , c_n les n valeurs.

a c₁ c₂ c₃ c₄ ... c_i... c_n = b y = f(x)

∆x_i = b - a n ⇒ 1

n = ∆x_i b - a pour obtenir la valeur exacte de µ, on fait tendre le nombre de sous-intervalles vers l’infini

propriété de la sommation et propriété de la limite

par définition

La valeur moyenne µ peut être approximée de la façon suivante.

_µ ~ ƒ(c₁) + ƒ(c₂) + ƒ(c₃) + ƒ(c₄) + ... + ƒ(c_i) + ... + ƒ(c_n) n

~

∑

i=1 n

ƒ(c_i) 1 n

~

∑

i=1 n

ƒ(c_i) ∆x_i b - a

⇒ _µ = lim n → ∞

∑

i=1 n

ƒ(c_i) ∆x_i b - a

= lim n → ∞

∑

i=1 n

ƒ(c_i) ∆x_i b - a

= 1 b - a





 lim 

n → ∞

∑

i=1 n

ƒ(c_i) ∆x_i

et _µ = 1 b - a _a

∫

b

ƒ(x) dx

Le résultat précédent est plus souvent utilisé sous la forme suivante.

théorème 3.3.1 théorème de la moyenne (pour l’intégrale)

Si ƒ est une fonction continue sur l’intervalle [a,b] alors il existe un nombre c dans [a,b] pour lequel

a

∫

b

ƒ(x) dx = ƒ(c) (b - a)

démonstration Si m et M sont respectivement la plus petite et la plus grande valeur de ƒ(x) sur [a,b] alors

m ≤ _µ ≤ M m ≤ 1

b - a _a

∫

b

ƒ(x) dx ≤ M

ƒ(x) étant continue sur [a,b], elle prend toutes les valeurs comprises entre m et M. On aura donc pour une certaine valeur de c (a ≤ c ≤ b)

µ = ƒ(c)

⇒ 1

b - a _a

∫

b

ƒ(x) dx = ƒ(c) où a ≤ c ≤ b

⇒ _a

∫

b

ƒ(x) dx = ƒ(c)(b - a) où a ≤ c ≤ b

exemple 3.3.1 Calculer la valeur moyenne _µ de ƒ(x) = x² sur [0,2].

____________

solution

par le résultat du #4 c), à la page 3-22 a

∫

b

x² dx = b³ 3 - a³

3

La valeur moyenne _µ de ƒ(x) = x² sur [0,2] est donnée par

1 b - a _a

∫

b

ƒ(x) dx = 1 2 - 0 ₀

∫

2 x² dx

= 1 2



 2³

3 - 0³ 3

= 4

3 = 1,33

2 f(x) = x²

1,33

exemple 3.3.2 Calculer la valeur moyenne de ƒ(x) = 2x² - 3x - 2 sur [-1,3].

(utiliser les propriétés de l’intégrale définie page 3-25 ainsi que les trois résultats du # 4 à la page 3-22)

____________

rép: -0,33

la valeur de l’intégrale définie ne dépend pas de la variable d’intégration a

∫

b

ƒ(x) dx = _a

∫

b

ƒ(y) dy =_a

∫

b ƒ(t) dt

À l’aide du théorème fondamental du calcul on est maintenant en mesure

a) d’établir le lien qui existe entre l’intégration et la dérivation, b) de développer un moyen rapide pour calculer une intégrale

définie.

On a vu que si une fonction ƒ est continue sur [a,b] alors a

∫

b

ƒ(x) dx

existe et correspond à un nombre réel. Si maintenant la borne supé- rieure est variable

a

∫

x

ƒ(x) dx où x ∈ [a,b]

la valeur de l’intégrale variera en conséquence. L’intégrale définie sera alors une fonction de sa borne supérieure. Supposons que F(x) est cette fonction. (pour éviter toute confusion utilisons la lettre t comme va- riable d’intégration.

a

∫

x

ƒ(t) dt = F(x) où x ∈ [a,b]

Déterminons la nature de F(x).

théorème 3.3.2 théorème fondamental du calcul (première partie)

Soit ƒ(x) une fonction continue sur [a,b] et soit x une valeur de l’intervalle.

Si F(x) = _a

∫

x

ƒ(t) dt alors F(x) est une primitive de ƒ(x).

démonstration

x+∆x x

a b

y = f(x)

figure 3.3.1

par une propriété de l’intégrale définie

Soit ƒ(x) une fonction continue sur [a,b] et x une valeur de l’intervalle. Donnons à la variable x un accroissement ∆x positif (figure 3.3.1) ou négatif.

On admettra facilement à partir de la remarque du haut que:

a

∫

x

ƒ(t) dt = F(x) et ^{x + ∆x}_a

∫

ƒ(t) dt = F(x + ∆x) où F(x) est une fonction définie sur [a,b] .

⇒ F(x + ∆x) - F(x) = ^{x + ∆x}_a

∫

ƒ(t) dt - _a

∫

x ƒ(t) dt

= _a

∫

x

ƒ(t) dt + ^{x + ∆x}_x

∫

ƒ(t) dt - _a

∫

x ƒ(t) dt

donc

F(x + ∆x) - F(x) = ^{x + ∆x}_x

∫

^{ƒ(t) dt}

a

∫

b

ƒ(x) dx = f(c) (b - a) où c ∈ [a,b]

Appliquons le théorème de la moyenne (théorème 3.3.1) à la dernière intégrale. On obtient

F(x + ∆x) - F(x) = ƒ(c)(x + ∆x - x)

= ƒ(c) ∆x où c est entre x et x + ∆x

par définition de la dérivée et ƒ est continue sur [a,b]

On divise chaque membre de l’équation par ∆x.

F(x + ∆x) - F(x)

∆x = ƒ(c) Par conséquent lorsque ∆x → 0,

lim

∆x→ 0 F(x + ∆x) - F(x)

∆x = lim

∆x→ 0 ƒ(c)

Puisque c est entre x et x + ∆x alors c _→ x lorsque ∆x _→ 0, lim

∆x→0 F(x + ∆x) - F(x)

∆x = lim c→ x ƒ(c) F’(x) = ƒ(x) On conclut que F(x) est une primitive de ƒ(x).

théorème 3.3.3 théorème fondamental du calcul (seconde partie)

Si F(x) est une primitive de la fonction continue ƒ(x) sur [a, b] alors, a

∫

b

ƒ(x) dx = F(b) - F(a)

démonstration

deux primitives d’une même fonction diffèrent par une constante

Par hypothèse F(x) est une primitive de ƒ(x) et d’après le théorème précédent,

a

∫

x

ƒ(t) dt est aussi une primitive de ƒ(x).

On conclut que

a

∫

x

ƒ(t) dt = F(x) + C

par définition

cette formule est souvent appelée formule de Newton-Leibniz

L’égalité tient pour toute valeur de x alors lorsque x = a on a, _a

∫

^a ƒ(t) dt = F(a) + C

0 = F(a) + C C = - F(a) lorsque x = b on a, _a

∫

^b ƒ(t) dt = F(b) + C

Puisque C = - F(a), _a

∫

^b ƒ(t) dt = F(b) - F(a)

En utilisant la variable x comme variable d’intégration on obtient, a

∫

b

ƒ(x) dx = F(b) - F(a)

exemple 3.3.3 Effectuer ⌡⌠ -2

-1 

 2

x² - 4x³ - 2 dx ____________

solution

condition nécessaire pour appliquer la formule de Newton-Leibniz

a) ⌡⌠ 

 2

x² - 4x³ - 2 dx =

∫

^{( 2x-2 - 4x3 - 2) dx}

= 2 x^-1 -1 - 4 x⁴

4 - 2x + C

= - 2

x - x⁴ - 2x + C b) La fonction ƒ(x) = 2

x² - 4x³ - 2

est continue sur R \ {0} donc elle est continue sur [-2,-1].

il est inutile de tenir compte de la constante C puisque de toute façon, elle s’annule

c) ⌡⌠ -2

-1 

 2

x² - 4x³ - 2 dx = 

 - 2

x - x⁴ - 2x + C -1 -2

= ( 2 - 1 + 2 + C - ( 1 -16 + 4 + C))

= 3 + C + 11 - C

= 14

exemple 3.3.4 Effectuer _-3

∫

3 dt

36 + 4t² ____________

Soit ƒ une fonction continue sur [-a, a]

a) Si ƒ est une fonction paire (ƒ(x) = ƒ(-x) ∨^{– x)}

alors -r

∫

r

ƒ(x) dx = 2 ₀

∫

r ƒ(x) dx b) Si ƒ est une fonction impaire (ƒ(x) = -ƒ(-x) ∨^{– x)}

alors -r

∫

r

ƒ(x) dx = 0

rép: π/24

exemple 3.3.5 Effectuer ₀^π

∫

/3

x cos x dx ____________

rép: π√^{3 - 3} 6

changement des bornes d’intégration lors d’un changement de variable

Soit ƒ une fonction continue sur l’intervalle [a,b],

u = h(x) une fonction continue et dérivable sur l’intervalle [a,b] et g une fonction continue sur [h(a), h(b)].

Si ƒ(x) dx = g(h(x)) h’(x) dx sur [a,b]

alors _a

∫

b

ƒ(x) dx = _h(a)

∫

h(b)

g(u) du où u = h(x)

exemple 3.3.6 Effectuer ₀

∫

3

√

^{9 - x2 dx}

____________

solution u =arcsin

( )

^x3 est continue et dérivable sur [0,3]

u x

3

9 - x² x sin u =2

3

Posons u = arcsin

( )

^x3 ⇒ sin u = x 3

⇒ cos u du = 1 3 dx

∫ ^{√}

^{9 - x2 dx =}

∫

^{(3 cos u)} (3 cos u du)

= 9

∫

^{cos2 u du}

= 9

⌡⌠ 1 + cos 2u 2 du

= 9

2

∫

^{1 du + 29}

∫

^{cos 2u du}

= 9 2 u + 9

2   sin 2u

2 + C

= 9 2 u + 9

2 

 2 sin u cos u

2 + C

= 9 2 u + 9

2 sin u cos u + C (1)

= 9

2 arcsin

( )

^x3 + 9 2 

 x 3 



√

^{9 - x2} 3

= 9

2 arcsin

( )

^x3 + 1

2 x

√

^{9 - x2 + C (2)}

évaluation de l’intégrale définie en utilisant la primitive sous la forme (2)

évaluation de l’intégrale définie en utilisant la primitive sous la forme (1)

La fonction f(x) =

√

^{9 - x2} est continue sur [-3, 3]; elle est donc continue sur [0,3].

⇒ ₀

∫

³

^{√}

^{9 - x2 dx =} 

 9

2 arcsin

( )

^x3 + 1

2 x

√

^{9 - x2 3}

0

= 

 9

2 arcsin 1 - 

 9

2 arcsin 0

= 9 2 

 π 2 - 9

2 (0)

= 9π 4

Il est possible d’intégrer en laissant la primitive exprimée à l’aide de la variable u. Dans ce cas les bornes d’intégration deviennent

x = 0 ⇒ u = arcsin

( )

⁰3 = arcsin 0

⇒ u = 0

x = 3 ⇒ u = arcsin

( )

³3 = arcsin 1

⇒ u = π 2 donc

₀

∫

3

√

^{9 - x2 dx = 9}_{2 0}^π/2

∫

1 + cos 2u du

La fonction g(u) = 1 + cos 2u est continue sur l’ensemble des réels;

elle est donc continue sur [0, π^/2].

= 

 9

2 u + 9

2 sin u cos u ^π /2 0

= 

 9

2   π 2 + 9

2 (1) (0) - 

 9

2 (0) + 9

2 (0) (1)

= 9π 4 .