Centre de masse

centre de masse

en état d’équilibre, le centre de masse de la plaque coïncide avec le point d’appui

Considérons une plaque mince de forme quelconque et de densité homogène. À l’aide de l’intégrale définie nous chercherons maintenant à obtenir le centre de masse de cette plaque c’est-à-dire le point d’appui sur lequel la plaque demeure en équilibre.

En se basant sur un principe découvert par Archimède et appelé «la loi du levier», on sait que deux personnes assises aux extrémités d’une balançoire demeurent en équilibre s’ils sont à une certaine distance du point d’appui de la balançoire. Un petit garçon peut contrebalancer un garçon plus gros si le point d’appui est situé à un endroit bien précis.

figure 3.9.2

Selon le principe d’Archimède si deux masses m₁ et m₂ sont situées sur une tige (de masse négligeable) de part et d’autre du point d’appui et que ces masses se trouvent respectivement à des distances d₁ et d₂ du point d’appui alors la tige sera en équilibre si

m₁d₁ = m₂d₂

moments statiques Plaçons maintenant la tige sur un axe que nous considérerons être l’axe des x et déposons la masse m₁au point x₁, la masse m₂au point x₂ et le

La tige sera en équilibre si

m₁(x- - x₁) = m₂(x₂ - x-) m₁x- + m₂ x- = m₁x₁ + m₂x₂

⇒ x- = m₁x₁ + m₂x₂ m₁ + m₂

Les quantités m₁x₁ et m₂x₂ sont appelées les moments statiques (ou simplement moments) des masses m₁ et m₂ par rapport à l’origine. En additionnant les moments des deux masses puis, en divisant le tout par la masse totale, on obtient le centre de massex- du système.

Un système qui possède n particules de masses:

m₁, m₂, m₃, ... , m_n situées sur l’axe des x respectivement aux points:

x₁, x₂, x₃, ... , x_n aura son centre de masse au point

x- =

∑

_i=1ⁿ ^mⁱ^xⁱ

∑

_i=1ⁿ ^mⁱ

exemple 3.9.1

-4 1 3 8

10 g 45 g 32 g 24 g

figure 3.9.5

Trouver le centre de masse d’un système constitué de quatre objets dont les masses de 10 g, 45 g, 32 g et 24 g sont situées respectivement aux points -4, 1, 3 et 8 de l’axe des x.

____________

x- =

∑

_i=1⁴ ^mⁱ^xⁱ

∑

_i=1⁴ ^mⁱ

= m₁x₁ + m₂x_{2 +}m₃x₃ + m₄x₄ m₁ + m₂ + m₃ + m₄

= 10(-4) + 45(1) + 32(3) + 24(8) 10 + 45 + 32 + 24

= 293 111

= 2,64

Le centre de masse se situe au point 2,64 de l’axe des x.

De la même façon nous pouvons obtenir les coordonnées du centre de masse d’un système à deux dimensions.

Un système qui possède n particules de masses m₁, m₂, m₃, ... , m_n

situées dans un plan cartésien respectivement aux points (x₁, y₁), (x₂, y₂), ... , (x_n, y_n) aura son centre de masse au point de coordonnées:

x- =

∑

_i=1ⁿ ^mⁱ^xⁱ

∑

_i=1ⁿ ^mⁱ

y- =

∑

_i=1ⁿ ^mⁱ^yⁱ

∑

_i=1ⁿ ^mⁱ

exemple 3.9.2

Trouver le centre de masse d’un système comprenant trois objets de masses 3 g, 4 g et 8 g situés dans un plan cartésien respectivement aux points (-1, 1), (2, -1) et (3, 2).

Le centre de masse se situe au point (1,93; 1) du plan cartésien centroïde le centroïde de la mince plaque (de densité uniforme) de la figure 3.9.8 est localisé au point (x¯, y¯)

le centroïde d’un fil contenu dans un plan n’est pas nécessairement un point du fil (voir la figure 3.9.9)

centroïde

figure 3.9.10

Trouver le centre de masse d’un ensemble fini de points matériels dont on connaît les masses relève de l’arithmétique et non pas du calcul intégral. Par ailleurs l’évaluation du centre de masse d’une distribution continue de matière nécessite l’utilisation de l’intégrale définie.

Considérons maintenant une plaque mince de densité uniforme ρ (rhô) occupant une région ℜ du plan. Tout au long de cette section nous supposerons que ρ est constant et que le métal est par conséquent parfaitement homogène. Cherchons à trouver le centre de masse de cette plaque mince que l’on appelle le centroïde de la région du plan.

figure 3.9.8 figure 3.9.9

Pour obtenir le centroïde d’une région du plan nous utiliserons un principe tiré de la physique qui affirme que lorsqu’une région ℜ est symétrique par rapport à une droite l, le centroïde de la région ℜ se situe sur la droitel, Par conséquent le centroïde d’un rectangle est situé en son centre.

De plus, le moment d’une région provenant de l’union de deux régions qui n’ont pas de points en commun correspond à la somme des mo-ments de chacune des régions.

proposition 3.9.1 Soit ℜ la région du plan bornée par la courbe y = ƒ(x) l’axe des x et

Essayons d’obtenir une valeur approchée du centroïde de la région en question à l’aide d’une somme intégrale. Pour cela,

• subdivisons d’abord l’intervalle [a,b] en n sous-intervalles égaux de longueur ∆x₁, ∆x₂, ∆x₃, ∆x₄, .... , ∆x_n ;

• considérons ensuite le point milieu de chaque sous-intervalle, soient c₁, c₂, c₃, ... ,c_n les n valeurs ;

• construisons dans chaque sous-intervalle un rectangle de base ∆x_i et de hauteur ƒ(c_i) ;

On obtient le découpage vertical de la figure 3.9.12 représentant l’ap-proximation polygonale de la région ℜ. Le centroïde du i^e rectangle est localisé en son centre c’est-à-dire au point

P_i

(

^cⁱ^,¹²^ƒ(cⁱ⁾

)

Puisque

x- ≈

∑

_i=1ⁿ ^mⁱ^xⁱ

∑

_i=1ⁿ ^mⁱ

et que la masse d’une mince plaque de densité homogène est égale au produit de son aire par sa densité, la i^e plaque rectangulaire aura donc une masse égale à ρƒ(c_i)∆x_i.

m_i= ρƒ(ci)∆xi

y_i= 1 2 ƒ(c_i)

Lorsque n →∞, on a

x- =

ρ_a

∫

^b ^{x ƒ(x) dx}

ρ_a

∫

^b ^{ƒ(x) dx}

= _a

∫

^b ^{x ƒ(x) dx}

∫

ƒ(x) dx

De même

y- ≈

∑

_i=1ⁿ ^mⁱ^yⁱ

∑

_i=1ⁿ ^mⁱ

≈

∑

_i=1ⁿ ⁽^ρ^ƒ(cⁱ⁾^∆^xⁱ⁾

(

¹2 ƒ(c_i)

)

∑

_i=1ⁿ ⁽^ρ^ƒ(cⁱ⁾^∆^xⁱ⁾

≈

∑

i = 1 n

2ρ [ƒ(c_i)]²∆x_i

∑

i = 1 n

ρƒ(c_i)∆x_i Lorsque n →∞, on a

y- =

ρ_a

∫

^b ¹²^[^ƒ(x)^]²^dx

ρ_a

∫

^b ^{ƒ(x) dx}

= _a

∫

^b ²¹^[^ƒ(x)^]²^dx

∫

ƒ(x) dx

D’une façon plus concise, le centre de masse d’une plaque mince et homogène d’aire

A =_a

∫

^b ^{ƒ(x) dx}

est situé au point (x-, y-)

x- = 1

A _a

∫

^b x ƒ(x) dx et y- = 1A_a

∫

^b ¹²^[^ƒ(x)^]²^dx

exemple 3.9.3

l’aire d’un demi-cercle de rayon r = 1 est A = π/2

Trouver le centroïde du demi-cercle d’équation y =

√

^{1 - x}²^.

____________

Il est inutile de calculer x- puisque la région est symétrique par rapport à l’axe des y (la fonction est paire). Le centroïde est situé sur l’axe des y par conséquent x- = 0. On trouve y- à l’aide de la proposition 3.9.1.

y- = 1

A_a

∫

^b ¹²^[^ƒ(x)^]²^dx

= 1 π 2

¹₂_-1

∫

⁽ ^{√}

^{1 - x}²

⁾

²^dx

= 1

π_-1

∫

¹^{(1 - x}²^{) dx}

= 1 π



 x - x³

-1

= 1 π . 4

3 = 4 3π Le centroïde est situé au point

( )

^0,3π⁴

exemple 3.9.4

centroïde

x y y = 1 - 1/2x

Trouver le centroïde de la région triangulaire bornée par l’axe des x, l’axe des y et la droite y = 1 - ¹

2x . ____________

rép: (2/3, 1/3)

exemple 3.9.5 Trouver le centroïde de la région bornée par l’axe des x, l’axe des y, la droite x = π/2 et la courbe y = cos x.

____________

rép: (π/2 -1, π/8)

proposition 3.9.2 Soit ƒ et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a, b]. Si pour toute valeur de l’intervalle [a, b] on a ƒ(x) ≥ g(x) alors les coordonnées du centroïde de la région d’aire A bornée par les courbes des deux fonctions entre x = a et x = b sont

x- = 1

A _a

∫

^b^x

^[

ƒ(x) - g(x)

]

dx ; y- = 1

A_a

∫

^b¹²

[

⁽^ƒ(x)⁾²^-⁽^g(x)⁾²

]

^dx

On peut démontrer cette proposition en utilisant une démarche semblable à celle de la proposition 3.9.1. La démonstration est laissée à l’étudiant.

figure 3.9.13

P (c , 1/2(ƒ(c ) + g(c )))i i i i

a b x

c_i

y = ƒ(x)

y = g(x)

exemple 3.9.6 Trouver le centroïde de la région bornée par les courbes y = x et y = x² .

____________

centroïde et volume de révolution

Le centroïde d’une région plane ℜ est étroitement lié au volume du solide engendré par la rotation de la région ℜ autour d’un axe. Le théorème de Pappus, mathématicien grec du quatrième siècle, met en lumière cette relation.

proposition 3.9.3

théorème de Pappus

Soit _ℜ une région du plan. Le volume du solide engendré par la rotation de la région _ℜautour d’une droite (qui ne rencontre pas la région) correspond à la distance parcourue par le centroïde de _ℜ pendant sa rotation multipliée par l'aire de _ℜ.

démonstration

puisque par la proposition 3.9.2 x-₌¹

A _a

∫

[

ƒ(x) - g(x)

]

^dx

La démonstration est faite pour le cas où la région _ℜ est située entre les courbes y = ƒ(x) et y = g(x) comme à la figure 3.9.13. L’axe des y correspond à l’axe de rotation. À l’aide de la méthode des enveloppes cylindriques, on a

V = _a

∫

^b ²^π^x

^[

ƒ(x) - g(x)

]

^dx

= 2π_a

∫

^b ^x

^[

ƒ(x) - g(x)

]

^dx

= 2π (x- A)

= (2πx-) A

2πx- correspond à la distance parcourue par le centroïde durant sa rotation autour de l’axe des y et A représente l’aire de la région _ℜ. exemple 3.9.7 À l’aide du théorème de Pappus, trouver le volume du tore (beignet)

engendré par la rotation d’un cercle de rayon 3 cm autour d’une droite distante de 5 cm de son centre.

____________

rép: 90π²cm³

exemple 3.9.8 Soit la région hachurée

-1 1 2 3

1 2 3 4

a) Trouver le centroïde de cette région.

b) Trouver le volume du solide engendré par la rotation de cette région autour

• de l’axe des x,

• de la droite x = 3.

____________

rép: a) (2/3; 5/3) ; b) 40π ; 56π

Exercices 3.9

1. Trouver le centroïde d’un système

on suppose que les objets ont

une densité homogène a) constitué de deux objets dont les masses de 4 g et 8 g sont situées respectivement aux points (-1, 2) et (2, 4),

8 g 4 g

b) constitué de trois objets dont les masses de 2 g , 1 g et 3 g sont situées respective-ment aux points (5, 1) , (4, -2) et (-2, 4),

1 g 2 g 3 g

c) constitué de quatre objets dont les masses de 3 g , 4 g , 6 g et 8 g sont situées respectivement aux points (0, 0), (1, 5) , (3, -4) et (-3, -2). 8 g

3 g 4 g

6 g

2. Trouver le centroïde de la région bornée par les courbes a) y = x² , y = 0 , x = 2

b) y = 1 - x² , y = 0

c) y = 2x + 1 , y = 0 , x = 0 , x = 1 d) y = 1

x - 1 , y = 0 , x = 2 , x = 4

e) y = sin x , y = 0 , x = π/2 (entre x = 0 et x = π/2) f) y = e^x , y = 0 , x = 0 , x = 1

g) y = ln x , y = 0 , x = e h) y = √x , y = x

i) y = sin x , y = cos x , x = 0 , x = π/4

3. À l’aide du théorème de Pappus, trouver le volume du solide engendré par la rotation des formes géométriques suivantes,

• autour de l’axe des x ; • autour de l’axe des y.

1 1

4. Trouver le centroïde de la région hachurée puis à l’aide du théorème de Pappus, trouver le volume du solide engendré par la rotation de la région hachurée autour

a) du segment AB , b) du segment AC .

2 2 3

6 3 1

A B

5. Trouver le centroïde de la région bornée par les courbes y = √x , y = 0 , x = 4

puis, à l’aide du théorème de Pappus, trouver le volume du solide engendré par la rotation de cette région

a) autour de l’axe des x, b) autour de l’axe des y.

6. Démontrer la proposition 3.9.2.

Dans le document Intégrales définies et applications (Page 95-106)

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

(

)

∑

∑

∫

∫

∫

∫

∑

∑

∑

(

)

∑

∑

∑

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

√

∫

∫

( √

)

∫

( )

∫

[

]

∫

[

]

∫

[

]

∫

[

]

∫

[

]

Exercices 3.9

⁽ ^{√}

⁾

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