Mathématiques Première : Suites numériques
Thèmes
Exercices de base
Ex.B1 : Termes d'une suite arithmétique ou géométrique
Ex.B2 : Somme des termes d'une suite arithmétique ou géométrique
Ex.B3 : Exemples d’utilisation d’une suite auxiliaire, arithmétique ou géométrique Ex.B4 : Algorithmes pour l'étude d'une suite définie en fonction de ou par récurrence Exercices d’approfondissement
Ex.A1 : Somme des carrés et des cubes des entiers
Ex.A2 : Remboursement d'un emprunt par annuités constantes
Dans tous les exercices de base, on demande de choisir trois entiers .
On pourra les choisir parmi les 44 triplets suivants (6,8,9 est celui utilisé pour les corrigés) :
Énoncés
Exercices de base Ex.B1
1. Choisir trois entiers tels que et . Les questions sont indépendantes.
a) Soit une suite arithmétique de raison . On suppose que . Calculer .
b) Soit une suite arithmétique telle que et . Calculer la raison de cette suite.
c) Soit une suite arithmétique de raison telle que . Déterminer l’entier tel que .
d) Soit et deux suites arithmétiques de raisons respectives et telles que et . Exprimer et en fonction de et démontrer que la suite définie par
pour tout est arithmétique.
2. Choisir trois entiers tels que et . Les questions sont indépendantes.
a) Soit une suite géométrique de raison . On suppose que . Calculer . Donner sa valeur arrondie au centième.
b) Soit la suite géométrique de raison telle que .
Exprimer , pour tout , sous la forme avec puis sous la forme en précisant et en fonction de .
3. Choisir trois entiers tels que et . On pose et . Préciser et
a) Une quantité augmente de % par an. On note ( ) sa valeur après augmentations et on pose .
Exprimer en fonction de .
b) À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier tel que .
Ex.B2
1. Choisir trois entiers tels que et . Les questions sont indépendantes.
a) Soit une suite arithmétique de raison telle que . Calculer la somme .
b) Soit . Calculer . On pose , et .
On suppose que la suite est arithmétique et que .
Calculer le nombre de termes de la somme et la raison de la suite . 2. Choisir trois entiers tels que et .
Soit une suite géométrique de raison telle que . Calculer la somme et donner sa valeur arrondie au millième.
Ex.B3
1. Choisir trois entiers tels que et . On pose . Préciser .
Soit la suite définie par et, pour tout ,
. Pour tout , on pose
. On admet que et existent pour tout . a) Démontrer que la suite est arithmétique et préciser sa raison.
b) En déduire puis en fonction de sous la forme
.
2. Choisir trois entiers tels que et . Soit la suite définie par et, pour tout , . Pour tout , on pose
.
a) Démontrer que la suite est géométrique et préciser sa raison.
b) En déduire puis en fonction de .
c) Exprimer la somme en fonction de . Ex.B4
1. Choisir trois entiers tels que et . On considère la suite définie, pour tout , par
.
a) Écrire de code Python de la fonction f qui prend un nombre x en argument et renvoie le nombre
.
b) Écrire le code Python de la fonction somme qui prend en argument deux entiers m et p et renvoie la somme si et la somme sinon (les valeurs renvoyées sont arrondies au centième).
c) Écrire la ligne de code qui permet d’afficher la valeur arrondie au centième de
et donner cette valeur.
2. Choisir trois entiers tels que et . Soit et . Préciser et
a) Écrire de code Python de la fonction seuilGeom qui prend en argument quatre nombres p, u, q et s (on suppose que q est positif et différent de 1) et renvoie :
- le plus petit indice tel que , étant la suite géométrique de raison telle que , si
- un entier analogue, à préciser, si .
b) Soit la suite géométrique de raison telle que .
Écrire la ligne de code qui permet d’exécuter la fonction seuilGeom pour la suite avec un seuil de . Donner le résultat affiché et sa signification.
c) Même question avec la suite , géométrique de raison telle que et un seuil de .
3. Choisir trois entiers tels que et .
On considère la suite définie par et, pour tout ,
. a) Écrire de code Python de la fonction f qui prend un nombre x en argument et renvoie le nombre
.
b) Écrire le code Python de la fonction suiteRec qui prend en argument deux entiers m et p et un nombre u et qui renvoie et la somme lorsque (on suppose et les valeurs renvoyées sont arrondies au centième).
c) Écrire la ligne de code qui permet d’afficher les valeurs arrondies au centième de et
et donner ces valeurs.
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. Pour tous entiers naturels non nuls et , on pose . Pour toute suite de réels et pour tous entiers naturels et tels que , on note
.
a) Exprimer en utilisant la notation précédente.
b) Calculer en fonction de .
c) Pour tout entier naturel , développer .
d) En additionnant les égalités obtenues dans la question c) pour variant de à , montrer que .
e) En utilisant la même méthode que dans les questions précédentes, calculer en fonction de .
2. On répartit les entiers impairs dans un tableau comme ci-contre de sorte que la -ième ligne contient entiers impairs consécutifs.
On note le -ième entier impair (à partir de ), le premier terme de la -ième ligne du tableau et son dernier terme.
1 3 5
7 9 11 13 15 17 19 etc…
a) Exprimer , et en fonction de .
b) Exprimer la somme des termes de la -ième ligne en fonction de .
c) Calculer finalement la somme en fonction de . Ex.A2
1. Un emprunteur s’adresse à un prêteur pour obtenir une somme d’argent (la dette) qu’il s’engage à rembourser en versant au bout de chaque année, durant années, une annuité constante au prêteur. Le prêteur estime que le capital prêté doit lui rapporter un intérêt annuel égal à % du montant de la dette. L’annuité versée au bout de chaque -ième année ( ) est donc constituée de deux montants : une partie de la dette (l’amortissement) et l’intérêt calculé sur la dette .
a) Soit . Montrer que avec
. b) En déduire que
.
c) La feuille de calcul automatisée ci-dessous donne les nombres et à partir de et écrits dans les cases entourées.
Préciser les formules à écrire dans les cellules B2 et D2 puis dans les cellules A7, B6, C6 et D6 pour être copiées vers le bas jusqu’à la ligne 20.
En utilisant le tableau précédent, calculer le montant total des intérêts dans les cas suivants : d) l’emprunteur souscrit un emprunt de € sur ans à un taux de % par an.
e) l’emprunteur souscrit un emprunt de € sur ans à un taux de % par an et décide de s’en acquitter au bout de la dixième année.
f) l’emprunteur souscrit un emprunt de € sur ans à un taux de % par an.
Méthodes et indications Exercices de base
Ex.B1
1. a), b), c) Si est une suite arithmétique de raison alors, pour tous entiers naturels et , .
d) est une suite arithmétique si, et seulement si, pour tout (dans ce cas, et la raison de la suite est ) ou encore si, et seulement si, est un réel qui ne dépend pas de (dans ce cas, ce réel est la raison de la suite).
2. Si est une suite géométrique de raison alors, pour tous entiers naturels et , .
Utiliser aussi les règles de calcul sur les puissances :
( ; ( ) ; .
3. a) Si une quantité augmente de % elle est multipliée par
. La suite est donc géométrique.
b) L’inégalité est équivalente à une inégalité du type . Faire varier de en . Ex.B2
1. Si est une suite arithmétique et si , . C’est la moyenne des termes extrêmes multipliée par le nombre de termes.
2. Si est une suite géométrique de raison ,
.
est le terme qui suit le dernier donc . Ex.B3
1. Choisir trois entiers tels que et . On pose . Préciser .
Soit la suite définie par et, pour tout ,
. Pour tout , on pose
. On admet que et existent pour tout . a) Démontrer que ne dépend pas de .
b) L’égalité
permet de calculer en fonction de puis en fonction de . 2. a) Démontrer que où est un réel indépendant de .
c) Écrire sous la forme
pour tout et utiliser le fait que la suite est géométrique.
Ex.B4
1. b) Si , échanger et puis ajouter les valeurs de la suite dans une variable S à l’aide d’une boucle for. L’échange de et est nécessaire car range(a,b)est vide si a>=b.
2. a) Utiliser une boucle while : Calculer en augmentant de tant que la condition voulue n’est pas réalisée. Si alors peut être aussi grand qu’on veut et si alors peut être aussi proche de qu’on veut.
3. b) La fonction renvoie la somme S et le nombre u modifié dans une boucle. Initialiser la variable S avec la valeur u et la modifier au fur et à mesure dans la boucle.
c) Utiliser la fonction suiteRec
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. a) est une somme de termes de la forme .
2. b) est une somme de termes d’une suite arithmétique.
c) . d) Remarquer que
et factoriser par .
e) Développer , sommer pour variant de à et factoriser par . 3. a) La suite est arithmétique. Déterminer les entiers et tels que et .
b) et c) Les deux sommes demandées sont des sommes de termes de la suite arithmétique
Ex.A2
1. a) Remarquer que et que b) Remarquer que .
c) Dans une formule, ne pas oublier de placer la lettre de la colonne d’une cellule entre deux lorsque celle-ci ne doit pas bouger par copie vers le bas.
d) Le remboursement se fait à annuités constantes.
e) Utiliser le tableau.
f) Reprendre le calcul du d).
Corrigés
Exercices de base Ex.B1
1.
a) est la suite arithmétique de raison telle que donc .
b) est la suite arithmétique telle que et . On a donc
.
c) est la suite arithmétique de raison telle que .
. Donc
d) et sont les deux suites arithmétiques de raisons respectives et telles que et . On a et .
On a pour tout donc la suite est arithmétique de raison .
Remarque. On peut aussi vérifier que pour tout .
2.
a) On a . b) est la suite géométrique de raison
telle que . Pour tout , on a
Ainsi
et . 3.
a) On a
donc la suite est géométrique de raison . Ainsi
b) .
On a donc l’entier cherché est . Les questions sont indépendantes.
a) Soit une suite arithmétique de raison . On suppose que . Calculer .
b) Soit une suite arithmétique telle que et . Calculer la raison de cette suite.
c) Soit une suite arithmétique de raison telle que . Déterminer l’entier tel que .
d) Soit et deux suites arithmétiques de raisons respectives et telles que et . Exprimer et en fonction de et démontrer que la suite définie par
pour tout est arithmétique.
Les questions sont indépendantes.
a) Soit une suite géométrique de raison . On suppose que . Calculer . Donner sa valeur arrondie au centième.
b) Soit la suite géométrique de raison telle que .
Exprimer , pour tout , sous la forme avec puis sous la forme en précisant et en fonction de .
a) Une quantité augmente de % par an. On note ( ) sa valeur après augmentations et on pose .
Exprimer en fonction de .
b) À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier tel que .
Ex.B2 1.
a) On a et donc . b) .
On a , donc et est le nombre de termes de la somme.
Ainsi
Alors, comme , on a
. 2.
On a
. Ex.B3
1.
a) Pour tout , on a
. Ainsi
et
donc
et
ce qui prouve que la suite est arithmétique de raison
. b) On a donc
. Comme
on a donc
. 2.
a) On a donc la suite est géométrique de raison .
b) Ainsi et . Les questions sont indépendantes.
a) Soit une suite arithmétique de raison telle que . Calculer la somme .
b) Soit . Calculer . On pose , et . On suppose que la suite est arithmétique et que .
Calculer le nombre de termes de la somme et la raison de la suite .
Soit une suite géométrique de raison telle que .
Calculer la somme et donner sa valeur arrondie au millième.
Soit la suite définie par et, pour tout ,
. Pour tout , on pose
. On admet que et existent pour tout . a) Démontrer que la suite est arithmétique et préciser sa raison.
b) En déduire puis en fonction de sous la forme
.
Soit la suite définie par et, pour tout , . Pour tout , on pose .
a) Démontrer que la suite est géométrique et préciser sa raison.
b) En déduire puis en fonction de .
c) Exprimer la somme en fonction de .
c)
. Ex.B4
1.
a) def f(x):
return (6*x*x+8*x+9)/(x*x+23) b) def somme(m,p):
if m>p:
q=p p=m m=q S=0
for i in range(m,p+1):
S+=f(i)
return round(S,2)
c) print(somme(23,432)) donne .
2.
a) def seuilGeom(p,u,q,s):
m=0 if q>1:
while u*q**(m-p)<=s:
m+=1 if q<1:
while u*q**(m-p)>=s:
m+=1 return m
Si , la suite est strictement croissante et tend vers donc la boucle while est nécessairement finie.
De même, si la suite est strictement décroissante et tend vers donc la boucle while est nécessairement finie ; on peut donc afficher le plus petit indice tel que .
On considère la suite définie, pour tout , par
.
a) Écrire de code Python de la fonction f qui prend un nombre x en argument et renvoie le nombre
.
b) Écrire le code Python de la fonction somme qui prend en argument deux entiers m et p et renvoie la somme si et la somme sinon (les valeurs renvoyées sont arrondies au centième).
c) Écrire la ligne de code qui permet d’afficher la valeur arrondie au centième de
et donner cette valeur.
a) Écrire de code Python de la fonction seuilGeom qui prend en argument quatre nombres p, u, q et s (on suppose que q est positif et différent de 1) et renvoie :
- le plus petit indice tel que , étant la suite géométrique de raison telle que , si
- un entier analogue, à préciser, si .
b) Soit la suite géométrique de raison telle que .
Écrire la ligne de code qui permet d’exécuter la fonction seuilGeom pour la suite avec un seuil de . Donner le résultat affiché et sa signification.
c) Même question avec la suite , géométrique de raison telle que et un seuil de .
b) print(seuilGeom(6,8,1.68,1000)) donne le plus petit entier tel que si et . On trouve .
c) print(seuilGeom(6,9,0.11,0.001)) donne le plus petit entier tel que si et . On trouve .
Remarque. On peut évidemment retrouver ces résultats avec le tableur d’une calculatrice en observant les valeurs de et .
3.
a) def f(x):
return (6x**2+8*x+9)/(x**+23) b) def suiteRec(m,p,u):
S=u
for i in range(m+1,p+1):
u=f(u) S+=u
return round(u,2),round(S,2)
c) print(suiteRec(23,432,6)) affiche et Exercices d’approfondissement
Ex.A1
1. a)
.
b) (somme de termes d’une suite arithmétique de termes extrêmes et ).
c) .
d) car les termes intermédiaires s’éliminent deux à deux et .
On a donc ou encore
.
e) On a, pour tout ,
donc
ou encore .
Ainsi,
.
On considère la suite définie par et, pour tout ,
. a) Écrire de code Python de la fonction f qui prend un nombre x en argument et renvoie le nombre
.
b) Écrire le code Python de la fonction suiteRec qui prend en argument deux entiers m et p et un nombre u et qui renvoie et la somme lorsque (on suppose et les valeurs renvoyées sont arrondies au centième).
c) Écrire la ligne de code qui permet d’afficher les valeurs arrondies au centième de et
et donner ces valeurs.
2. a) La suite est arithmétique de raison donc
est le -ième terme de la suite ) donc ou encore .
Alors .
Remarque. On a aussi et
b) La somme des termes de la -ième ligne est la somme de termes d’une suite arithmétique de termes extrêmes et donc elle est égale à .
c) Ainsi est la somme des termes des premières lignes du tableau, c’est-à-dire la somme des termes de la suite entre et ce qui fait
termes.
On a donc et on retrouve le résultat de l’exercice A1.
Ex.A2
1. a) Traduisons l’énoncé : ,
et ou encore . De plus, comme l’anuité est constante, on a .
Ainsi
avec
.
b) On remarque que donc, comme la suite est géométrique de raison , on a
. Finalement,
ou encore, comme
,
. c)
donc B2 : =1+B1/100
donc D2 : =(B2^D1*(B2-1))*B5/(B2^D1-1) A7 : =A6+1
donc B6 : =B5-D5
donc C6 : =$B$1*B6/100 (la cellule B1 ne doit pas bouger en copiant vers le bas) donc D6 : =$D$2-C6 (la cellule D2 ne doit pas bouger en copiant vers le bas) ) On a .
L’emprunteur rembourse donc, au total, soit € d’intérêt.
e) Si l’emprunteur décide de s’acquitter de l’emprunt au bout de la dixième année, il rembourse, au total, soit ou encore € d’intérêts.
Remarque. On a . Comme chaque est arrondi au centime, la somme n’est pas exactement égale à
. On a
alors qu’avec le tableur .
Le calcul de ce que verse effectivement l’emprunteur ne peut donc pas se faire avec la formule mais avec le tableur.
f) Si l’emprunteur souscrit un emprunt de € sur ans à un taux de % par an, on a donc
.
L’emprunteur rembourse donc, au total, soit € d’intérêt.
