Chapitre 2 :
Initiation à la démonstration 0) Rappels de 5
èmeLa démonstration mathématique répond à plusieurs règles non négociables :
1. Un énoncé est soit tout le temps juste, soit faux.
2. Voir ou mesurer sur un dessin n’est JAMAIS une preuve.
3. Des exemples vérifiant un énoncé ne sont pas une preuve.
4. Un exemple ne vérifiant pas l’énoncé suffit à montrer qu’il est faux. C’est un contre-exemple.
I) Méthode
Pour démontrer, il faut faire attention à la rédaction et au choix des propriétés.
Propriété :
Pour écrire une propriété en mathématiques, on utilise souvent la forme :
« Si …. [on met ici la ou les CONDITIONS] alors … [la ou les CONCLUSIONS] »
Méthode :
• Quelle est la question ? Que faut-il démontrer ?
• Quelles sont les propriétés qui me permettent de démontrer cette conclusion ?
• Quelles sont mes conditions ? Je choisis la bonne propriété.
• Je rédige.
Exemple :
D’après le codage, démontrer que ABCD est un parallélogramme.
Brouillon :
• propriétés du livre permettant d’obtenir un parallélogramme : P1 et P3
A D
B C
A D B C
P1 ne convient pas car on ne sait rien sur les côtés, P3 convient, on a des infos sur les diagonales.
Rédaction :
Je sais que [AC] et [BD] se coupent en leur milieu.
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c’est un parallélogramme.
Donc ABCD est un parallélogramme.
Définition :
La réciproque d’une propriété s’obtient en inversant les conditions avec les conclusions.
La réciproque d’une propriété n’existe pas toujours et n’est pas toujours vraie.
Exemple :
Enoncé : « Si deux nombres sont pairs, alors leur somme est paire. »
Cette propriété est vraie. Sa réciproque est :
« Si la somme de deux nombres est paires, alors ces deux nombres sont pairs. »
La réciproque existe, mais elle est fausse (car 3 + 3 = 6)
