HAL Id: jpa-00227714
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Submitted on 1 Jan 1988
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INSTABILITIES IN DOPPLER BROADENED OPTICALLY PUMPED FAR-INFRARED LASERS
F. Laguarta, J. Pujol, R. Vilaseca, R. Corbalan
To cite this version:
F. Laguarta, J. Pujol, R. Vilaseca, R. Corbalan. INSTABILITIES IN DOPPLER BROADENED
OPTICALLY PUMPED FAR-INFRARED LASERS. Journal de Physique Colloques, 1988, 49 (C2),
pp.C2-409-C2-412. �10.1051/jphyscol:1988297�. �jpa-00227714�
INSTABILITIES I N DOPPLER BROADENED OPTICALLY PUMPED FAR-INFRARED LASERS
F. LAGUARTA*
,
J. PUJOL*,
R. VILASECA* * and R. CORBALANDepartment de ~ f s i c a , Universitat ~ u t 6 n o m a de Barcelona, SP-08193 Bellaterra, Spain
"Departament dlOptica i Optornetria, Universitat Politecnica de Catalunya, C/ Colon 1, SP-08222 Terrassa, Spain
* *
Department I. d'optica, Universitat de Valencia, SP-46100 Burjassot, SpainRdsumP
-
On B t u d i e l e c o m p o r t e m e n t d y n a m i q u e d ' u n l a s e r e n anneau,unidirectionnel,monomode e t pomp6 o p t i q u e m e n t , d o n t l e m i l i e u a c t i f e s t c o m p o s k p a r d e s a t o m e s A t r o i s n i v e a u x a f f e c t b s p a r d l a r g i s s e m e n t D o p p l e r . La f o r m u l a t i o n e s t b d s e e s u r un e n s e m b l e d e 9 N + l P q u a t i o n s r P e l l e s d u t y p e M a x w e l l - B l o c h p o u r d e s o n d e s p l a n e s e t a p p r o x i m a t i o n du champ moyen tN est l e n o m b r e d e g r o u p e s d e v i t e s s e m o l k c u l a i r e c o n s i d d r e s ) . Ce m o d e l e p r k d i t , p o u r un d o m a i n d e v a l e u r s d e s p a r a m P t r e s s e m b l a b l e A c e l u i e x p l o r e e x p k r i m e n t a l e m e n t p a r Weiss e t B r o c k [ P h y s . Rev. L e t t . 5 2 ( 1 9 8 6 ) Z 8 0 4 ) , u n c o m p o r t e m e n t q u i r e p r o d u i t l a p l u p a r t d e s t r a i t s p r i n c i p a u x o b s e r v d s p a r c e s a u t e u r s ; e n p a r t i c u l i e r l e s e u i l d e pompage p o u r l e s i n s t a b i l i t e s e t l a s u c c e s s i o n d ' i n s t a b i l i t b s a p p a r a i s s a n t p a r s y n t o n i z a t i o n d e l a c a - v i t d e t p a r v a r i a t i o n d e l a p u i s s a n c e d e pompage.A b s t r a c t
-
We s t u d y t h e d y n a m i c b e h a v i o u r of a c o h e r e n t l y pumped s i n g l e - m o d e u n i d i r e c t i o n a l r i n g l a s e r w i t h a n a c t i v e medium o f D o p p l e r b r o a d e n e d t h r e e - l e v e l a t o m s . Our f o r m u l a - t i o n i s b a s e d o n a s e t o f ?N+l r e a l e q u a t i o n s o f t h e p l a n e - w a v e m e a n - f i e l d M a x w e l l - B l o c h t y p e ( N i s t h e number o f v e l o c i t y g r o u p s o f m o l e c u l e s c o n s i d e r e d ) . T h i s model p r e d i c t s , f o r a p a r a m e t e r r a n g e o f t h e t y p e e c p l o r e d i n t h e e x p e r i m e n t s b y Weiss a n d B r o c k ( P h y s . Rev. L e t t . 5 1 ( 1 9 8 6 ) 2 8 0 4 1 , a b e h a v i o u r t h a t i e p r o d u c e s m o s t of t h e i r m a i n e x p e r i m e n t a l f e a t u r e s . T h e s e i n c l u d e t h e i n s t a b i l i t y pump t h r e s h o l d a n d t h e s e q u e n c e of i n s t a b i l i t i e s o c u r r i n g o n r e s o n a t o r t u n i n g a n d o n i n c r e a s i n g pump s t r e n g t h .Q u a n t u m o p t i c a l s y s t e m s l i k e l a s e r s p r o v i d e e x c e l l e n t p r o t o t y p e s f o r t h e i n v e s t i g a t i o n of p e r i o - d i c a n d c h a o t i c undamped s e l f - p u l s i n g i n n o n l i n e a r d y n a m i c a l s y s t e m s / s e e e . g . 1 1 . A t h e o r e t i c a l b r e a k t h r o u g h i n t h e f i e l d o f o p t i c a l c h a o s w a s t h e d i s c o v e r y by Haken / 2 / t h a t t h e t h r e e - e q u a - t i o n s model f o r a r e s o n a n t l y t u n e d s i n g l e - m o d e h o m o g e n e o u s l y b r o a d e n e d t w o - l e v e l l a s e r i s i s o - m o r p h i c t o t h e L o r e n z / 3 / m o d e l , w h i c h i s w i d e l y u s e d a s a t h e o r e t i c a l p a r a d i g m o f a l o w - d i m e n - s i o n a l s y s t e m e x h i b i t i n g c h a o s / 4 / . H o w e v e r , i t w a s o n l y r e c e n t l y t h a t L o r e n i - t y p e c h a o s h a s b e e n o b s e r v e d i n o p t i c a l l y pumped NHJ f a r - i n f r a r e d l a s e r s / 5 , b / .
We a n a l y z e t h e s e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s i n a n a t t e m p t t o a n s w e r t h e i m p o r t a n t q u e s t i o n o f w h e t h e r t h e y a c t u a l l y c o r r e s p o n d t o t h e L o r e n i - H a k e n i n s t a b i l i t y . The a n s w e r i s n o t e v i d e n t . I n f a c t , t h e L o r e n i - H a k e n model r e f e r s t o i n c o h e r e n t l y pumped l a s e r s w i t h h o m o g e n e o u s l y b r o a d e n e d t w o - l e v e l a c t i v e m e d i a . H o w e v e r , m o d e l s b a s e d o n ( a t l e a s t ) a t h r e e - l e v e l s y s t e m a r e n e e d e d t o d e s - c r i b e o p t i c a l l y - p u m p e d l a s e r s , w h o s e d y n a m i c s i s known t o r e d u c e t o t h a t o f t h e L o r e n i - H a k e n model u n d e r c e r t a i n l i m i t i n g c o n d i t i o n s /7/. But t h e s e c o n d i t i o n s a r e n o t a l l met i n t h e NH, l a s e r , a n d i n d e e d t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s o f a model f o r t h i s l a s e r , w i c h c o n s i d e r e d a homoge- n e o u s l y b r o a d e n e d t h r e e - l e v e l a c t i v e medium / 8 / , r e v e a l e d s t r i k i n g d i f f e r e n c e s w i t h t h e e x p e r i - m e n t a l o b s e r v a t i o n s / 5 / . H e r e , we r e f i n e t h i s p r e v i o u s model t o a c c o u n t f o r t h e i n h o m o g e n e o u s D o p p l e r b r o a d e n i n g .
I n t e r e s t i n g l y e n o u g h , by o u r m a k i n g t h e t h r e e - l e v e l model m o r e r e a l i s t i c we g e t much c l o s e r a g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s a n d e x p e r i m e n t a l o b s e r v a t i o n s , w h i c h a s p r e v i o u s l y m e n t i o n e d a r e a l s o i n c o m p l i a n c e w i t h t h e L o r e n z model i . e . w i t h a n a p r i o r i much s i m p l e r model t h a n o u r s . Even i f t h i s s u r r i s i n g r e s u l t c o u l d s e e m i n g l y s u g g e s t t h a t pump i n d u c e d c o h e r e n c e e f f e c t s a n d i n h o m o g e n e o u s D o p p l e r b r o a d e n i n g p l a y a n e g l i g i b l e r o l e , o u r r e s u l t s s h o w , o n t h e c o n t r a r y , t h a t t h e s e f a c t o r s s t r o n g l y i n f l u e n c e t h e d y n a m i c b e h a v i o u r o f t h e NHJ l a s e r . T h u s , we c a n a r g u e t h a t t h e i n t e r e s t i n g a n d c h a l l e n g i n g p r o b l e m o f o p e r a t i n g a n a c t u a l l a s e r i n t h e c h a o - t i c r e g i m e of t h e L o r e n z - H a k e n model i s s t a n d i n g s t i l l .
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1988297
C2-410
JOURNALDE
PHYSIQUEWe c o n s i d e r t h e d y n a m i c b e h a v i o u r of a c o h e r e n t l y - p u m p e d s i n g l e -mode u n i d i r e c t i o n a l r i n g - l a s e r w i t h a D o p p l e r - b r o a d e n e d t h r e e - l e v e l a c t i v e medium, w h e r e t h e p u m p i n g a n d l a s i n g t r a n s i t i o n s s h a r e a common u p p e r l e v e l . A s i n many o t h e r s t u d i e s i n l a s e r d y n a m i c s ( i n p a r t i c u l a r , s e e 2 ) we u s e t h e p l a n e - w a v e a n d mean-f i e l d a p p r o x i m a t i o n s . T h e HaxweI I - H l o c h - t y p e e q u a t i o n s f o r s u c h a s y s t e m c a n b e shown t o b e ( w i t h i n t h e RMA):
s u p p l e m e n t e d b y t h e g e n e r a t e d f i e l d - f r e q u e n c y - d e t e r m i n i n g e q u a t i o n :
+m
w l ( t l
-
w o l = d l l t l = d l e-
G I U ( v l Re ? l o ( ~ , t ) d v l 2 a ( t ) -*H e r e v i s t h e m o l e c u l a r v e l o c i t y a l o n g t h e p r o p a g a t i o n d i r e c t i o n o f t h e t r a v e l l i n g pump f i e l d ! P . , ( v , t ) t i , j = 0 , t , 2 ) a r e s l o w l y v a r y i n g e n v e l o p s o f d e n s i t y m a t r i x e l e m e n t s n o r m a l i z e d t o t h e d e n s i t y n O ( v ) o f a o l e c u l e s i n t h e t h r e e - l e v e l s y s t e m , w h i c h w i l l b e a s s u m e d t o b e o f t h e f o r m n o ( v ) = No W ( v ) , w h e r e No i s t h e t o t a l d e n s i t y o f m o l e c u l e s a n d W ( v ) a n o r m a l i z e d Maxwe- l l i a n v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n w i t h a m o s t p r o b a b l e v e l o c i t y u. P , , O ( v ) a r e t h e e q u i l i b r i u m p o p u l a - t i o n d e n s i t i e s i n a b s e n c e o f f i e l d s . A l e = w,
-
w o l , A 1 ( t ) = r r l ( t )-
w o k a n d A2 = w z - wo2 a r e d e t u n i n g s ; w,, w l a n d w 2 b e i n g t h e c a v i t y , g e n e r a t e d f i e l d a n d pump f i e l d f r e q u e n c i e s , w o l a n d woa b e i n g t h e a m p l i f y i n g a n d a b s o r b i n g t r a n s i t i o n f r e q u e n c i e s . 2 8 a n d 2 a ( t ) a r e r e a l R a b i f r e - q u e n c i e s , w h i c h c h a r a c t e r i z e t h e i n t e r a c t i o n of a m o l e c u l e w i t h t h e pump f i e l d a n d w i t h t h e b a c k w a r d g e n e r a t e d f i e l d , w i t h wave n u m b e r s k2 a n d k l , r e s p e c t i v e l y . R i s s u p p o s e d c o n s t a n t a n d a t t ) w i l l g i v e a m e a s u r e o f t h e g e n e r a t e d f i e l d a m p l i t u d e a t e a c h i n s t a n t t . G = w o ~ - y % ~.
N0/c0iii s a p a r a m e t e r t h a t a c c o u n t s f o r t h e s t r e n g t h o f t h e m o l e c u l e - g e n e r a t e d f i e l d c o u p l i n g a n d f o r t h e d e n s i t y o f m o l e c u l e s , pol b e i n g t h e t r a n s i t i o n d i p o l e moment. T h e c a v i t y l i n e w i d t h a n d t h e h o m o g e n e o u s b f o a d e n i n g a r e d e s c r i b e d r e s p e c t i v e l y by t h e c a v i t y a n d t h e p o p u l a t i o n a n d c o h e r e n c e d e c a y r a t e s , T,, a n d 7 1 a n d r i d ( i , j = 0 , 1 , 2 ) . T h e i n h o m o g e n e o u s b r o a d e n i n g i s g i v e n by t h e Dop- p l e r w i d t h s k i u ( i = l , 2 ) .
T h r o u g h o u t t h i s p a p e r we c o n c e n t r a t e i n t h e n u m e r i c a l s t u d y o f t h i s model ( u s i n g a s e v e n t h - e i g h t h o r d e r R u n g e - k u t t a r o u t i n e ) f o r a p a r a m e t e r r a n g e a p p r o p i a t e t o t h e e x p e r i m e n t a l c o n d i - t i o n s o f r e f . / 5 / , w h e r e c h a o t i c e m i s s i o n a t 8 1 . 5 ym w a v e l e n g t h f r o m a 14NHJ l a s e r pumped by t h e P ( 1 3 ) l i n e o f a N2D l a s e r w a s r e p o r t e d . We c o n s i d e r t h e pump f i e l d a m p l i t u d e I3 a n d t h e c a v i t y d e t u n i n g Ale a 5 t h e m a i n c o n t r o l p a r a m e t e r s . F o r t h e r e m a i n i n g p a r a m e t e r s t h e f o l l o w i n g v a l u e s w e r e a d o p t e d / 5 , 8 / , r e f e r r i n g t o a 9 P a I4NHs p r e s s u r e : 7 0 ~ = 6 . 1 2 - 1 0 - * s e c - I ; T O = T~ = 0 . 2 8 701; 72 = = T O = = 0 . 9 5 T,,, ; 7, = 2 . 3 T ~ ,f i . e 9.4X c a v i t y l o s s e s ) A 2 = 3 0 T ~ k 2 ~ = ; 7 . 5 k ~ ; ~ I L I = 6 . 8 TO^; G = 8 2 2 4 -rolZ a n d P o o O : P l I 0 : P Z z 0 = 0 . 0 1 1 4 : 0 . 0 1 8 3 : 0.9703. N o t e t . h a t r e l a x a t i o n r a t e s a n d D o p p l e r w i d t h s a r e a l l w i t h i n a n o r d e r o f m a g n i t u d e . T h i s a l r e a d y s h o u l d s u g g e s t t o c o n s i d e r t h e D o p p l e r b r o a d e n i n g t o a c c o u n t f o r o f f - r e s o n a n t p u m p i n g e f f e c t s . k l t h o u g h t h e s e e f f e c t s a r e e x p e c t e d t o b e s m a l l f o r t h e u n s a t u r a t i n g pump f i e l d s u s e d i n t h e e x p e r i m e n t , a b a n d o f v e l o c i t i e s h a s t o b e c o n s i d e r e d s i n c e , d u e t o t h e g e n e r a t e d f i e l d - i n d u c e d AC-Stark e f f e c t l w i c h d e p e n d s o n t h e unknown a ( t ) a n d A I ( t ) f u n c t i o n s ) , t h e r e s o n a n t l y pumped v e l o c i t y g r o u p o f m o l e c u l e s c a n n o t b e known a p r i o r i , a n d , m o r e o v e r , i t c h a n g e s i n time u n d e r u n s t a b l e l a s e r e m i s s i o n c o n d i t i o n s . I n f a c t , t h e n u m e r i c a l r e s u l t s o f r e f . / 8 / a n d t h o s e shown b e l o w d e m o n s t r a t e t h a t i n t h e 14NHs l a s e r a v a l u e s l a r g e r t h a n t h e 13 v a l u e c a n b e g e n e r a t e d . T h i s i s p o s s i b l e b e c a u s e t h e d i p o l e moment f o r t h e g e n e r a t i n g t r a n s i t i o n i s much l a r g e r t h a n t h a t f o r t h e a b s o r b i n g t r a n s i t i o n . N o t e a l s o t h a t d u e t o t h e 1 / 2 a f a c t o r i n t h e s e c o n d term o f Eq. ( 2 1 , p u s h i ' n g a n d p u l l i n g e f f e c t s a r e p a r t i c u l a r l y s t r o n g f o r s m a l l u v a l u e s .
T h e E q s . ( 1 ) a n d ( 2 ) were s o l v e d n u m e r i c a l l y w i t h a n i n c r e a s i n g number D o f v e l o c i t y g r o u p s ( c e n t e r e d a t k l v o = 4 s o l , a n d e a c h o f w i d t h A ( k l v ) = 0 . 2 5 T O , ) , u n t i l c o n v e r g e n c e i n t h e t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n w a s a c h i e v e d . T h i s a l w a y s o c c u r r e d f o r D I 24. S i n c e t h e p,, ( i
+
j)c o h e r e n c e s a r e c o m p l e x f u n c t i o n s , t h e b a s i c Eqs. o f m o t i o n ( 1 ) c o n s t i t u t e , f o r D = 2 4 , a s e t o f 2 1 7 (!.) r e a l f i r s t o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s .
r i c h d y n a m i c s a p p e a r s a s a h a r d - m o d e e x c i t a t i o n a t a pump t h r e s h o l d much l o w e r t h a n t h a t p r e d i c - t e d b y t h e LSA. The s t u d y i s l i m i t e d h e r e t o a r a n g e o f pump p o w e r s well b e l o w t h e LSA i n s t a b i - l i t y t h r e s h o l d . F o r t h i s r a n g e o f pump p o w e r s , w h i c h i s a t p r e s e n t t h e m o s t i n t e r e s t i n g o n e b e - c a u s e i t c o r r e s p o n d s t o t h e e x p e r i m e n t s p e r f o r m e d s o f a r / 5 / , we h a v e f o u n d t w o c o e x i s t i n g a t t r a c t o r s i n t h e p h a s e s p a c e o f o u r s y s t e m . One o f t h e m i s a f i x e d p o i n t ( s t a b l e f o c u s ) a s s o - c i a t e d w i t h t h e s t e a d y l a s i n g s t a t e ( a b o v e t h e lase'r t h r e s h o l d ) . T h e o t h e r much m o r e p h y s i c a l l y r e l e v a n t a t t r a c t o r , w h i c h i s d e s c r i b e d b e l o w , h a s a " b a s s i n o f a t t r a c t i o n " much l a r g e r t h a n t h a t f o r t h e p r e v i o u s o n e . To r e a c h t h i s s e c o n d a t t r a c t o r we u s u a l l y i n t e g r a t e Eqs. ( 1 ) a s s u m i n g t h a t t h e l a s e r i s i n i t i a l l y i n t h e t r i v i a l s t a t e w i t h a = 0 , a n d a b r u p t l y s w i t c h t h e g a i n .
A k e y e x p e r i m e n t a l f e a t u r e f o r t h e '+Nti3 l a s e r was t h e o b s e r v a t i o n of a n a b r u p t t r a n s i t i o n f r o m c o n t i n o u s e m i s s i a n t o c h a o t i c e a i s s i o n a s t h e l a s e r i s " c e n t r a l l y t u n e d " a n d t h e pump s t r e n g t h js i n c r e a s e d / 5 / . However " c e n t r a l l y t u n e d " h a d n o t a n u n a m b i g u o u s m e a n i n g s i n c e t h e a p a r a t u s d i d n o a l l o w t o m e a s u r e q u a n t i t a t i v e d e t u n i n g d a t a / 5 / . T h u s , a s a f i r s t s t e p , we d e t e r m i n e d t h e r a n g e o f A l e v a l u e s f o r w h i c h o u r model p r e d i c t s a n a b r u p o n s e t o f c h a o s by i n c r e a s i n g 8. T h i s o c u r r e d f o r - 5 . 5 5 5 - 4 . 5 , a n d we a d o p t e d Ale = - 5 f o r f u r t h e r i n v e s t i g a t i n g o u r ~ ~ ~ model u n d e r c e n t r a l t u n i n g c o n d i t i o n s , f o r w h i c h t h e r a t i o o f u n s t a b l e t o cw l a s e r t h r e s h o l d pump i n t e n s i t y t u r n e d o u t t o b e B1,,2/8,,2 Z 4 a b o u t t h r e e times l o w e r t h a n t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e /5/. T h i s d i s c r e p a n c y b e t w e e n t h e p r e d i c t e d a n d m e a s u r e d l a s e r t h r e s h o l d s r a t i o i s n o t t o o s u r p r i s i n g i n v i e w o f t h e s i m p l i f i c a t i o n s o f o u r m o d e l . I n p a r t i c u l a r , we h a v e a s s u m e d a s p a - t i a l l y u n i f o r c pump beam a n d t h e r e f o r e i g n o r e d t h e s t r o n g pump a b s o r t i o n a l o n g t h e 2 m. r i n g r e s o n a t o r . I n s t e a d o f d e a l i n g e x a c t l y w i t h t h i s c o m p l i c a t e d p r o b l e m , we s i m u l a t e t h e pump a b s o r - t i o n by u s i n g a new s p a c e a v e r a g e d g a i n - p a r a m e t e r , G,,,, ,with i s p r o g r e s i v e l y l o w e r e d f r o m t h e p r e v i o u s G v a l u e u n t i l t h e t h e o r e t i c a l r a t i o Bt,,'/U,,2 r 1 4 a g r e e s w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r a t i o .
i n t h i s way we g e t G,., = 0 . 5 2 G a n d a d o p t t h i s new v a l u e i n a l l t h e s u b s e q u e n t d i s c u s s i o n .
F i g . 1
-
l a ) P r e d i c t e d d y n a m i c b e h a v i o u r s o f t h e l a s e r i n t e n s i t y a s t h e pump s t r e n g t h 8 i s i n c r e a s e d , f o r t h e c e n t r a l 1 y t u n e d o p t i c a l l y pumped 1 a s e r . S: s t a b l e e m i s s i o n . C: c h a o t i c e m i s s i o n . Poa p e r i o d i c p u l s i n g o f p e r i o d nP. I b ) P r o j e c t i o n i n t h e I u , Im P d 0 ) p l a n e o f t h e u n d e r l y i n g a t t r a c t o r i n t h e c h a o t i c r a n g e (B = 0 . 4 7 8 ' r o l l . ( c ) c o r r e s p o o n d i n g l ~ n g - t e r m time e v o l u t i o n o f t h e g e n e r a t e d f i e l d a m p l i t u d e a ( t ) .F i g . 1-a r e p r e s e n t s s c h e m a t i c a l l y t h e b i f u r c a t i o n d i a g r a m o f o u r c e n t r a l l y t u n e d l a s e r ( A l e = -5
7 0 ~ ; En., = 0 . 5 2 6 ) v e r s u s pump f i e l d a m p l i t u d e B, a s i t a p p e a r s when t h e g e n e r a t e d i n t e n s i t y a z ( t ) i s s t u d i e d . A s I3 i s i n c r e a s e d b e y o n d 8 % " . = 0.477 70, a n a b r u p t t r a n s i t i o n a p p e a r s t o a c h a o t i c d o m a i n t h a t e x t e n d s t o B = 0 . 4 9 701. A f t e r t h i s p o i n t t h e l a s e r f o l l o w s a r o u t e p e r i o d - 8, p e r i o d - 4 , p e r i o d - 2 o f r e g u l a r p u l s i n g o u t o f c h a o s . A l t h o u g h t h i s i n v e r s e s e q u e n c e of p e r i o d d o u b l i n g w a s n o t o b s e r v e d i n t h e e x p e r i m e n t , p r o b a b l y b e c a u s e o f i n s u f i c i e n t pump p o w e r , i t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t i t a l s o a p p e a r s i n t h e L o r e n z m o d e l f o r s t r o n g e n o u g h pump p a r a m e t e r s 1 4 1 . D e s p i t e of o u r f i n e s c a n n i n g o f t h e c h a o t i c r a n g e , we h a v e n o t y e t b e e n a b l e t o f i n d i n t h i s r a n g e a n y window of r e g u l a r p u l s i n g , i n c o n t r a s t w i t h t h e e x p e r i m e n t / 5 / w h e r e w i n d o w s o f r e g u l a r p e r i o d - 3 p u l s i n g a n d p e r i o d - 5 p u l s i n g were o b s e r v e d . T h e ( a , Im P l o ) t w o - d i m e n s i o n a l p i c t u r e o f t h e a t t r a c t o r a n d t h e c o r r e s p o n d i n g time e v o l u t i o n o f t h e g e n e r a t e d f i e l d a ( t ) a r e g i v e n i n F i g s . 1-b a n d 1 - c , r e s p e c t i v e l y , f o r t h e c h a o t i c r a n g e .
C2-412 JOURNAL
DE
PHYSIQUEA , d e t a i l e d c o m p a r i s o n o e t w e e n p r e d i c t e d a n d o b s e r v e d l a s e r s p i k i n g s i g n a l s ( c o m p a r e F i g . 1-c w i t h F i g . 4-a o f R e f . 5; n o t e t h a t t h e r e a s i g n a l p r o p o r t i o n a l t o a 2 ( t i i s r e p o r t e d ) , r e v e a l s t h a t t h e d e p t h o f t h e r a n d o m a m p l i t u d e m o d u l a t i o n of t h e c h a o t i c l a s e r p u l s e s p r e d i c t e d by o u r model i s l o w e r t h a n t h a t o b s e r v e d i n t h e e x p e r i m e n t . T h i s d i f f e r e n c e c o u l d b e t r a c e d t o t h e f a c t t h a t , w h i l e f o r t h e L o r e n z s y s t e m t h e t r a j e c t o r y a p p e a r s t o s w i t c h i t s o u t w a r d s s p i r a l l i n g f r o m o n e o f t h e u n s t a b l e f i x e d p o i n t s t o t h e o t h e r i n a r a n d o m f a s h i o n , t h e m o t i o n o f o u r s y s t e m t a k e s p l a c e a r o u n d o n l y o n e a
#
0 c e n t e r ( s e e F i g . 1 - b ) . We now d i s c u s s t h e way i n w h i c h a much b e t t e r a g r e e m e n t o n t h i s p o i n t c a n b e a c h i e v e d b e t w e e n p r e d i c t e d a n d o b s e r v e d c h a o t i c l a s e r p u l - ses. I n s p e c t i o n o f E q s . ( 1 ) show t h a t f o r a n y g i v e n s o l u t i o n o f t h e s e E q s . t h e r e e x i s t s a n o t h e r ( " s y m m e t r i c " ) s o l u t i o n w h i c h o n l y d i f f e r s f r o m t h e f o r m e r o n e i n t h e s i g n s o f t h e v a r i a b l e s a ,P o l a n d Pa,. T h e s e t w o s o l u t i o n s c o r r e s p o n d t o t h e s a m e i n t e n s i t y a". T h u s , t h e a t t r a c t o r
" s y m m e t r i c " o f t h e o n e i n F i g . 1-b a l s o e x i s t s , b u t o b v i o u s l y t h e s e t w o a t t r a c t o r s c a n n o t b e c o n n e c t e d d e t e r m i n i s t i c a l l y . However a s t h e y h a v e r e g i o n s o f la1 % 0 ( s e e a g a i n F i g . 1 - b ) , we t e s t e d t h a t t h e y c a n b e c o n n e c t e d b y a d d i n g v e r y s m a l l l e v e l s o f n u m e r i c a l n o i s e , m o d e l i n g f o r i n s t a n c e s p o n t a n e o u s e m i s s i o n . I n s u m m a r y , we b e l i e v e t h a t n o i s e p l a y s a d e c i s i v e r o l e i n p r e s - c r i b i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e c h a o t i c l a s e r p u l s e s o f W e i s s e t a l . /5/.
F i g . 2 s h o w s s c h e m a t : i c a l l y t h e b i f u r c a t i o n d i a g r a m o b t a i n e d v e r s u s r e s o n a t o r t u n i n g a t pump l e v e l s n e a r t o t h e i n s t a b i l i t y t h r e s h o l d ( 8 = 0 . 4 7 8 ~ 0 , ) . A 5 i n t h e e x p e r i m e n t / 5 / , a p e r i o d - d o u - b l i n g s e q u e n c e a p p e a r ! ; a s l a s e r r e s o n a t o r i s t u n e d t o w a r d s g a i n t i n e c e n t r e , f o l l o w e d by a n i n v e r s e d o ~ ~ b l i n g s e q u ~ ? n c e i n w h i c h t h e s u b h a r m o n i c s b e c o m e p r o g r e s s i v e l y n o i s y .
P??I.SN. I.S.N.
...PI /\\I \I/
C
pa p' ....-7 -6 -5 I
-
4A;/%
-
a)
F i g . 2 - l a ) P r e d i c t e d d y n a m i c b e h a v i o u r s of t h e l a s e r i n t e n s i t y v e r s u s c a v i t y d e t u n i n g A l ' f o r a pump l e v e l n e a r t o t h e i n s t a b i l i t y t h r e s h o l d (13 = 0 . 4 7 8 7 0 1 ) . The s y m b o l s S , C, a n d Pn h a v e t h e s a m e m e a n i n g a s i n t h e c a p t i o n t o F i g . 1 . ISN : c n v e r s e d o u b l i n g s e q u e n c e i n w h i c h t h e s u b h a r m o n i c s bt!come p r o g r e s s i v e l y n o i s y . ( b ) T w o - d i m e n s i o n a l p r o j e c t i o n i n t h e ( a , Im pa,) p l a n e o f t h e u n d e r l y i n g a t t r a c t o r i n t h e P4 p u l s i n g r e g i m e ( Ale = - 6 . 2 5 T , O ) t c )
c o r r e s p o n d i n g t i m e - - e v o l u t i o n of a ( t ) a f t e r t r a n s i e n t s h a v e b e e n a l l o w e d t o d i e o u t .
We c o n c l u d e t h a t c o h e r e n t p u m p i n g , D o p p l e r b r o a d e n i n g , a n d n o i s e s e e m i n g l y c o o p e r a t e t o make t h e I4NHs l a s e r b e h a v e l i k e a L o r e n z - H a k e n l a s e r .
ACKNOWLEDGEMENTS.
T h i s work w a s s u p p o r t e d by t h e DGICYT ( S p a i n ) , P r o j e c t No. PBBb-0650-C03-00.
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