Multiplicité de toute solution de la hiérarchie statistique

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Submitted on 1 Jan 1974

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Multiplicité de toute solution de la hiérarchie statistique

J. Yvon

To cite this version:

J. Yvon. Multiplicité de toute solution de la hiérarchie statistique. Journal de Physique, 1974, 35

(10), pp.687-692. �10.1051/jphys:019740035010068700�. �jpa-00208196�

LE JOURNAL DE PHYSIQUE

MULTIPLICITÉ DE TOUTE SOLUTION DE LA HIÉRARCHIE STATISTIQUE

J. YVON

Commissariat à

l’Energie Atomique, 29,

^{rue de la}

Fédération,

⁷⁵⁷⁵²

Paris,

^France

.

(Reçu

^{le 1}

erg février ^1974,

révisé le 2 avril

1974 )

Résumé. ²⁰¹⁴ A une solution

particulière

de la suite

d’équations

^{de la}

mécanique statistique

^dite

hiérarchie de BBGKY il est aisé de faire

correspondre

par des

intégrations simples,

moyennant ^un traitement

précis

des conditions aux limites, ^une collection

théoriquement

indéfinie de solutions linéairement

indépendantes.

^{Dans le cas où le}

système

^{est en}

équilibre grand canonique,

^{la consi-}

dération du

potentiel chimique

permet ^{de relier}

simplement

^ces diverses solutions. Il _y a là une structure assez

rigide

^et peu

compatible

^{avec les}

descriptions

habituelles de l’irréversibilité. Il est

suggéré

de chercher remède à cette contrainte, ^{dans le cas} où les interactions

schématiques

^usuelle-

ment mises en oeuvre relèvent en fait de

l’électromagnétisme,

^en

procédant

^{à un} traitement

dynamique plus approfondi.

Abstract. ²⁰¹⁴ A

correspondence

exists between a

particular

solution of the set of

equations

^of

statistical mechanics known as the BBGKY

hierarchy

^{and a} collection of

theoretically

^undefined

linearly independent

solutions. This result is

easily

^obtained

by carrying

^out

simple integrals

^and

by

^{means of a}

précise

^{treatment of}

boundary

conditions. In the case where the system ^{is in}

grand

canonical

equilibrium,

the introduction of the chemical

potential

^{allows one to relate}

simply

^thèse

various solutions with one another. Thus one finds there a rather

rigid

^{structure of little}

compati- bility

with usual

descriptions

^of

irreversibility.

^{It is}

suggested

^{that one looks for a}

remedy

^{to this}

constraint

by working

^{out a more}

thorough dynamical

^{treatment in the case where the}

ordinarily

used schematic interactions

belong

^{in fact to}

electromagnetism.

Classification Physics ^Abstracts

1.620

1. Introduction. ^- L’étude

qui

^suit

pourrait

^être

présentée

soit dans le cadre de la théorie

quantique,

soit dans le cadre de la théorie

classique,

soit d’une manière

plus dogmatique

^{dans un cadre}

qui

^convien-

drait à la fois à l’une et à l’autre. Cette dernière

procédure manquerait

^{de nuances} parce que les deux

points

^{de vue se}

complètent

mutuellement : la théorie

classique

^fait

apparaître

^des

grandeurs plus familières,

la théorie

quantique

^est

plus

^fondamen-

tale. J’ai donc choisi

d’exposer

^en

priorité

^{et essen-}

tiellement le traitement

classique, quitte

^{à revenir}

ensuite brièvement sur

l’aspect quantique

^{de la}

question.

L’affaire concerne le

système d’équations

^récur-

rentes de la

mécanique statistique,

^{autrement dit la}

hiérarchie de BBGKY. Ces

équations

^décrivent

l’évolution simultanée de l’ensemble des densités en

phase

réduites. Je me propose de ^montrer que si on en connaît ^une

solution,

^{il est}

possible

^d’en

déduire,

par des

intégrations

relativement

simples

dans l’es-

pace des

phases,

sans aucune

opération

^{sur le}

temps,

une suite récurrente de

solutions,

ordonnées elles

aussi,

^{dans un ordre}

hiérarchique.

^{Cette étude}

précède logiquement

^toute considération sur

l’équi-

libre

thermodynamique

^{et sur} l’irréversibilité.

Suivant

l’usage qui

^convient

lorsque

l’on désire donner le pas ^aux

problèmes statistiques

^{sur les}

problèmes

^{de la}

mécanique,

^les

molécules,

les par- ticules du

système physique

^{étudié sont} schématisées

au maximum. Ce sont des

points

matériels indes-

tructibles,

^leur

énergie cinétique

^{est réduite à}

l’énergie

de

translation, l’énergie interparticulaire

^s’exerce

entre les

particules

^{deux à}

deux,

^{elle ne}

dépend

que de la distance. Il est utile de considérer ^un

champ appliqué.

^{On s’en tient au}

type

^le

plus simple : l’énergie potentielle correspondante

^ne

dépend

^{que de la}

position

^et éventuellement du

temps,

^ce

qui

^ne

complique

^{en rien le}

problème.

^Il

n’y

^{a aucune autre}

intervention extérieure. Les

particules peuvent

appar- tenir à

plusieurs espèces

distinctes. Les

particules

^de

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019740035010068700

688

même

espèce

^sont indiscernables. Nous aborderons d’abord le cas où toutes les

particules

^{sont de même}

nature. La théorie n’est pas relativiste.

Ce

qui précède

^est extrêmement conventionnel. Ce

qui

^{l’est moins est} de caractère

statistique.

^{Parmi les}

paramètres indéterminés,

à côté de la

position

^{et de}

la vitesse de

chaque particule,

il faut considérer le nombre même N de ces

particules.

^{Ce nombre est}

aléatoire :

HN désigne

^la

probabilité

pour que le

système

contienne N

particules.

^{Comme les}

parti-

cules sont indestructibles et parce que le calcul est conduit de manière à n’en laisser

échapper

^aucune,

les

11 N

^sont

indépendants

^du

temps.

^{Il en est de} même des moyennes

qui peuvent

^s’en

déduire,

^dont

l’exemple

^le

plus simple

^est le nombre moyen de

particules présentes :

Il faut noter que l’intervention de ^cette nouvelle

problématique

^a pour ef’et de diluer le rôle éventuel des

cycles

^{de Poincaré. >}

2. Notations. ^- Je

complète

^pour les besoins de la cause les notations _que

j’ai déjà

utilisées dans

l’ouvrage [1]

^dont

je rappelle

d’abord l’essentiel.

Les densités en

phase

^réduites

s’explicitent

^comme

suit :

les ^x

représentant

^les

positions

aléatoires des

parti-

cules et les _p leurs

quantités

^de mouvement. Ces

grandeurs

^{ne sont}

jamais négatives.

Les fonctions ,u12, Jl123, ^{..., sont}

symétriques :

Ces densités s’annulent

quand

^{un x}

quelconque

devient suffisamment

grand

soit parce

qu’une paroi,

matérialisée _par ^un

champ

^{de forces}

convenable, s’oppose

^{à la}

dispersion

^des

particules, soit,

^s’il

n’y

a pas de

paroi,

parce que l’ensemble des

particules

est initialement rassemblé dans une certaine

région

de

l’espace

^et

qu’en

^un

temps

^{fini elles restent à} distance finie. Corrélativement la

probabilité

^d’avoir

de très

grandes quantités

^de mouvements est

quasi nulle ;

^{on admet un}

comportement asymptotique analogue

^à

^celui’de

^{la loi de Maxwell.}

Considérons momentanément un

système

^bien

occupé,

c’est-à-dire

qui

^{contient un nombre N exac-}

tement connu de

particules., Son

^état

statistique

^est

décrit _par

l’équation

de Liouville

où D est la densité en

phase

et où L est

l’opérateur

^de

Liouville,

que ^nous déve-

loppons

^{comme suit :}

Les

opérateurs

^{à un} indice rendent

compte

^{des effets}

cinétiques

^et du rôle du

champ appliqué,

^les

opéra-

teurs à deux indices rendent

compte

des interactions binaires.

3. Les

équations

de récurrence. ^- On pose

dQl

⁼

dx, dp, dQ12

⁼

dx, dpl dx, dP2 -

Les

premières équations

de récurrence s’écrivent alors comme suit :

Ces

équations

^sont les mêmes

qu’il s’agisse

^d’un

système

^bien

occupé

^{ou d’un}

système

^mal

occupé,

c’est-à-dire dont le nombre de

particules qui

^le

composent

^{est aléatoire.}

Toutefois,

^{dans le}

premier

cas, la suite de ces

équa-

tions est finies. Celle d’ordre le

plus

^{élevé se confond}

avec l’équation

^de Liouville. Dans ce cas, les N-1

1 pre-

mières

équations

^se déduisent les unes des autres par

intégration partielle,

^en commençant par

l’équation

de Liouville elle-même. Les

équations

^réduites

peuvent

avoir un intérêt

pratique :

^elles

n’apportent

^{rien de}

plus

que

l’équation

de Liouville.

Si le

système

^{est mal}

occupé,

^on

peut

^{faire cor-}

respondre

^une

équation

^{de Liouville à}

chaque

occupa- tion

particulière.

^Ces

équations

^sont

indépendantes

mais elles

représentent

incommodément la situation

statistique.

^{Ce rôle revient} maintenant aux

équations

de récurrence. La remarque essentielle est que désor- mais il n’est

plus possible

^{de les déduire les unes}

des autres par

intégrations progressives. L’intégra-

tion va donc faire

apparaître

^des relations nouvelles.

Avant d’établir ces nouvelles

équations,

^réduisons

nos

équations

^de récurrence au maximum. Multi-

plions

^{nombre à nombre la}

première

par

dD1,

^la

seconde par

dD12’

^{etc., et}

intégrons

^{dans toute l’ex-}

tension en

phase disponible.

^Les conditions aux

limites entraînent les

propriétés

suivantes :

et donc

ce

qui

^{est aussi}

Ces résultats sont

évidents, puisque

^les

il N

^{sont des}

constantes. Le lecteur notera l’existence de

no, qui

est la

probabilité

^{du vide.}

Multiplions

maintenant

l’équation (2)

^seulement

par

dQ2 et intégrons

^sur l’extension en

phase

^corres-

pondante.

Nos conditions aux limites entraînent ^un certain nombre d’annulations :

Il vient donc :

Dans la dernière

intégrale

^nous pouvons

permuter

les indices muets 2 et 3. Il vient :

Cette

équation

ressemble à

l’équation (1)

^où

J11 ^a été

remplacé par

et

Jl12 a été

remplacé

par Il 12

Traitons de même

l’équation (3)

^{en la}

multipliant

^au

préalable

par

dQ3.

^{Il vient :}

Cette

équation

ressemble à

l’équation (2).

^Mais

nous obtiendrons un résultat

plus

intéressant ^en

ajoutant

membre à membre les deux

équations

^en

question.

Il vient :

Cette

procédure

^est

inépuisable

^{et nous} conduit à la conclusion suivante. Si la suite

(baptisée { y 1)

est une solution des

équations

^de

récurrence,

^{il en}

va de même de la suite

(baptisée { p’ })

qui

^{en est une autre solution.}

Le raisonnement

peut s’appliquer

^à

répétition.

On déduira de même une troisième solution

{ y" } :

Les y, y’, y"

^{sont des}

quantités

essentiellement

positives.

Naturellement,

^{il est}

possible

^de combiner linéai- rement ces suites. Une telle

opération n’ajoute

^rien

mathématiquement,

^{mais elle}

peut dégager

des expres- sions

plus

intéressantes du

point

^{de vue}

physique.

D’après l’équation (4)

est une constante. Il en résulte

qu’il

^est

possible

^de

substituer à la suite

{Jl’l },

par

exemple,

la nouvelle suite

{(1},

^{dont les termes}

peuvent

^{être occasion-} nellement

négatifs :

690

La conclusion du

présent paragraphe

^est que toute solution des

équations

de récurrence est consti- tuée _par une

séquence

Le

premier

^terme

formé,

par la suite des densités

en

phase,

^{est la solution}

principale,

^les autres termes constituent les solutions auxiliaires.

4. Le

problème

^des corrélations. ^- Pour le

physi- cien,

^un

sujet

^{d’intérêt est} l’existence de

corrélations, plus

^{ou moins}

accentuées,

^entre les diverses

particules.

Dans le contexte de la

présente étude,

^{il ne}

peut s’agir

que de corrélations instantanées.

Jusqu’à présent,

il n’a pas été

spécifié

si îé nombre moyen de

particules présentes

^était

grand

^ou

petit.

Nous allons maintenant nous

préoccuper

de sys- tèmes de

grandes

dimensions et contenant un

grand

nombre de

particules.

Une situation

particulièrement simple, irréaliste,

mais

qui peut

constituer une

première description globale

^des

phénomènes observés,

consiste à écrire que les corrélations entre les

particules

^{sont inexis-}

tantes. Cette situation est décrite ^- par définition ^- par les relations

suivantes

^{entre les}

densités

en

phase :

Il vient

alors

Ce résultat prouve que la suite

{ Il },

^{même renor-}

malisée,

n’est pas

assimilable,

^du

point

^{de vue du}

physicien,

^{à une suite de densités en}

phase puisqu’elle correspond

ici à des corrélations à toute distance.

Il ne conviendrait pas d’assimiler les

p’

^{à des densités}

en

phase

^{réduites encore}

qu’elles dépendent

^des

mêmes

paramètres.

La suite

1 u }

^{conduit à un résultat encore}

plus

décisif. L’intérêt de cette suite est que, si les corréla- tions entre des

particules éloignées

^sont

négligeables,

les domaines

d’intégration qui

^la concernent sont

très

petits

par

rapport

^{au volume du}

système.

Les remarques

précédentes

^ne concernent

qu’un

instant donné. Celles

qui

viennent maintenant _pro- fitent du fait _que les différentes suites obéissent aux

mêmes lois d’évolution.

Tout

d’abord,

remarquons que le formalisme

s’applique

^{au cas où le}

système

^{est en}

régime

^sta-

tionnaire,

^{et en}

particulier

^{en état}

d’équilibre

^thermo-

dynamique.

^{Il convient} essentiellement de considérer

l’équilibre grand canonique.

^{Nous ne nous} occupons pas ici de savoir ^comment il a pu être réalisé : ^une fois le résultat

acquis,

^{il nous est} loisible de traiter le

système

^{comme un}

système

isolé. La hiérarchie subit alors de

grandes simplifications,

que l’on

peut dégager

en

explicitant

^dans les densités en

phase

les facteurs

de

Maxwell, normalisés, qui dépendent

de la quan- tité de mouvement. Ainsi

apparaissent

^les

équations

de récurrence de

l’équilibre, qui

n’intéressent

plus

que les densités

spatiales.

^{Il en} résulte aussitôt

qu’à

la

séquence 1 y }, 1 p’ }

^ou

1 a }, ^...

^va

correspondre

une

séquence analogue

pour les densités

spatiales.

Ces

séquences peuvent

^{être obtenues} par ^{un autre}

procédé.

^Nous

désignons

par kTa le

potentiel chimique

et nous prenons ^comme variables

indépendantes

^la

température

^{T et le}

paramètre

^sans dimensions a.

Evitons,

pour

abréger,

^de

séparer

les facteurs de Maxwell. Dérivons la suite

1 y }

^par

rapport

^{à a.}

La suite

1 a } apparaît :

Venons-en à une situation évolutive. Nous choi- sissons comme état initial une

répartition grand canonique

^en

profitant

de l’arbitraire

qui règne

^sur

les conditions initiales et sur le

champ appliqué.

Dans un

premier exemple,

^nous supposerons que le

champ appliqué qui

^a

présidé

^{à la} définition de

l’équilibre

^- nécessairement stationnaire ^- est dif- . férent de celui

qui préside

^à

l’évolution,

^{ce dernier}

pouvant

^{très bien ne} pas

dépendre

^du temps. ^Il convient naturellement que ^ces deux

champs

^se

confondent là où ils définissent les conditions aux

limites. Le

système

^{est instable sous l’action des}

nouvelles

forces,

^{néanmoins les}

équations (12)

^restent

valables à tout instant. Le

potentiel chimique

^initial

conserve donc une certaine

pérennité.

On pourra

imaginer

^une

opération plus physique,

au cours de

laquelle

^le

champ appliqué initial,

^à

partir

d’un certain

instant,

^{est modifié} très progres-

sivement,

^{au besoin cette fois-ci avec une modifica-}

tion des limites du volume offert au

système.

^Le

résultat

précédent

^{sera encore valable.}

L’équation

^{de Liouville est} invariante _par

rapport

au renversement du

temps.

^{Il en est} de même des

équations

^de récurrence. La

dynamique sous-jacente

est-elle

apte

à décrire les

phénomènes

irréversibles ? C’est là une

grande question.

Il semble de toute manière

indispensable

pour

pouvoir

y

répondre

favorablement d’assortir la

dynamique

^{de considé-}

rations

statistiques.

^{Dans le} cadre modeste du modèle

mécanique qui

^{a été}

exploré ici, plusieurs propriétés

conservatives de caractère

statistique

^{ont été mises}

en

évidence, qui peuvent

^{avoir certaines}

implications

dans le

problème

^de l’irréversibilité.

Inversement,

^en

effet,

^{si on}

envisage

^{une autre}

expérience

où le même

système,

initialement désor-

donné,

^est abandonné à

lui-même,

^{il est clair}

qu’il

faudrait mettre en oeuvre des conditions initiales extraordinaires ^- en admettant _que ce soit

possible

en

principe

^- pour obtenir _que le formalisme conduise finalement à un état

d’équilibre thermique.

^{Le moins}

qu’on puïsse

^{dire est que les} solutions hiérarchisées

apportent

^{de nouveaux}

points d’interrogation

^au

problème

^de l’irréversibilité.

Il convient de noter que ^ces dernières _remarques concernent des

systèmes largement peuplés :

^les

équations

de la hiérarchie ne font pas

appel

^{à la loi}

des

grands

nombres. Mais celle-ci

transparaît

^dès

qu’on

considère le

problème

^des corrélations et celui des solutions auxiliaires.

5.

Mélanges.

^{- Nous} considérons maintenant un

mélange

^{de deux}

espèces, baptisées respectivement

^a

et b.

La suite

{ J1 }

des densités en

phase

réduite s’enri- chit. Nous les notons :

avec des

règles

^de

permutation qui

^sont suffisamment commentées par les

exemples

^{suivants :}

Les notations sont donc surabondantes mais com-

modes. La suite

1 y’ }

s’obtient par

intégrations

^et

par sommations :

La suite

{ (1}

s’en déduit

Dans le cas de

l’équilibre grand canonique,

^{il faut}

considérer deux

potentiels chimiques,

^{donc deux}

paramètres, respectivement

aa ^et ab. Il vient :

Ces relations sont moins

contraignantes

^vis-à-vis

de l’évolution _que dans le cas du corps pur parce que les dérivées _{sur aa} et sur oCb n’interviennent pas

séparément.

La théorie

peut s’appliquer

^{aux milieux}

ionisés,

avec toutefois la réserve sévère

qu’on

^ne prenne ^en

compte

que des interactions instantanées et cou-

lombiennes aux

grandes

^distances.

6. Point de vue

quantique.

^{- Nous examinons les}

équations statistiques

^{dans la}

représentation

^ordi-

naire,

écartant des

représentations plus sophistiquées.

Les coordonnées d’une

particule

^{sont en}

position

^x,

y, ^{z et} éventuellement un certain

nombre, fini,

^de

paramètres ^discrets,

^{comme par}

exemple

^ses compo- santes de

spins.

Les densités ^en

phase

^{- réduites ou non - sont}

remplacées

par des matrices densité

où

chaque particule figure

^{deux fois avec deux}

jeux

de coordonnées distincts. Ces matrices sont hermi- tiennes vis-à-vis de

l’échange

^{des deux}

configurations.

Nous supposons le

système

^{isolé - enfermé} pour fixer les idées dans une boîte abstraite. La matrice densité s’annule

quand

l’une des

positions

xi,

x’,,

x,,

x2

^{atteint les}

parois.

^On

pourrait imposer

^d’autres

conditions,

^{mais il nous suffit} ici de choisir la

plus simple.

Pour établir les résultats

généraux,

^il y ^a intérêt à

changer

d’écriture et à traiter la matrice densité

comme la

représentation

matricielle d’un

opérateur,

dit

opérateur densité, qui

^{se note dans le cas de}

l’exemple (16)

Le

champ appliqué,

les interactions binaires

impli- quent

^non seulement les coordonnées

d’espace,

^mais

également

^les

paramètres

discrets. Il

n’y

^{a ni}

création,

ni annihilation de

particules.

L’équation

^{de Liouville est}

remplacée

par

l’équa-

tion de von Neumann.

Le nombre de

particules présentes

^est aléatoire : à cet

égard,

^{la situation est} exactement la même

qu’en

théorie

classique.

^{Mais une soudure se fait}

^ici

^avec

une

conception qu’ignore

la théorie

classique :

^le formalisme est

équivalent

^{à celui de} la seconde _quan- tification ^- dans la limite où celui-ci est soumis à des restrictions

qui

^assurent l’absence de créations ou

d’annihilations.

Le fait _que les

particules

^soient des fermions ^ou des bosons n’intervient aucunement dans les déduc- tions.

Dans les calculs et les

résultats,

^les

intégrations

sont

remplacées

par des calculs de traces, ^{les inté-}

grations partielles

par des ^traces

partielles.

Finalement,

^la

multiplicité

des solutions

classiques,

M }, { J.l’ 1,

^...,

{ a },

^se

généralise

^sans

difficulté,

^le

692

potentiel chimique jouant

éventuellement le même rôle

astreignant.

Ajoutons qu’il

^est

possible

^{de traiter le cas des}

mélanges

^de

particules

^de différentes sortes en

complé-

tant la liste des

paramètres

discrets par l’index qua- lifiant leur nature.

7.

Suggestions.

^-

Assurément,

^les

systèmes

que

j’ai

^commentés

correspondent

^{à des}

situations

^forte-

ment

idéalisées.

On

peut

^contester l’existence de

systèmes parfaitement

isolés. Toutefois le choix de leur état interne

initial, envisagé

^pour

correspondre

^à

telle situation

macroscopique susceptible d’impliquer

le

principe

^de

Carnot,

^semble

comporter

^suffisam-

ment de

générosité.

Mais les contraintes

imposées

^à

l’évolution _par la

multiplicité

^des solutions de la hiérarchie s’accordent mal avec l’existence des

phéno-

mènes irréversibles.

C’est

peut-être

du côté des

hypothèses dynamiques qu’il

faut chercher ^une issue à ces difficultés. Les

particules

- molécules ou

particules plus

^fonda-

mentales ^- ne sont

jamais,

^{et de}

loin,

^aussi

simplistes

que les schémas utilisés ci-dessus. En

particulier,

^un

point

faible de nos

hypothèses

réside dans la des-

cription

des interactions. Pour s’en tenir aux

systèmes usuels,

^aux

systèmes chimiques,

^notons que toutes les

interactions,

^{si l’on remonte aux}

principes,

^sont

de caractère

électromagnétique.

^Un traitement appro- fondi de ^ces

systèmes

^ne

pBut

^{se contenter}

d’une description statique

^{des forces}

interparticulaires.

^Les

problèmes

^du

rayonnement,

^sa

description quantique, qui

passe par les

photons,

doivent être

pris

^{en consi-}

dération. Ainsi s’introduisent des

particules

^{dont le}

nombre n’est pas conservatif ^et dont le suivi

implique

des

algorithmes plus complexes

que les densités réduites. Il ne

s’agit

pas de

prétendre

que ^ces pro- blèmes n’ont

jamais

été abordés ^- ils l’ont été en

particulier

à propos des milieux

portés

^à

température

élevée ^- mais une étude

plus systématique paraît

désirable.

Bibliographie

[1] YVON, J., ^Les corrélations et l’entropie (Paris, Dunod) ^1966.

[2] ^{Certains auteurs sont} acquis ^{à l’idée} qu’il convient de traiter le nombre des particules ^{comme une} quantité ^aléatoire.

Cf. GINIBRE, J., ^{La théorie} cinétique ^sans peine (1966,

non publié) ; FUJITA, S., ^Exact closed evolution equations for many distribution functions describing ^an imperfect gas

(1974, ^à paraître). ^{Je dois avouer} que d’autres la trouvent

compliquée. ^Cf. BALESCU, R., Physica ⁵⁶ (1971) ^3.