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Donner le développement limit&eacute

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Academic year: 2021

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(1)www.elmerouani.jimdo.com. Université Abdelmalek Essaâdi Faculté Polydisciplinaire de Tétouan Département de Statistique et Informatique. Année universitaire : 2009-2010 Filière : Sc. éco. & Gestion 2ème Semestre. T.D. d’Analyse Mathématique II Série d’exercices sur les développements limités. ®E Exercice 1 :. lM. Donner le développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 0 de f ( x ) =. 1 x e − 1 − x et x. (. ). calculer lim f ( x ) . x→ 0. Exercice 3 : Soit f. 4.. FP. 3.. x. si x ∈ IR *  f ( x) g ( x) =  . α si x = 0 (α ∈ IR) Déterminer α de façon que g soit continue de IR dans IR. Écrire la formule de Taylor-Young à l’ordre n pour une h. Peut-on appliquer cette formule à h(x)=ex ? g ( x) − g (0) Calculer la limite pour x →0 de . x La fonction g est-elle dérivable pour x=0 ?. 2. Soit g l’application définie par :. d.. an. c.. tou. x . e −1 1. Déterminer l’ensemble de continuité de f.. On considère l’application f : x a. Te. Exercice 4 :. a. b.. 1. 1+ ex  x  . l’application définie sur IR par : f ( x) =   2  Préciser le domaine de définition Df de f. Donner le développement limité à l’ordre développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 0 de ex. En déduire le développement limité à l’ordre 1 au voisinage de 0 de Log(f (x)) puis celui de f (x). Calculer la limite de f (x) quand x tend vers 0.. ni. 1. 2.. ua. ero. Exercice 2 : x Soit f ( x ) = (1 + x ) . Donner le développement limité à l’ordre 2 de f (x) au voisinage de 0.. Exercice 5 : 1. Rappeler développement limité à l’ordre 2 au voisinage de 0 de f (x)=ex et g(x)=Log(1+x). 2. Soit h(x)=Log(1+ex). 1.

(2) www.elmerouani.jimdo.com. a. Calculer la limite de h(x) quand x tend vers 0. 1 b. Poser u = e x − 1 et déduire de 1°) le développement limité à l’ordre 2 de h(x) au 2 voisinage de 0.. (. ). Exercice 6 : 1. ®E. Soit la fonction f définie par f ( x) = x 1− x . 1. Donner le domaine de définition de f et calculer f ’(x). 2. Donner développement limité de f à l’ordre 2 au voisinage de 1. 3. En déduire lim f ( x) x→1. ni. ua. ero. lM FP an. tou. Te 2.

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