UNIVERSITE ABDELMALAK ESSAADI Faculté Polydisciplinaire de Tétouan
PROGRAMMATION DYNAMIQUE (Exemples d’application)
Enacdré par:
Pr. Mohamed El Merouani
Promotion : 2014 / 2016
réalisé par :
BEN ALILOU soumaya
BOUDINE Ahlam TERROUFI Zineb
MASTER SPECIALISE :
GESTION INFORMATIQUE DE L’ENTREPRISE
Introduction
Plan
Programmation dynamique déterministe Programmation dynamique Probabiliste Programmation dynamique Probabiliste Programmation linéaire
Programmation linéaire Conclusion
Conclusion
Introduction
Programmation dynamique
déterministe
Introduction
Dans cette section on s’intéresse au problème dit déterministe, où la
connaissance de l’état et de la décision à prendre suffit pour savoir l’état à l’étape suivante.
Un problème dynamique déterministe est caractérisé par la détermination de la fonction objective. Cette fonction peut être le minimum de la somme de la contribution induite par le passage d’un état à un autre, ou le maximum d’une telle somme, ou le minimum du produit de ces termes… etc.
Il faut aussi déterminer la nature de l’ensemble des états dans chacune des étapes. Ces états Sn peuvent être représentés par des variables
discrètes ou par des variables continues ou dans certains cas par un vecteur.
La structure de base d’un problème dynamique déterministe
Exemple
Une société industrielle recrute trois techniciens à fin de renforcer certain de ses quatre groupes de travail dont le but de maximiser le nombre totale de pièces fabriqués par l’ensemble de ses employer. La rentabilité de ces techniciens se mesure par le nombre de pièces additionnelle que va produire chaque group.
Le tableau suivant nous donne le nombre de pièces additionnelles construites par chaque groupe pour chacune des affectations possibles des nouveaux techniciens
Résolution :
• Etape : groupes
• xn : nombre technicien à affecter à l’étape n
• Etat : nombre de technicien non encor affectés
• Pi(xi) :nombre de pièces additionnelles lorsqu’on affecte xi technicien au groupe i
Problème : trouver x1*, x2*, x3*et x4* solution optimal
Fn (S) c’est le nombre total de pièces a fabriquer par l’ensemble des groupes n=1,2, 3et4: fn(S) = max fn(S, xn) n=1,2,3,4
avec fn(S, xn) = pn(xn) + fn+1(S, xn),
Etape 4 :
Etape 3 :
Etape 2 :
Etape 1 :
le rendement optimale est 120 (=f1*(3)) pièces
La programmation dynamique
probabiliste
Un projet du gouvernement est étudié par 3 groupes de chercheurs. La probabilité que chacun de ces groupes 1, 2 et 3, n’arrive pas à terminer le projet est respectivement: 0,4; 0,6 et 0,8.
Si on ajoute à ces groupes deux nouveaux chercheurs, les probabilités d’échec sont données par ce tableau
Exemple
Résolution :
• Etapes : groupes
• xn :représente le nombre de chercheurs affectés à l’étape n, n
= 1, 2, 3.
• Etat : le nombre de chercheurs qui peuvent être affectés à l’étape (ou groupe) n.
• Pi(xi) : la probabilité d’échec du groupe i si on lui ajoute xi chercheurs additionnels.
• Problème : trouver x1*, x2* et x3* solution optimal
Fn(S) c’est la probabilité minimale que les groupes n=1,2., 3 échouent dans leurs recherches : fn (S) = min fn (S, xn) n=1,2,3
avec fn(S, xn) = pn(xn) × fn+1(S, xn),
Le problème est de déterminer l’allocation optimale de ces deux chercheurs afin de minimiser la probabilité que les groupes de recherche échouent dans leur travail
Etape n=3 :
Etape n=2 :
Etape n=1:
Etape n=1:
La Solution optimale : x1* = 1 x2* = 0 x3* = 1
La probabilité d’échec des trois groupes de recherche est de 0,06.
Résolution d'un programme linéaire
Considérons le programme linéaire suivant
La structure de base du problème est
Résolution d'un programme linéaire
On considère toutes les valeurs possibles de X1(0,1,2) ; et on obtient par conséquence les états suivants :
S (9,11), S (6,7) S (3,3).
Etape 2
Résolution d'un programme linéaire
Etape 1
On a : f1((R1,R2), x1) == 3 x1 + f * ((R1- 3 x1 , R2- 4 x1 ))).
La solution optimale est (x1,x2)=(0,2) et la valeur de la fonction objectif est égale à 10.
