TD 2 - Avril 2012

Analyse III, partie 2 (3BM) : Exercices Année académique 2011-2012

TD 2 - Avril 2012

Exercice 1. Soient u, v∈ D⁰(Rⁿ)eta∈Rⁿ. On définit la fonctionf parf(x) =e<a,x> (x∈Rⁿ). Siu et vsont composables, montrer quef u etf v sont composables et quef(u∗v) =f u∗f v.

Exercice 2. On désigne parD⁰₊(R)l’ensemble des distributions deRà support inclus dans[0,+∞[.

1. Montrer que siu, v∈ D⁰₊(R), alorsu∗v∈ D⁰₊(R).

2. Déterminer le neutreepour∗dansD⁰₊(R).

3. Siu∈ D⁰₊(R)et s’il existe v∈ D⁰₊(R)tel queu∗v=e, montrer quev est unique. On le note cet unique élémentu⁻¹.

4. Si possible, calculer(Dδ₀)⁻¹.

Exercice 3. Pour toutm∈N0, on pose

Pm(x) = mⁿ π^n/2

1−|x|²

m ^m3

, x∈Rⁿ.

1. Etudier la convergence de la suite(uP_m)m∈N0 dansD⁰(Rⁿ).

2. En déduire que siu∈ D⁰(Rⁿ)est à support compact, alorsuest la limite dansD⁰(Rⁿ)d’une suite de polynômes.

Exercice 4. Montrer que la fonctionx∈R7→ |x|définit une distribution tempérée et en déterminer la transformée de Fourier¹.

Exercice 5. Soituune distribution tempérée dansRet soitα∈N0. 1. Montrer que la distributionD^αuest également tempérée.

2. Montrer que

F^±(D^αu) = (∓i)^αf_αF^±uetD^α(F^±u) = (±i)^αF^±(f_αu) oùf_α(x) =x^α(x∈R).

3. La distributionD²δ₀ est-elle tempérée dansR? Si oui, en calculer la transformée de Fourier.

Exercice 6. Pour toutϕ∈ D(R), on poseϕ(x) =˜ ϕ(−x)(x∈R). On dit queu∈ D⁰(R)est paire (resp.

impaire) siu( ˜ϕ) =u(ϕ)(resp.u( ˜ϕ) =−u(ϕ)) pour toutϕ∈ D(R). Montrer que siuest une distribution tempérée paire (resp. impaire), alors il est en de même pour sa transformée de Fourier.

Exercice 7.

1. DéterminerF⁻(D²u−4π²u)pour toutu∈ S⁰(R).

2. Résoudre l’équationD²u−4π²u= 0 dansS⁰(R).

Exercice 8.

1. Si une suite de fonctions deD(R)converge dansD(R), converge-t-elle dans S(R)? 2. Si une suite de fonctions deD(R)converge dansS(R), converge-t-elle dans D(R)?

1. Suggestion :F^±vp 1

x

=u±iπsign.