Analyse III, partie 2 (3BM) : Exercices Année académique 2013–2014

Analyse III, partie 2 (3BM) : Exercices Année académique 2013–2014

TD 2

Exercice 1. Soient u, v∈ D⁰(Rⁿ)eta∈Rⁿ. On définit la fonctionf parf(x) =e<a,x> (x∈Rⁿ). Siu et vsont composables, montrer quef u etf v sont composables et quef(u∗v) =f u∗f v.

Exercice 2. On désigne parD⁰₊(R)l’ensemble des distributions deRà support inclus dans[0,+∞[.

1. Montrer que siu, v∈ D⁰₊(R), alorsu∗v∈ D⁰₊(R).

2. Déterminer le neutreepour∗dansD⁰₊(R).

3. Siu∈ D⁰₊(R) et s’il existe v ∈ D⁰₊(R) tel que u∗v =e, montrer que v est unique. On note cet unique élémentu⁻¹.

4. Si possible, calculer(Dδ0)⁻¹.

Exercice 3. Soit

f(x) =

2xe^x six≤0 xe^x six >0.

Siudésigne la distribution associée àf et siP est l’opérateur de dérivationP(D) =D²−2D+ 1, calculer la distribution

P(u∗δ₁).

Exercice 4. Soituune distribution tempérée dansRet soitα∈N0. 1. Montrer que la distributionD^αuest également tempérée.

2. Montrer que

F^±(D^αu) = (∓i)^αfαF^±uetD^α(F^±u) = (±i)^αF^±(fαu)

oùfα(x) =x^α(x∈R).

3. La distributionD²δ0 est-elle tempérée dansR? Si oui, en calculer la transformée de Fourier.

Exercice 5. Si cela a un sens, déterminer la transformée de Fourier de la distribution associée à la fonctionx∈R7→ |x|¹.

Exercice 6. Si cela a un sens, déterminer la transformée de Fourier de la distribution associée à la fonctionx7→sin(x).

Exercice 7. Pour toutϕ∈ D(R), on poseϕ(x) =˜ ϕ(−x)(x∈R). On dit queu∈ D⁰(R)est paire (resp.

impaire) siu( ˜ϕ) =u(ϕ)(resp.u( ˜ϕ) =−u(ϕ)) pour toutϕ∈ D(R). Montrer que siuest une distribution tempérée paire (resp. impaire), alors il est en de même pour sa transformée de Fourier.

Exercice 8. Soit(ak)_k∈N une suite de complexes. On définit

u:ϕ∈ D(R)7→X

k∈N

a_kϕ(k).

(8.1) Montrer queudéfinit une distribution surR.

(8.2) Montrer que uest une distribution tempérée si et seulement s’il existe p ∈ N et C ≥ 0 tels que

|a_k| ≤ C (1 +k)^p pour toutk∈N.

Exercice 9.

1. Si une suite de fonctions deD(R)converge dansD(R), converge-t-elle dans S(R)? 2. Si une suite de fonctions deD(R)converge dansS(R), converge-t-elle dans D(R)?

1. Suggestion : utiliser l’Exercice 4 et le résultatF^±vp 1

x

=u±iπsign.