CORRIGE
Partie A
1. L’oiseau a commencé son plongeon à h(0) = 02 − 6 × 0 + 5 = 5 m.
2. Tableau de valeurs :
x 0 1 2 2,5 3 3,5 4 5 6
h(x) 5 0 - 3 - 3,75 - 4 - 3,75 - 3 0 5
3. Tracé de la courbe représentative de h.
4. a) h est décroissante sur [ 0 ; 3 ] et croissante sur [ 3 ; 6 ].
b) La distance de la rive, où la hauteur de l’oiseau est minimale, est de 3 m.
Partie B
1. (x − 3)2 − 4 = x2 − 2 × 3 × x + 32 − 4 = x2 − 6x + 9 − 4 = x2 − 6x + 5 = h(x)
2. Variations de h sur ] −∞; 3]
On pose x ≤ y ≤ 3
On veut montrer que h(x) ≥ h(y)
h(x) − h(y) = x2 − 6x + 5 − (y2 − 6y + 5) = x2 − 6x + 5 − y2 + 6y − 5 = x2 − y2 − 6x + 6y
= (x − y) (x + y) − 6(x − y) = (x − y) [(x + y) − 6]
Or x − y ≤ 0 et x + y − 6 ≤ 0 donc h(x) − h(y) ≥ 0
h(x) ≥ h(y)
donc h est décroissante sur ] −∞; 3].
Sur [3;+∞[, la fonction h est croissante car la courbe, qui est une parabole, admet un axe de symétrie d'équation x = 3 (lieu où il y a le minimum).
3. Donner dans chaque cas un encadrement de h(x) en justifiant votre réponse :
a) 1,5 ≤ x ≤ 2 donc h(1,5) ≥ x ≥ h(2) car h est décroissante sur ] −∞; 3], c'est-à-dire - 1,75 ≥ x ≥ - 3 car h(1,5) = (1,5 − 3)2 − 4 = 2,25 – 4 = 1,75 et h(2) = (2 − 3)2 − 4 = - 3.
b) 3 ≤ x ≤ 4 donc h(3) ≤ x ≤ h(4) car h est croissante sur [3;+∞[, c'est-à-dire – 4 ≤ x ≤ - 3 car h(3) = (3 − 3)2 − 4 = - 4 et h(4) = (4 − 3)2 − 4 = - 3.
.
4. h est décroissante sur ] −∞; 3] et est croissante sur [3;+∞[ donc h admet un minimum en 3 qui est – 4.
5. Tableau de variations complet de h sur [0; 6].
6. L’oiseau est entré puis sorti de l’eau pour la hauteur 0. Je résous donc h(x) = 0.
(x − 3)2 − 4 = 0
(x − 3 − 2)(x − 3 + 2) = 0 (x − 5)(x − 1) = 0
Un produit est nul lorsque l'un des facteurs est nul donc x − 5 = 0 ou x − 1= 0
x = 5 ou x = 1
L’oiseau est entré puis sorti de l’eau à 1 m et à 5 m du rivage.
Graphiquement, ce sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
7. Je résous h(x) < 0. Pour cela, je dresse un tableau de signes.
h(x) = (x − 5)(x − 1)
x 0 1 5 6
x − 5 - - +
x − 1 - + +
(x − 5)(x − 1) + - +
donc S = ] 1 ; 5 [.
x h ' h(x)
0
- 5
3
+
- 4
6 5
0
0 0
0
