Nombres relatifs et repérage I.Nombres relatifs et droite graduée
Jusqu'à présent, les nombres utilisés sont les nombres supérieurs ou égaux à zéro, ce sont les nombres positifs.
Mais on rencontre parfois des nombres inférieurs ou égaux à zéro, ce sont les nombres négatifs (avec un signe « moins »).
Les nombres positifs et les nombres négatifs constituent les nombres relatifs. Ils permettent de se repérer par rapport à un événement auquel on attribue le nombre zéro.
Remarque : Zéro est le seul nombre à la fois positif et négatif.
Exemple : (-5) c'est 5 « avant zéro » ou « 5 en-dessous de zéro ». on peut alors dire : (-5) = 0 – 5 On rencontre de tels nombres dans de nombreuses situations de la vie quotidienne :
• Étages dans un ascenseur (relatifs au RDC)
ex : La touche +2 d'un ascenseur nous amène au _____________________________________
___________________________. La touche -1 nous conduit au premier sous sol, un niveau ___
_______________ du rez de chaussée, on descend d'un étage à partir du rez-de-chaussée.
• Dates (relatives à la naissance de J-C)
ex:Vercingétorix est né en -72 signifie que sa naissance a eu lieu 72 années ______________ la naissance du Christ.
• Températures (relatives à la température où la glace commence à fondre)
ex : Une température de -15°C correspond à 15° _____________________ de 0°.
• Altitudes (relatives au niveau de la mer)
• Situations financières (créditeur ou débiteur).
Définition : Les graduations d'un thermomètre par exemple ressemblent à une droite graduée. C'est une droite sur laquelle on fixe :
- un point appelé origine (le zéro) - un sens (la flèche)
- une unité de longueur (la graduation).
Propriété: Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un unique nombre relatif appelé abscisse du point. Et à chaque nombre relatif, on associe un unique point.
Ex:
Sur cette droite graduée, le point B a pour abscisse ____, le point C a pour abscisse ____, le point D a pour abscisse _____ et le point F a pour abscisse ________.
On note B(___) ; C(____) ; D(____) et F(______)
Comme (-3)=0 – 3, alors (-3) repère le point D situé à la distance 3 de l'origine mais « avant » le zéro. On dit alors que la distance à zéro de D est 3.
La distance à zéro du point B est alors ____, la distance à zéro du point C est ______ et celle du point F est _______.
Il y a en fait deux points situés à la distance 3 de l'origine. Ils sont repérés par les nombres ___
et ______. Ce sont desnombres opposés.
Définition: Lorsque 2 nombres relatifs ont la même distance à zéro mais des signes différents, on dit qu'ils sont opposés
Ex: 2,5 et (-2,5) sont des nombres opposés.
Remarque: L'opposé d'un nombre positif est ___________, l'opposé d'un nombre négatif est _________
L'opposé de 0 est _______ car zéro est à la fois positif et négatif.
Sur une droite graduée, deux points symétriques par rapport à ________________ ont des abscisses opposées
Méthode pour calculer la distance de 2 points en utilisant la droite graduée:
-s'ils ont tous les deux des abscisses positives, on calcule la différence des deux (on soustrait les 2 nombres)
- s'ils ont tous les deux des abscisses négatives, on calcule la différence des distances à zéro (on soustrait les nombres sans s'occuper des signes)
- si l'un a une abscisse positive et l'autre une abscisse négative, on additionne les distances à zéro (on additionne les nombres sans s'occuper de leurs signes)
Exemple : Calcule la distance des points suivants (tu peux les placer sur une droite graduée pour t'aider si tu veux) :
a. A(-3) et B(7) : _______________________ b. C(-5) et D(-9) :__________________________
c. E(-3,7) et F(-8,9) : ________________________ d. G(-5,8) et H(4,2) ____________________
II Comparaison
Pour comparer des nombres relatifs, on peut utiliser une droite graduée.
On place les points B(2), D(-3), K(5) et L(-4).
Du plus petit... … au plus grand
On en déduit alors que ______ < ______ < _______ < ______
Plus il fait froid, plus la
température est basse et donc plus le nombre correspondant est _________.
Inversement, plus il fait chaud, plus la température est haute et plus le nombre correspondant est _____.
Propriété: Si deux nombres sont positifs, alors le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.
Tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif
Si deux nombres sont négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro..
Exemple : On a marqué ici les distances à zéro de (-4) et (-3)
Ceci nous permet aussi de voir que (-4) < (-3).
Mais petit à petit, il faudra apprendre à se passer de la droite graduée pour comparer des nombres (mais tu peux la voir dans ta tête si ça t'aide).
Exemple : Complète par <, > ou = :
(- 8) ….. (-12) (-9)...(-4) (-6) …... 4 7 ….... (-10) 9 …... 4 4,07 ….. 4,7 (-2,40) ….. (-2,04) (-3,7) ….. (-3,09) (-5,74) ….. 4,8
III Repérage dans le plan
Définition: Deux droites graduées de même origine et perpendiculaires forment un repère orthogonal du plan. La droite horizontale est appelée axe des abscisses et la droite verticale est appelée axe des ordonnées. Un tel repère permet de situer des points dans le plan.
Remarque: les deux axes ont la même origine mais n'ont pas forcément la même unité de longueur.
Propriété: Dans un repère du plan, tout point est repéré par deux nombres relatifs: son abscisse toujours citée en premier puis son ordonnée. Ces deux nombres s'appellent les coordonnées du point dans le repère.
Exemple: dans ce repère, le point A a pour abscisse (-3) et pour ordonnée 2.
Ses coordonnées sont (- 3 ; 2).
On note A( - 3 ; 2)
On a aussi B(2 ; - 3). On a échangé l'abscisse et l'ordonnée du point A pour obtenir le point B.
Les points A et B ne sont pas au même endroit. C'est pour cela que l'ordre est important.
Exemple :
Donne les coordonnées des points A, B, C et D :
_________________
_________________
_________________
_________________
Trace le point A' image du point A par la symétrie de centre O et donne ses coordonnées : _________
Trace le point B' symétrique du point B par rapport à l'axe des abscisses et donne ses coordonnées _________
Place les points suivants : D(-5;2), E(3 ; -3) et F( - 2 ; - 5)
