Chapitre n°13
Objectifs
1. Loi uniforme sur [ a ; b ] ( Loi à densité sur un intervalle )
→ Connaître la fonction de densité de la loi uniforme ainsi que l'espérance d'une variable aléatoire qui suit cette loi uniforme.
[le random d'une calculatrice, d'un tableur ou d'un langage suit la loi uniforme sur [0;1]. La notion d'espérance sur du continu sur un intervalle [a;b] vaut E(X)=
∫
a b
t f(t)dt.][Approfondissements possibles : Méthode de Monte-Carlo]
2. Loi exponentielle ( Loi à densité sur un intervalle ) :
→ Savoir calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle.
[Démontrer qu'une variable aléatoire T suivant une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement : PTt(Tt+h)=P(Th)]
Démonstration : l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre est λ1 . [E(X)=lim
x→∞
∫
0 x
t f(t)dt est l'espérance de la loi exponentielle, f étant la fonction de densité de la loi
exponentielle.][ Cette partie du programme se prête à l'étude de situations concrètes : radioactivité, durée de fonctionnement d'un système non soumis à un phénomène d'usure]
Activité n°1 : du discret au continu
Contexte :
Une variable aléatoire associe, à un événement, un nombre. Ce nombre était jusqu'ici un entier (la face d'un dé, par exemple), ou appartenant tout au moins à un ensemble fini de valeurs.
Nous allons étudier ici des variables aléatoires qui associent à un événement, un nombre réel.
a. Dans l'intervalle [0;1], combien y a-t-il de nombres d'au plus une décimale (i.e. 0;0,1 ;...) ?
...
...
b. Dans l'intervalle [0;1], combien y a-t-il de nombres d'au plus deux décimales ? ...
...
c. Dans l'intervalle [0;1], combien y a-t-il de nombres d'au plus dix décimales ? ...
...
d. On s'intéresse à la variable aléatoire qui donne au hasard et de façon
équiprobable un nombre à au plus dix décimales, entre 0 et 1 inclus. Quelle est la probabilité d'obtenir 0,3142536475 ?
...
...
e. On s'intéresse maintenant à la variable aléatoire qui donne au hasard et de façon équiprobable un nombre réel toujours compris entre 0 et 1. Que vaut
P ( X = 1 5 )
?...
...
f. Conjecturer
P ( 0≤X ≤ 100 1 )
?P ( 100 1 ≤X ≤ 100 2 )
?P ( 100 2 ≤X ≤ 100 3 )
?P ( 100 3 ≤X ≤ 100 4 )
sur l'intervalle [0;1]?...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
g. Sur le repère suivant, construire le graphique donnant
P ( x≤X ≤x+ 100 1 )
enfonction de x (x variant de 0 à 0,99).
h. Quelle fonction f semble dessiner cette répartition ?
...
...
...
...
Cette fonction s'appelle densité de probabilité de la loi suivie par X.
i. Conjecturer
P ( 0≤X ≤ 1 5 )
?P ( 0≤X ≤ 2 5 )
?P ( 0≤X ≤ 3 5 )
?P ( 0≤X ≤ 4 5 )
?P ( 0≤X ≤ 5 5 )
?...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
j. Sur le repère suivant, construire le graphique donnant P
(
0≤X≤x)
en fonction de x.k. Quelle fonction F semble dessiner cette répartition ?
...
...
l. Quelle relation semble-t-il y avoir entre f et F?
...
...
...
...
...
...
...
...
m. Interpréter P
(
0≤X≤x)
sous la forme d'une intégrale....
...
n. Que peut-on dire de F(1) ?
...
...
Cours n°1
I) Généralités
Contexte :
Une variable aléatoire associe, à un événement, un nombre. Ce nombre était jusqu'ici un entier (la face d'un dé, par exemple), ou appartenant tout au moins à un ensemble fini de valeurs.
Nous allons étudier ici des variables aléatoires qui associent à un événement, un nombre réel.
Définition n°1
On appelle fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire X sur l'intervalle I toute fonction f définie, continue, et positive sur I telle que
∫
I
f (t ) dt =...
Remarques :
Si I = [a;b], alors
∫
I
f (t )dt = ∫
a b
f (t ) dt
Si I = [a;+∞], alors∫
I
f (t ) dt = lim
x→ +∞
∫
a x
f (t ) dt
Si I = [–∞ ; b], alors∫
I
f (t )dt = lim
x→−∞
∫
x b
f (t ) dt
Propriété n°1
Si X est une variable aléatoire définie sur I et de densité f, alors, pour tout intervalle [a;b] de
I, on a : P
(
a≤X≤b)
=...Propriété n°2
Si X est une variable aléatoire définie sur I et de densité f, alors : 1. P(X ∈ I) = …
2. x ∈ R, P(X = x)= …
3. a ∈ I, b ∈ I,
P ( a≤X ≤ b )
=P ( a< X ≤ b )
= ... = …...4. a ∈ I, b ∈ I, P
(
a≤X≤b)
= P(X ≤ ....) – P(X ≤ ....)5. a ∈ I,
P ( X > a )
=...Définition n°2 (Espérance)
Si X est une variable aléatoire définie sur I et de densité f, alors l'espérance mathématique de X est définie par :
E(X) =
∫
a b
tf ( t) dt
Exemple n°1
Soit X une variable aléatoire définie sur [0;4] et de densité f(x)=
( 4 x )
3.1. Vérifier que f est une fonction de densité.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2. Calculer P(0<x<2).
...
...
...
...
...
...
...
...
3. Calculer l'espérance de X.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exercice n°1
Ex.1 p.334
Exercice n°2
Ex.2 p.334
Exercice n°3*
Ex.37 p.336
Cours n°2
II) Loi uniforme
Définition n°3
On appelle loi uniforme sur [a;b] la loi de probabilité dont la fonction de densité est définie sur R par :
f ( x )= { ...− 1 ... 0 sinon . si a≤x≤b .
Remarque : elle modélise le tirage aléatoire d'un nombre compris entre a et b.
Propriété n°3
Si X est une variable aléatoire de densité la loi uniforme f : 1) Si x<a, alors P(X ≤ x) = …
2) Si a ≤ x ≤ b, alors P(X ≤ x) = …...
3) si x>b, alors P(X ≤ x) = …
Démonstration
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Propriété n°4
Si X est une variable aléatoire de densité la loi uniforme f : On considère deux réels α et β tels que a ≤ α ≤ β ≤ b.
Alors :
P(α ≤ X ≤ β) = ... – ... = …...
Exemple n°2
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [0;4].
Calculer P(2 ≤ X ≤ 3).
...
...
...
...
...
...
Propriété n°5
Si X est une variable aléatoire de densité la loi uniforme f : L'espérance E(X) = …...
Démonstration
...
...
...
...
...
...
0 1 2 3 4 5 x
y
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°3
Calculer l'espérance mathématique de X si X suit la loi uniforme sur [0;4].
...
...
...
...
...
...
Exercice n°4
Ex.6 p.334
Exercice n°5
Ex.9 p.334
Exercice n°6
Ex.47 p.336
Exercice n°7
Ex.49 p.337
Cours n°3
III) Loi exponentielle
Définition n°4
Pour tout réel λ>0, on dit qu'une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre λ si sa fonction de densité est la fonction f définie sur [0;+
∞[ par f(x)= λe-λx.
Propriété n°6
Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ alors, pour tous réels a et b tel que 0 ≤ a ≤ b :
1) P(a ≤ X ≤ b) = …...
2) P(X ≤ b) = …...
3) P(X ≥ a) = …...
Démonstration
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°4
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,3.
Calculer P(2 ≤ X ≤ 3).
...
...
...
...
...
Propriété n°7
Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ alors l'espérance E(X) vaut E(X) = …...
Démonstration
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0 1 2 3 4 5 x
y
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°5
Calculer l'espérance mathématique de X si X suit la loi exponentielle de paramètre 0,3.
...
...
...
...
...
...
Exercice n°8
Ex.10 p.334
Exercice n°9
Ex.61 p.337
Exercice n°10*
Ex.66 p.338
Exercice n°11*
Sujet A p.349
Exercice n°12**
Sujet E p.350
Exercice n°13***
Ex.139 p.352
Indices et résultats
Ex.n°1 (Ex.1 p.334) : a. P(X=5)=0. b. P(X≤5)=0,6. c. P(X >5)=0,4. d. P(5<X<10)=0,4.
Ex.n°2 (Ex.2 p.334) : a. P(X>4)=0,8. b. P(X>11)=0. c. P(X<7)=0,5. d. P(4<X<7)=0,3.
Ex.n°3* (Ex.37 p.336) : 1.a. b. f est continue, positive et
∫
0 1
f(t)dt=12.a.
P(X<0,25)=
5
32
≈0,156 b. P(X>1 3
)=7
9
≈0,778 c. P(0,1<X<0,7)=0,54 d. E(X)=7 12
≈0,583.
Ex.n°4 (Ex.6 p.334) : P(X<0,2)=0,2 et P(X>
3 7
)=4 7
Ex.n°5 (Ex.9 p.334) : 1.1
3
2. 12,5 min.Ex.n°6 (Ex.47 p.336) : 1. P(X<10)=
2
3
2. P(X>0,5)=29
30
3. 7 min 30 s Ex.n°7 (Ex.49 p.337) : 1. f(x)=1
8
2.a. P(A)=3
8
2.b. P(B)=3
8
2.c. P(C)=5
8
2.d. P(D)=19 40
3.k=14 4. t=16,64 5. E(X)=16.
Ex.n°8 (Ex.10 p.334) : a. P(0,1 ≤ T ≤ 0,2) ≈0,086 b. P(T ≤ 1) ≈0,632 c. P(T > 0,5) ≈ 0,607 Ex.n°9 (Ex.61 p.337) : 1. 5 ans 2. P(X<7) ≈ 0,753 ; P(X>7) ≈ 0,247 et P(4<X<7) ≈ 0,203.
PX>4(X<7) ≈0,451.
Ex.n°10* (Ex.66 p.338) : 1.a. P(5<T<10)=0 1.b. λ=
ln 15
16
2.a.7h 9 min. 2.b.P(T>5)≈0,497 2.c.PT>4(T>9) ≈ 0,497.Ex.n°11* (Sujet A p.349) : 1. F(4)-F(
1
4
) avec F(x)=2
3 √ x
. 2.a. P(X<2) =2
3
(√ 2
–1 2
) ≈0,609 2.b. P(X>1) =
2
3
≈ 0,667 3.a. k=2
3
3.b.7 4
=1+3 4
Ex.n°12** (Sujet E p.350) : 1.a. A=-1 et B= –1
λ
. 1.b.1 λ
(-λbe-λb – e-λb + 1) 1.c.
1 λ
2.a.λ=-
ln (0,771)
1000
≈ 2,6 × 10-4. 2.b. 3 845 h.Ex.n°13*** (Ex.139 p.352) : Partie A 1. 0 2.a. Partie B.1. λ=
ln 15
16
≈0,169. 2.a.P(X≤R)=1 – e-0,17R. 2.b. P(R≤X≤16)= e-0,17R – e-2,72. 2.c.R=g(n). 3. g(10) ≈ 0,522 et g(11) ≈ 0,477 . R>0,5 equivalent à 1≤n≤10. 4. R ≈ 1,2 cm. 5.a.0,1845 5.b.
0,7496 5.c. 0,1977. Partie C 1.binomiale, n=5, p ≈0,1845 2. ≈ 0,0467.
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