232 Variables aléatoires possédant une densité. Exemples. Caract. loi Exp – Cf 230 Escoffier.
Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé.
I. Généralités (p.119)
Def 1 Def 1Def 1
Def 1: Soit X une var: on dit que X admet une densitéadmet une densitéadmet une densitéadmet une densité f si sa fonction de répartition (1) F est continue et peut s'écrire sous la forme: ,
( ) ( )
x
x F x f t dt
−∞
∀ ∈ =
∫
, avec:1) f ≥0
2) f possède un nombre fini de points de diccontinuité 3) f t dt
( )
1+∞
−∞
∫
=f n'est pas unique (la modifier en 1 pt).
Prop 1 Prop 1Prop 1
Prop 1: En tout point x0où f est continue, F est dérivable et: F'
( )
x0 = f( )
x0 .Exemple 1: Soit f définie par:
( ) ( )
( )
20 si 0
1 4 si 0 1
1 2 si 1 t
f t t t
t t
≤
= < <
≤
; Alors f vérifie les
hypothèses et on a:
( )
0 si 0
1 si 0 1
2
1 1 si 1 2
x
F x x x
x x
≤
= < <
− ≤
(2)
Prop 2 Prop 2Prop 2
Prop 2: Soit X var de fonction de répartition F, admettant f pour densité. Alors pour tout
(
a b;)
∈2tq a≤b, on a:
( ) ( )
b
a
P a<X ≤b =
∫
f t dtII. Espérance, variance. (p.122)
Analogie avec le cas discret où les poids de probabilités sont les pi, ici ce sont les valeurs de f .
Def 2 Def 2 Def 2
Def 2: Soit X une var de densité f. On appelle espérance espérance espérance espérance de X
de X de X
de X le réel: E X
( )
t f t dt.( )
+∞
−∞
=
∫
,sous réserve de cv. abs. de cette intégrale.
Exemple1: X de densité f ne possède pas d'espérance car
1
1 2
dt t
+∞
∫
diverge.Prop 3 Prop 3 Prop 3
Prop 3: Linéarité de ELinéarité de ELinéarité de ELinéarité de E. Soient X, Y deux var à densité admettant une espérance, et λ∊ℝ. Alors X+λY admet une espérance et: E X
(
+λY)
=E X( )
+λE Y( )
. Th 1Th 1Th 1Th 1: Théorème de transfertThéorème de transfertThéorème de transfertThéorème de transfert. Soient X une var de densité f, et Φ:ℝ→ℝ tq |Φ| soit int|Φ| soit int|Φ| soit int|Φ| soit intégrable sur égrable sur égrable sur ℝégrable sur ℝℝ. Alors Φ(X) ℝ possède une espérance et: E
(
φ( )
X)
φ( ) ( )
x f x dx+∞
−∞
=
∫
Def 3 Def 3 Def 3
Def 3: On appelle moment d'ordre 2moment d'ordre 2moment d'ordre 2moment d'ordre 2 l'espérance, si elle existe, de la variable X2. Sous réserve de convergence:
( )
2 2( )
E X x f x dx
+∞
−∞
=
∫
Prop 4 Prop 4 Prop 4
Prop 4: Si X possède un moment d'ordre 2, alors X possède une espérance.
Def Def Def
Def 444: Soit X de densité f. On appelle variance4 variancevariancevariance de X l'espérance, si elle existe, de la variable
(
X −E X( ) )
2.( ) ( ( ) )
2( )
V X x E X f x dx
+∞
−∞
=
∫
− , sous réserve de Cv.Prop 5: formule de Koenig Prop 5: formule de Koenig Prop 5: formule de Koenig
Prop 5: formule de Koenig: V X
( )
=E X( )
2 −(
E X( ) )
2III. 1
erexemple: Loi uniforme sur [a;b]
Def 5 Def 5 Def 5
Def 5: X suit la loi uniformeloi uniformeloi uniformeloi uniforme sur [a;b] si elle a pour densité
( )
[ ]
[ ]
0 si ;
1 si ;
x a b f x
x a b b a
∉
=
− ∈
; On note X ∼U( [
a b;] )
.Prop 6 Prop 6 Prop 6
Prop 6: Sa fonction de répartition est:
( ) ( )
0 si
1 si
1 si x a
F x x a a x b
b a
x b
<
= − ≤ ≤
−
>
Prop 7 Prop 7 Prop 7 Prop 7:
( )
2 a b
E X +
= ;
( ) ( )
212 b a
V X −
=
IV. 2
èmeexemple: Loi exponentielle.
Def 6 Def 6 Def 6
Def 6: Soit λ>0. X suit la loi exponentiellela loi exponentiellela loi exponentielle de paramètre la loi exponentielle λ si elle a pour densité:
( )
0 si 0si 0
x
x f x
e λ x λ −
<
=
≥
; On note alors X ∼ε ( )
λ . Prop 8Prop 8 Prop 8
Prop 8: sa fonction de répartition est:
( )
0 si 01 x si 0
x F x
e−λ x
<
=
− ≥
Prop 9 Prop 9 Prop 9
Prop 9: E X
( )
1λ
= ; V X
( )
12λ
=
Prop 10 Prop 10 Prop 10
Prop 10: "La loi exponentielle est sans mémoire".
Soit X ∼
ε ( )
λ . Alors:( ) ( )
, 0, /
s t P X s t X t P X s
∀ ∈ ∀ ≥ > + > = >
ex.6.8p.131.
232 variables aléatoires possédant une densité. Exemples. Caract. loi Exp – Cf 230 Escoffier.
V. 3
èmeexemple: Loi normale, ou Loi de (Laplace-) Gauss.
Cette loi apparaît comme "loi limite" en vertu du théorème central limite.
Def 7 Def 7Def 7
Def 7: X suit la loi la loi la loi normale centrée réduitela loi normale centrée réduitenormale centrée réduitenormale centrée réduite si elle a pour
densité:
( )
2
1
2,
2
x
x f x e
π
∀ ∈ =
− . On note alors X ∼N(0;1).Sa fonction de répartition n'a pas d'expression
"explicite" à l'aide des fonctions usuelles.
Prop 11 Prop 11Prop 11
Prop 11: E X
( )
=0
; V X( )
=1
Cas général: m∊ℝ, σ>0.La loi normale de paramètres m et σ a pour densité:
( )
( )2
2 2
1 2
x m
f x e σ
σ π
− −
= , on note X ∼ N m
(
;σ)
. On se ramène à la loi normale centrée réduite grâce à:(
;)
X m(
0;1)
X N mσ N
σ
⇔ −
∼ ∼
On montre que:
E(X)=m et que V(X)=σ2.
VI. Notes.
(1) Fonction de répartitionFonction de répartitionFonction de répartition d'une var: Fonction de répartition
[ ]
( )
: 0;1
F
x P X x
→
≤
Ptés:
Ptés:Ptés:
Ptés: F est ↗, de 0 vers 1,
lim F 0
−∞
=
,lim F 1
+∞
=
, F est continue à droite en tt point,F admet une limite à gauche en tt point,
∀x∊ℝ,
( ) lim ( )
F x
xF P X x
−
−= =
. (2) Sur les intégrales généralisées:Sur les intégrales généralisées:Sur les intégrales généralisées: Sur les intégrales généralisées:Attention, CV
( )
0a
f f t t +∞
⇒/
→∞→
∫
On a seulement: En cas de CV de l'intégrale, SI la fonction f a une limite en ∞, alors cette limite est 0.
pour avoir l'implication ci-dessus, il faudrait ajouter l'hypothèse f uniformément continue par ex.
Somme de p variables à Somme de p variables à Somme de p variables à
Somme de p variables à densitédensitédensité: (p.147)En général, la densité somme de p variables à densité n'est pas une variable à densité (prendre X+(-X)). Le calcul de l'espérance et de la variance se fait comme ds le cas discret.
Remarque sur les inégalités strictes ou larges Remarque sur les inégalités strictes ou larges Remarque sur les inégalités strictes ou larges Remarque sur les inégalités strictes ou larges (p122) Pour une v.a.r. à densité, la valeur de la proba ne change pas selon que l'on met des inégalités strictes ou larges: P(a<X≤b) = P(a≤X≤b) = P(a<X<b),
car P(a≤X<b)=P(a<X<b)+P(X=a), et P(X=a)=0
car
( ) ( ) lim ( )
x a
P X a F a F x
→ −
