Chapitre 3. Couple de variables al´ eatoires
Sidi Mohamed MAOULOUD
28 octobre 2015
1 Distribution conjointe 2 Distributions marginales 3 Distributions conditionnelles 4 Esp´erance conditionnelle 5 Ind´ependance
6 Caract´eristiques de deux variables Propri´et´es.
Sidi Mohamed MAOULOUD
Distribution conjointe
La fonction de r´epartition conjointe deX etY est FX,Y(x,y) =P(X ≤x,Y ≤y)
Si X et Y sont discr`etes, la fonction de masse conjointe est pX,Y(x,y) =P(X =x,Y =y)
Si X et Y sont continues, la fonction de densit´e conjointe est fX,Y(x,y) = ∂2
∂x∂yFX,Y(x,y)
Distribution conjointe. Exemple
Soient X et Y deux variables dont la F.R.C. est
FX,Y(x) =
0 si x<0ou y <0 1−e−x−xe−y si 0≤x≤y 1−e−y−ye−y si 0≤y <x Alors leurs fonction de densit´e conjointe est
fX,Y(x,y) = ∂2
∂x∂yFX,Y(x,y) =
e−y si 0≤x ≤y
0 sinon
Sidi Mohamed MAOULOUD
Distributions marginales
La fonction de r´epartition marginale de X est FX(x) = lim
y→+∞FX,Y(x,y) et celle de Y est FY(y) = lim
x→+∞FX,Y(x,y)
Si X et Y sont discr`etes, la fonction de masse marginale de X est pX(x) = X
y∈Y(Ω)
pX,Y(x,y). De mˆeme pour Y
Si X et Y sont continues, la fonction de densit´e marginale de X est fX(x) =
Z ∞
−∞
fX,Y(x,y)dy
Distributions marginales. Exemple
Retour `a l’exemple pr´ec´edent.
Fonction de densit´e marginale deX. Si x<0 alors fX,Y(x,y) = 0 et doncfX(x) = 0. Six ≥0 alors
fX(x) = Z ∞
−∞
fX,Y(x,y)dy = Z ∞
x
e−ydy = e−y∞
x =e−x
Ainsi fX(x) =
e−x si0≤x
0 sinon
Fonction de densit´e marginale deY. Si y<0 alors fX,Y(x,y) = 0 et doncfY(y) = 0. Si y ≥0 alors
fX(x) = Z ∞
−∞
fX,Y(x,y)dx = Z y
0
e−ydx =e−y[x]y0 =ye−y
Ainsi fY(y) =
ye−y si0≤y
0 sinon
Sidi Mohamed MAOULOUD
Distributions conditionnelles
Si X et Y sont discr`etes, et sipY(y)>0, la fonction de masse conditionnelle de X sachant queY =y est pX|Y=y(x) = pX,Y(x,y)
pY(y) .
Si X et Y sont continue et si fY(y)>0, la fonction de densit´e conditionnelle deX est fX|Y=y(x) = fX,Y(x,y)
fY(y)
Distributions conditionnelles. Exemple
Retour `a l’exemple pr´ec´edent. On a Pour y >0,fY(y) =ye−y >0 fX,Y(x,y) =e−y si 0≤x≤y. fX|Y=y(x) = fX,Y(x,y)
fY(y) = e−y ye−y = 1
y si y >0 et 0 sinon.
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Esp´ erance conditionnelle.
On d´efinit (si elle existe) l’esp´erance conditionnelle deX sachant Y =y, par
E(X|Y =y) = Z ∞
−∞
xfX|Y=y(x)dx dans le cas continu
E(X|Y =y) = X
x∈X(Ω)
xpX|Y=y(x) dans le cas discret
En posant r(y) =E(X|Y =y) on d´efinit E(X|Y) =r(Y).
C’est une variable al´eatoire et est appel´ee esp´erance de X sachant Y.
On a les propri´et´es tr`es importantes suivantes E(E(X|Y)) =E(X)
Ind´ ependance
X et Y sont ind´ependantes siFX,Y(x,y) =FX(x)FY(y) Les proposition suivantes sont ´equivalentes
X etY sont ind´ependantes fX,Y(x,y) =fX(x)fY(y) fX|Y=y(x) =fX(x) fY|X=x(y) =fY(y)
De plus siX etY sont ind´ependantes alors E(X|Y) =E(X)
E(Y|X) =E(Y)
Sidi Mohamed MAOULOUD
Caract´ eristiques de deux variables
Covariance :
σXY =E[(X −µX)(Y −µY)] =E[XY]−µXµY, mesure la force du lien lin´eaire unissant les variablesX etY. Peut ˆetre positif ou n´egatif. On a σXX =σ2X
Si deux variables sont ind´ependantes alorsC(X,Y) = 0 On a C(X,Y)2≤V(X)V(Y)
Coefficient de corr´elation lin´eaire:ρXY = σXY σXσY. Ce coefficient est compris entre -1 et 1. La valeur -1 indique un lien lin´eaire parfait avec pente n´egative, 1 indique un lien lin´eaire parfait de pente positive, 0 indique absence de lien lin´eaire (il peut y avoir toutefois des liens non-lin´eaires entre X
Caract´ eristiques de deux variables
Propri´et´es.
1 E[aX] =aE[X]
2 E[aX+b] =aE[X] +b
3 E[aX+bY] =aE[X] +bE[Y]
4 E[XY] =E[X]E[Y] +cov(X,Y)
5 Si X et Y sont ind´ependantes alors E[XY] =E[X]E[Y]
6 E
" n X
i=1
Xi
#
=
n
X
i=1
E[Xi]
7 V(X +Y) =V(X) +V(Y) + 2C(X,Y)
8 Si X1,X2, ...Xn sont ind´ependantes alors Var
" n X
i=1
Xi
#
=
n
X
i=1
Var[Xi]
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