Correction des activités – VARIABLES ALEATOIRES
Activité 1 : découvrir la notion de variable aléatoire
Corrigé :
1. Léna peut gagner 28€, 13€, 2€ ou −2€.
2. 8 de trèfle : −𝟐€ 10 de cœur : −𝟐€ As de cœur : 𝟐𝟖€ 3 de pique : 𝟐€
3. La valeur de 𝑋({6𝑑𝑒𝑐𝑜𝑒𝑢𝑟}) est −2, la valeur de 𝑋({𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒𝑡𝑟è𝑓𝑙𝑒}) est 13.
4. a) 𝑝(𝑋 = 28) =>?= (car il y a 4 as sur 52 cartes)
b) 𝑝(𝑋 = 13) =>?B (car il y a 4 rois et 4 dames sur 52 cartes)
5. On trouve C?>? pour 𝑃(𝑋 = 2) car il y a 4 deux, 4 trois et 4 cartes donc 12 cartes.
Pour 𝑝(𝑋 = −2), on fait une différence : >?E(=FBFC?)
>? = ?B>?
Gains 𝑥H 28 13 2 −2
Probabilités 𝑝(𝑋 = 𝑥H)
4 52
8 52
12 52
28 52 6. a) La probabilité que Léna perde de l’argent est de ?B>?.
b) La probabilité que Léna gagne plus de 10€ est de >?= +>?B =C?>?
c) La probabilité que Léna gagne plus de 4€ est de >?= +>?B +C?>?=?=>?
d) La probabilité que Léna gagne 2€ est de C?>?
Activité 2 : utiliser des notations
Corrigé :
1. 𝑋 prend les valeurs : 10 ; 15 ; 20 ; 22 ; 30 ; 31 ; 40 et 50.
On écrit aussi : 𝑋(Ω) = {10; 15; 20; 22; 30; 31; 40; 50}
2. a) {𝑋 ≤ 25} ssi 𝑋 prend ses valeurs dans {10 ; 15 ; 20 ; 22}
b) Le numéro de ticket est le 10 ou le 15 ou le 20 ou le 22.
3. a) {𝑋 < 31} ssi 𝑋 prend ses valeurs dans {10 ; 15 ; 20 ; 22; 30}. Le numéro de ticket est le 10 ou le 15 ou le 20 ou le 22 ou le 30.
b) {𝑋 ≥ 22} ssi 𝑋 prend ses valeurs dans {22; 30; 31; 40; 50}. Le numéro de ticket est le 22 ou le 30 ou le 31 ou le 40 ou le 50.
c) {𝑋 = 15} ssi 𝑋 prend ses valeurs dans {15}. Le numéro de ticket est le 15.
4. Il y a 50 tickets au total et 16 sont concernés (2 + 14). Donc 𝑝(𝑋 ≤ 15) = CO>P. 5. a) 𝑝(𝑋 = 15) =C=>P b) 𝑝(𝑋 < 31) = Q>>P c) 𝑝(𝑋 ≥ 22) =?O>P
Activité 3 : découvrir la notion d’espérance
Corrigé :
1. Voir fichier Excel joint (à décortiquer en étudiant ce qu’il y a derrière les cases A5, B5, C5 et A2 𝐴5 = 𝐴𝐿𝐸𝐴. 𝐵𝑂𝑅𝑁𝐸𝑆(1; 6)
𝐵5 = 𝐴𝐿𝐸𝐴. 𝐵𝑂𝑅𝑁𝐸𝑆(1; 6)
𝐶5 = 𝑀𝐴𝑋(𝐴5; 𝐵5) − 𝑀𝐼𝑁(𝐴5; 𝐵5) − 1 𝐴2 = 𝑀𝑂𝑌𝐸𝑁𝑁𝐸(𝐴5; 1004)
2. En rafraîchissant la page, il semble que le gain moyen semble un peu en-dessous de 1€
(estimation)
3. 𝑋(Ω) = {−1; 0; 1; 2; 3; 4}. La loi de probabilité de 𝑋 est donc :
𝑥H −1 0 1 2 3 4
𝑝H = 𝑝(𝑋 = 𝑥H)
6 36
10 36
8 36
6 36
4 36
2 36 4. 𝐸(𝑋) = −1 ×QOO + 0 ×CPQO+ 1 ×QOB + 2 ×QOO + 3 ×QO= + 4 ×QO? =EOFBFC?FC?FB
QO = Q=QO≈ 0,94 5. Ça semble coller avec notre résultat observé au 1.
