Examen sur les valeurs extrêmes

UNIVERSITE DE BRETAGNE OCCIDENTALE

Master EURIA 1ère ANNEE

Examen sur les valeurs extrêmes

Mercredi 14 décembre 2016

Durée : 2 heures.

Documents distribués en cours, notes manuscrites et ordinateurs autorisés.

Donner toutes les commandes R utilisées.

Exercice 1 (5 points).Dans cet exerciceX désigne une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées dont la fonction de répartition est définie par

F(x) = exp(−1

x)1l_[0,∞[(x).

1. Montrer queF est bien une fonction de répartition. Quel est le support de la loi ? 2. Montrer queX suit une loi GEV dont on précisera les paramètres.

3. Donner la densité de la loi deX et calculer E[X].

4. Dans la suite de l’exercice(X1, ..., Xn)désigne un échantillon i.i.d. de même loi queX. Montrer queMn=max(X1, ..., Xn)suit une loi GEV dont on précisera les paramètres. En déduire que le théorème de Fisher-Tippett s’applique à la loi considérée dans cet exercice.

5. Donner la fonction de répartition de la loi des excès au dessus d’un seuilu.

Exercice 2 (5 points).Une compagnie d’assurance est sollicitée pour assurer un nouveau type d’éolienne. Les calculs faits par les ingénieurs qui ont conçu l’éolienne montrent qu’elle sera détruite si les vents dépassent200kmh⁻¹. Les dégâts sont alors estimés à 1 millions d’euros. Par ailleurs, on a estimé la probabilitépque le vent maximum au cours d’une année dépasse

200kmh⁻¹ à p= ₁₀₀¹ . On justifiera rigoureusement les réponses aux questions suivantes.

1. Quelle est la probabilité que l’éolienne soit détruite au cours de sa première année de fonctionnement ?

2. Quelle est l’espérance du montant des sinistres au cours de la première année de fonctionnement de l’éolienne ?

3. Quelle est la probabilité que l’éolienne soit détruite au cours des 30 premières années de fonctionnement ?

4. Quelle est la durée de vie moyenne de l’éolienne ?

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Exercice 3 (4 points).

On rappelle qu’une variable aléatoire suit une loi Gamma de paramètresαet β si sa densité est donnée par

f(x;α, β) = 1

β^αΓ(α)x^α−1exp (x

β )

On admet que le théorème de Fisher-Tippett s’applique à la loi Gamma.

1. Pourquoi β est appelé paramètre d’échelle ? Pourquoi le domaine d’attraction ne dépend pas deβ?

2. Montrer, à l’aide d’une simulation numérique, que la loi Gamma de paramètre α= 2 appartient au domaine d’attraction de la loi de Gumbel. On écrira les commandes Rsur la copie et on reportera aussi les valeurs numériques obtenus.

Exercice 4 (6 points).

Dans cet exercice, on considère la première colonne du jeu de donnéeslossalae disponible dans le packageevd R. Elle décrit le montant de1500sinistres. Les commandes suivantes permettent de créer un objetxqui contient les données :

> library(evd)

> x =lossalae[,1]

Analyser la partie supérieure de la distribution à l’aide de la méthode des maxima par bloc puis de la méthode des dépassements de seuil. On décrira précisément ces méthodes, on donnera les commandesR utilisées et on discutera les résultats obtenus. L’évaluation portera notamment sur cette discussion.

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