1 Définition
Soit une quantité mesurée à deux dates distinctes :
Dates t0 t1
Valeur de la quantité q0 q1
Le pourcentage d’évolution entre les dates t0 et t1 est le nombre T défini par : T = q1 - q0
q0 x 100 soit T 100 = q1
q0 - 1
En notant I la valeur initiale et F la valeur finale de la quantité on a : T = F - I
I x 100
T est aussi appelé taux d’évolution.
Exemple 1 :
On souhaite comparer l’évolution du poids de deux enfants entre deux dates :
Date 31/12/2005 31/12/2006
Poids du nourrisson (kg) né en 2005 3 9
Poids d’un enfant (kg) âgé de 5 ans en 2005
16 22
Variation absolue Variation relative
Pourcentage d’évolution
Nourrisson 9 – 3 = 6 9-3
3 = 2 9-3
3 x 100 = 200
Enfant 22 – 16 = 6 22 - 16
16 = 0,375 22 - 16
16 x 100 = 37,5 Le poids du nourrisson a augmenté de 200%.
Le poids de l’enfant a augmenté de 37,5%.
Exemple 2 :
Un opérateur de télécommunications décide de baisser le prix de la minute de communication pour les appels vers les Etats-Unis : le tarif passe de 0,14 € à 0,08 € (prix TTC).
T = 0,08 - 0,14
x 100 ≈ -42,86.
Remarques :
Lors d’une hausse, T est un nombre positif et le pourcentage peut être supérieur à 100%.
Lors d’une baisse, T est un nombre négatif et le pourcentage ne peut être inférieur à -100%.
2 Utilisation
a) Calculer une valeur après une évolution Exemple :
Il y avait 6 milliards d’habitants sur la planète en 2000.
Selon l’ONU il y aurait 33,4 % d’augmentation entre 2000 et 2025.
Quelle serait alors le nombre d’individus sur terre en 2025 ? Réponse :
Si on appelle F ce nombre on a : F - 6
6 x 100 = 33,4
Soit F = 6 + 6x0,334 = 6 x 1,334 = 8,004
La population serait de 8 milliards d’habitants en 2025.
Propriété
Une quantité dont la valeur initiale est I, est augmentée de T%.
Elle devient F = I x (1 + T
100). Le coefficient multiplicateur est 1 + T 100 Une quantité dont la valeur initiale est I, est diminuée de T%.
Elle devient F = I x (1 - T
100). Le coefficient multiplicateur est 1 - T 100
b) Calculer l’évolution d’un pourcentage instantané Exemple :
La part des ménages connectés à Internet depuis leur domicile est passée de 2%
en 1998 à 22% en 2003.
On peut apprécier l’évolution de deux façons :
En variation absolue : la part des connectés augmente de « 20 points » En pourcentage d’évolution :
0,22 - 0,02
0,02 x 100 = 1000.
La part des ménages connectés a augmenté de 1000%.
3 Paradoxes Exemple 1 :
Le prix d’un article initialement è gal à p, subit une hausse de 20% suivie d’une baisse de 20%. L’article est-il vendu au même prix ?
Réponse :
Le prix devient : p (1 + 0,2)(1-0,2) = p x 0,96 = p(1 – 0,04) Il y a donc une baisse de 4%.
Exemple 2 :
La population d’une ville nouvelle augmente de 50% en 2006 puis de 30% en 2007.
A-t-elle augmenté globalement de 80% ? Réponse :
Si q est la population en 2005, en 2007 elle devient : q (1 + 0,5) (1+0,3) = q x 1,95 = q x (1 + 0,95)
La population a augmenté globalement de 95%.
Une hausse de t% n’est pas compensée par une baisse de t%.
Lorsqu’on cumule deux hausses ou deux baisses successives, les pourcentages d’évolution ne s’ajoutent pas.
4 Evolutions successives
Pour calculer directement le pourcentage global correspondant à des variations successives on utilise les coefficients multiplicateurs.
a. Augmentations successives d’un même taux Après n augmentations successives du même taux t%, La valeur d’une grandeur est multipliée par
1 + t
100 n
Le taux global T est donné par la relation : 1 + T 100 =
1 + t
100 n
Exemple :
Calculer le pourcentage global correspondant à 3 augmentations successives du même taux de 3%
On a 1 + T =
1 + 3 3
= 1,033 = 1,092727 = 1 + 9,2727
Remarque : cas des faibles pourcentages (approximation linéaire)
Dans le cas où le pourcentage d’augmentation est faible, on peut estimer l’
évolution globale en utilisant une approximation linéaire.
Ainsi n augmentations successives d’un faible taux t, peuvent être approchées par une augmentation globale du taux n×t.
Exemple : 15 augmentations successives d’un taux de 1 %.
Avec l’approximation linéaire : augmentation globale : 15×1 = 15%
Avec les coefficients multiplicateurs : 1,0115 ≈ 1,16 soit une augmentation globale de 16 %.
On remarque que 15% et 16% sont des valeurs proches.
b. Diminutions successives d’un même taux Après n diminutions successives du même taux t%, La valeur d’une grandeur est multipliée par
1 - t
100 n
Le taux global T est donné par la relation : 1 - T 100 =
1 - t
100 n
Exemple :
Calculer le pourcentage global correspondant à 4 diminutions successives du même taux de 2%.
On a 1 - T 100 =
1 - 2
100
4 = 0,984 = 0,92236816 = 1 - 7,763184 100 Le taux global T de diminution est environ 7,76 %
c. Taux moyen
Un prix augmente de T% sur deux ans. Le taux annuel t% qui provoque la même augmentation globale vérifie la relation :
1 + t
100
2 = 1 + T 100 On en déduit : 1 + t
100 = 1+ T 100
Le taux t est appelé taux moyen d’augmentation annuelle.
Exemple :
Sur la période d’un semestre, le prix d’un lecteur de DVD a baissé de 40% en passant de 300 € à 180 €.
Le taux moyen de baisse t pour chacun des deux trimestres est tel que :
1 - t
100
2 = 1 - 40
100 = 0,6 1 - t
100 = 0,6 t
100 = 1 – 0,6 ≈ 22,5 100
Le taux moyen de baisse sur chaque trimestre est d’environ 22,5%.
L’estimation du prix à la fin du 1er trimestre est : 300 × 0,6 = 232,5 €
