1 Croissance linéaire
G est une grandeur évoluant dans le temps et mesurée à intervalles réguliers.
1.1 Définition
G suit une croissance linéaire quand la variation absolue entre deux mesures consécutives reste constante dans le temps.
On dit aussi que G suit une progression arithmétique.
1.2 Exemple
Le tableau suivant donne les tirages moyens d’un quotidien sur 12 mois.
mois jan fév mar avr mai juin juil aout sept oct nov déc tirages 18200 18000 17800 17600 17400 17200 17000 16800 16600 16400 16200 16000 variations
absolues
-200 -200 -200 -200 -200 -200 -200 -200 -200 -200 -200
Le tirage mensuel suit une croissance linéaire.
1.3 Remarques
Un phénomène décroissant peut suivre une « croissance » linéaire.
Les fonctions qui suivent une croissance linéaire sont les fonctions affines.
Si t et t’ sont des valeurs quelconques distinctes, G(t') - G(t)
t' - t est constant : c’est le coefficient directeur de la droite représentant G.
2 Croissance exponentielle
G est une grandeur évoluant dans le temps et mesurée à intervalles réguliers.
2.1 Définition
G suit une croissance exponentielle quand la variation relative entre deux mesures consécutives reste constante dans le temps.
Autrement dit, entre deux mesures consécutives, la grandeur G est multipliée par un même nombre.
On dit aussi que G suit une progression géométrique.
Si t1 et t2 sont deux dates consécutives, G(t2) - G(t1) G(t1) = k
2.2 Exemple
Une population de bactéries double toutes les heures.
Temps (heures) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Population 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512
Variations relatives (%)
100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100%
Coefficient multiplicateur
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Population
0 100 200 300 400 500 600
0 2 4 6 8 10
2.3 Remarques
A chaque intervalle de temps, la grandeur G est multipliée par le même nombre.
Un phénomène décroissant peut suivre une « croissance » exponentielle.
3 Autres types de croissance
Un plongeur se jette d’une falaise. Sa chute est enregistrée et, à chaque seconde, on mesure la longueur de sa chute.
A B C D E
Temps écoulé (s)
Longueur de la chute
Variation relative
"Différence première" : variation absolue des valeurs de la colonne B
"Différence seconde" : variation absolue des valeurs de
la colonne D
0 0
1 4,9 4,9
2 19,6 300% 14,7 9,8
3 44,1 125% 24,5 9,8
4 78,4 78% 34,3 9,8
5 122,5 56% 44,1 9,8
La longueur de la chute ne suit ni une croissance exponentielle, ni une croissance linéaire.
La distance parcourue par seconde (colonne D) suit une croissance linéaire.
La loi mathématique de la chute des corps a été établie par Galilée.
La formule reliant distance de chute d au temps écoulé t s’écrit : d = 1
2gt² avec g ≈ 9,8 Longueur de
la chute
0 20 40 60 80 100 120 140
0 1 2 3 4 5 6
4 Généralités sur les suites
4.1 Définition
Une suite est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels.
Exemple :
La suite u : n 2n est la suite des nombres pairs.
L’image du nombre n par u est notée : soit un : notation indicielle
soit u(n) : notation fonctionnelle un est le terme d’indice n ou de rang n.
un+1 est le terme suivant de un. un-1 est le terme précédent de un.
Dans l’exemple : u0 = 0, u1 = 2, u2 = 4, u4 = 8
4.2 Représentation graphique
La représentation graphique de la suite u de terme général un dans un repère (O ; ®i ; ®j ) est l’ensemble des points de coordonnées (n, un) pour n ∈ .
Exemple : Soit v la suite des carrés des entiers naturels, v : n n²
4.3 Détermination explicite
Une suite est déterminée de façon explicite quand chaque terme est exprimé en fonction de son rang.
Exemple : Pour la suite v définie par v(n) = n², le calcul des termes est direct : v(100) = 100² = 10 000
4.4 Détermination récurrente
Quand chaque terme est exprimé en fonction du terme précédent et que l’on connaît le premier terme, on dit que la suite est déterminée de façon récurrente.
Exemple : Soit la suite u définie par u0 = 3 et un+1 = un² + 1
Pour calculer u10, on doit d’abord calculer u9 et donc calculer u8, u7,…, u1.
u1 = 3² + 1 = 10, u2 = 10² + 1 = 101, u3 = 101² + 1 = 10 202, etc ....
5 Suites arithmétiques
5.1 Définition
Une suite arithmétique est une suite qui suit une croissance linéaire.
La suite u est une suite arithmétique si et seulement si la variation absolue un+1 – un est constante pour tout n.
Exemple :
La suite définie par les termes « 1,4,7,10, …. » est une suite arithmétique v qui vérifie vn+1 – vn = 3.
5.2 Détermination récurrente d’une suite arithmétique
La suite u est arithmétique si et seulement si, pour tout rang n, un+1 –= un + r où r est une constante appelée raison de la suite.
Une suite arithmétique est entièrement déterminée par la donnée de son premier terme u0
et de sa raison r.
5.3 Détermination explicite d’une suite arithmétique
Exemple : Soit w la suite arithmétique définie par son premier terme 3 et sa raison 0,4.
Calculons les premiers termes de cette suite.
w0 = 3
w1 = w0 + 0,4 = 3,4
w2 = w1 + 0,4 = w0 + 0,4 + 0,4 = w0 + 2 ×0,4 w3 = w2 + 0,4 = w0 + 0,4 + 0,4 + 0,4 = w0 + 3 ×0,4
Pour une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r : un = u0 + n × r pour tout rang n.
Exemples :
Pour la suite v citée auparavant, on a : vn = 1 + 3n Pour la suite w définie ci-dessus, on a : wn = 3 + 0,4n
Pour la suite arithmétique t de premier terme 20 et de raison –3, on a : tn = 20 - 3n
5.4 Représentation graphique
On a représenté les premiers termes de la suite w précédente :
Puisque wn = 3 + 0,4n, les points représentant la suite w appartiennent à la droite d’équation y = 0,4x + 3.
Dans un repère (O ;→i ;→j ), la représentation graphique d’une suite arithmétique est constituée de points alignés.
6 Suites géométriques
6.1 Définition
Une suite géométrique est une suite qui suit une croissance exponentielle.
La suite u est une suite géométrique si et seulement si la variation relative un+1 – un
un est constante pour tout n.
6.2 Détermination récurrente d’une suite géométrique
Soit k = un+1 – un
un le nombre constant.
On a : un+1 – un = kun un+1 = (k+1) un.
En posant q = k +1, un+1 = q un.est la détermination récurrente de la suite u.
La suite u est géométrique si et seulement si, pour tout rang n, un+1 –= q × un où q est une constante appelée raison de la suite.
Une suite géométrique est entièrement déterminée par la donnée de son premier terme u0
et de sa raison q.
Exemple :
La suite définie par les termes consécutifs « 1 ;3 ;9 ;27 » est une suite géométrique v de premier terme 1 et de raison 3.
Pour tout rang n, on a vn+1 = 3vn.
6.3 Détermination explicite d’une suite géométrique
Exemple : Soit w la suite définie par son premier terme 7 et sa raison 1,4 Calculons les premiers termes de cette suite.
w0 = 7
w1 = 1,4 × w0 = 9,8
w2 = 1,4 × w1 = 1,4 × 1,4 × w0 = 1,4² × w0
w3 = 1,4 × w2 = 1,43 × w0
Pour une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q : un = qn × u0 pour tout rang n.
Exemples :
Pour la suite v citée auparavant, on a : vn = 3n
Pour la suite w définie ci-dessus, on a : wn = 7 × 1,4n
6.4 Exemple de représentation graphique
On a représenté les premiers termes de la suite w précédente :
