On suit le protocole :

(1)

Première spécialité mathématiques − 2020 / 21 A

5

− exe

Ex. 8p 122 Ex. 8p 122 Ex. 8p 122 Ex. 8p 122

k ( x ) = x ³ ⁻ 9 x .

On suit le protocole :

1) k '( x ) = 3 x ² ⁻ 9

2) k '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b ² ⁻ 4 ac = 108 > 0 donc il y a deux racines x 1 = - 108

6 = - 3 et x 2 = 108

6 = 3 . De plus a = 3 > 0 donc la parabole du trinôme 3 x ² ⁻ 9 a les branches vers le haut et ainsi :

3)

x −o - 3 3 +o k ’( x ) + 0 − 0 +

k ( x )

6 3

- 6 3

où k ( 3 ) = ( ) ³ ³ ⁻ ^{9 3} ^{= 3 3} ⁻ ^{9 3} ⁼ ^- ^{6 3}

et k ( - 3 ) = ( ) ^- ³ ³ ⁻ ⁹ ^× ⁽ ^- ³ ^{) =} ^- ^{3 3} ⁺ ^{9 3} ^{= 6 3} ^.

Ex. 9p 122 Ex. 9p 122 Ex. 9p 122 Ex. 9p 122

m ( x ) = - x ³ ⁺ 12 x .

On suit le protocole :

1) m '( x ) = - 3 x ² ⁺ 12

(2)

2) m '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b ² ⁻ 4 ac = 144 > 0 donc il y a deux racines x 1 = - 0 − 144

- 6 = 2 et x 2 = - 0 + 144

- 6 = - 2.

De plus a = - 3 < 0 donc la parabole du trinôme - 3 x ² ⁺ 12 a les branches vers le bas et ainsi :

3)

x −o - 2 2 +o m ’( x ) - 0 + 0 -

m ( x )

16 - 16

où m (2) = - 2 ³ + 12 × 2 = - 8 + 24 = 16 et m ( - 2) = - ( - 2) ³ + 12 × ( - 2) = 8 − 24 = - 16

Ex. 10p 122 Ex. 10p 122 Ex. 10p 122 Ex. 10p 122

g ( x ) = x ³ ⁻ 3 x ² ⁻ 9 x ⁺ 5

On suit le protocole :

1) g '( x ) = 3 x ² ⁻ 6 x ⁻ 9

2) g '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b ² ⁻ 4 ac = 144 > 0 donc il y a deux racines x 1 = 6 − 144

6 = - 1 et x 2 = 6 + 144

6 = 3.

De plus a = 3 > 0 donc la parabole du trinôme 3 x ² ⁻ 6 x ⁻ 9 a les branches vers le haut et ainsi:

3)

x −o - 1 3 +o g ’( x ) + 0 − 0 +

g ( x )

10 - 22

où g ( - 1) = ( - 1) ³ − 3 × ( - 1) ² − 9 × ( - 1) + 5 = 10 et g (3) = 3 ³ − 3 × 3 ² - 9 × 3 + 5 = - 22

Ainsi g admet 10 pour maximum local en x = - 1 et - 22 pour minimum local en x = 3.

(3)

Ex. 11 Ex. 11p 122 Ex. 11 Ex. 11 p 122 p 122 p 122

h ( x ) = - 1

3 x ³ ⁺ 4 x ² ⁻ 7 x

On suit le protocole :

1) h '( x ) = - 1

3 × 3 x ² ⁺ 4 × 2 x ⁻ 7 = - x ² ⁺ 8 x ⁻ 7

2) h '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b ² ⁻ 4 ac = 36 > 0 donc il y a deux racines x 1 = - 8 − 36

- 2 = 7 et x 2 = - 8 + 36 - 2 = 1.

De plus a = - 1 < 0 donc la parabole du trinôme - x ² ⁺ 8 x ⁻ 7 a les branches vers le bas et ainsi :

3)

x −o 1 7 +o h ’( x ) - 0 + 0 -

h ( x )

98

3 - 10 3

où h (1) = - 1

3 × 1 ³ + 4 × 1 ² − 7 × 1 = - 1

3 + 4 − 7 = - 1

3 − 3 = - 10 3 et h (7) = - 1

3 × 7 ³ + 4 × 7 ² − 7 × 7 = - 1

3 × 343 + 196 − 49 = - 343

3 + 147 = - 343

3 + 441

3 = 98 3 .

Ainsi h admet - 10

3 pour minimum local en x = 1 et 98

3 pour maximum local en x = 7.

(4)

Exercice Exercice Exercice Exercice

f ( x ) = 2 x ³ ⁺ 3 x ² ⁺ 12 x ⁺ 1 sur R.

On suit le protocole :

1) f '( x ) = 2 × 3 x ² ⁺ 3 × 2 x ⁺ 12 = 6 x ² ⁺ 6 x ⁺ 12

2) f '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b ² ⁻ 4 ac = - 252 < 0 donc il n'y a pas de racine.

De plus a = 6 > 0 donc la parabole du trinôme 6 x ² ⁺ 6 x ⁺ 12 a les branches vers le haut et ainsi:

3)

x −o +o f ’( x ) +

f ( x )

Exercice Exercice Exercice Exercice

f ( x ) = x ³ ⁻ 6 x ² ⁺ 12 x ⁻ 4 sur R.

On suit le protocole :

1) f '( x ) = 3 x ² ⁻ 6 × 2 x ⁺ 12 = 3 x ² ⁻ 12 x ⁺ 12

2) f '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b ² ⁻ 4 ac = 0 < 0 donc il y a une racine : x 0 = - b 2 a ⁼ ^-

- 12 6 = 2.

De plus a = 3 > 0 donc la parabole du trinôme 3 x ² ⁻ 12 x ⁺ 12 a les branches vers le haut et

On suit le protocole :

Première spécialité mathématiques − 2020 / 21 A

− exe

Ex. 8p 122 Ex. 8p 122 Ex. 8p 122 Ex. 8p 122

k ( x ) = x 3 − 9 x .

On suit le protocole :

1) k '( x ) = 3 x 2 − 9

2) k '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b 2 − 4 ac = 108 > 0 donc il y a deux racines x 1 = - 108

6 = - 3 et x 2 = 108

6 = 3 . De plus a = 3 > 0 donc la parabole du trinôme 3 x 2 − 9 a les branches vers le haut et ainsi :

3)

x −o - 3 3 +o k ’( x ) + 0 − 0 +

k ( x )

6 3

- 6 3

où k ( 3 ) = ( ) 3 3 − 9 3 = 3 3 − 9 3 = - 6 3

et k ( - 3 ) = ( ) - 3 3 − 9 × ( - 3 ) = - 3 3 + 9 3 = 6 3 .

Ex. 9p 122 Ex. 9p 122 Ex. 9p 122 Ex. 9p 122

m ( x ) = - x 3 + 12 x .

On suit le protocole :

1) m '( x ) = - 3 x 2 + 12

2) m '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b 2 − 4 ac = 144 > 0 donc il y a deux racines x 1 = - 0 − 144

- 6 = 2 et x 2 = - 0 + 144

- 6 = - 2.

De plus a = - 3 < 0 donc la parabole du trinôme - 3 x 2 + 12 a les branches vers le bas et ainsi :

3)

x −o - 2 2 +o m ’( x ) - 0 + 0 -

m ( x )

16

- 16

où m (2) = - 2 3 + 12 × 2 = - 8 + 24 = 16 et m ( - 2) = - ( - 2) 3 + 12 × ( - 2) = 8 − 24 = - 16

Ex. 10p 122 Ex. 10p 122 Ex. 10p 122 Ex. 10p 122

g ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 5

On suit le protocole :

1) g '( x ) = 3 x 2 − 6 x − 9

2) g '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b 2 − 4 ac = 144 > 0 donc il y a deux racines x 1 = 6 − 144

6 = - 1 et x 2 = 6 + 144

6 = 3.

De plus a = 3 > 0 donc la parabole du trinôme 3 x 2 − 6 x − 9 a les branches vers le haut et ainsi:

3)

x −o - 1 3 +o g ’( x ) + 0 − 0 +

g ( x )

10

- 22

où g ( - 1) = ( - 1) 3 − 3 × ( - 1) 2 − 9 × ( - 1) + 5 = 10 et g (3) = 3 3 − 3 × 3 2 - 9 × 3 + 5 = - 22

Ainsi g admet 10 pour maximum local en x = - 1 et - 22 pour minimum local en x = 3.

Ex. 11 Ex. 11p 122 Ex. 11 Ex. 11 p 122 p 122 p 122

h ( x ) = - 1

3 x 3 + 4 x 2 − 7 x

On suit le protocole :

1) h '( x ) = - 1

3 × 3 x 2 + 4 × 2 x − 7 = - x 2 + 8 x − 7

2) h '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b 2 − 4 ac = 36 > 0 donc il y a deux racines x 1 = - 8 − 36

- 2 = 7 et x 2 = - 8 + 36 - 2 = 1.

De plus a = - 1 < 0 donc la parabole du trinôme - x 2 + 8 x − 7 a les branches vers le bas et ainsi :

3)

x −o 1 7 +o h ’( x ) - 0 + 0 -

h ( x )

98

3

- 10 3

où h (1) = - 1

3 × 1 3 + 4 × 1 2 − 7 × 1 = - 1

3 + 4 − 7 = - 1

3 − 3 = - 10 3 et h (7) = - 1

3 × 7 3 + 4 × 7 2 − 7 × 7 = - 1

3 × 343 + 196 − 49 = - 343

3 + 147 = - 343

3 + 441

3 = 98 3 .

Ainsi h admet - 10

3 pour minimum local en x = 1 et 98

3 pour maximum local en x = 7.

Exercice Exercice Exercice Exercice

f ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 + 12 x + 1 sur R.

On suit le protocole :

k ( x ) = x ³ ⁻ 9 x .

1) k '( x ) = 3 x ² ⁻ 9

∆ = b ² ⁻ 4 ac = 108 > 0 donc il y a deux racines x 1 = - 108

6 = 3 . De plus a = 3 > 0 donc la parabole du trinôme 3 x ² ⁻ 9 a les branches vers le haut et ainsi :

où k ( 3 ) = ( ) ³ ³ ⁻ ^{9 3} ^{= 3 3} ⁻ ^{9 3} ⁼ ^- ^{6 3}

et k ( - 3 ) = ( ) ^- ³ ³ ⁻ ⁹ ^× ⁽ ^- ³ ^{) =} ^- ^{3 3} ⁺ ^{9 3} ^{= 6 3} ^.

m ( x ) = - x ³ ⁺ 12 x .

1) m '( x ) = - 3 x ² ⁺ 12

∆ = b ² ⁻ 4 ac = 144 > 0 donc il y a deux racines x 1 = - 0 − 144

De plus a = - 3 < 0 donc la parabole du trinôme - 3 x ² ⁺ 12 a les branches vers le bas et ainsi :

où m (2) = - 2 ³ + 12 × 2 = - 8 + 24 = 16 et m ( - 2) = - ( - 2) ³ + 12 × ( - 2) = 8 − 24 = - 16

g ( x ) = x ³ ⁻ 3 x ² ⁻ 9 x ⁺ 5

1) g '( x ) = 3 x ² ⁻ 6 x ⁻ 9

∆ = b ² ⁻ 4 ac = 144 > 0 donc il y a deux racines x 1 = 6 − 144

De plus a = 3 > 0 donc la parabole du trinôme 3 x ² ⁻ 6 x ⁻ 9 a les branches vers le haut et ainsi:

où g ( - 1) = ( - 1) ³ − 3 × ( - 1) ² − 9 × ( - 1) + 5 = 10 et g (3) = 3 ³ − 3 × 3 ² - 9 × 3 + 5 = - 22

3 x ³ ⁺ 4 x ² ⁻ 7 x

3 × 3 x ² ⁺ 4 × 2 x ⁻ 7 = - x ² ⁺ 8 x ⁻ 7

∆ = b ² ⁻ 4 ac = 36 > 0 donc il y a deux racines x 1 = - 8 − 36

De plus a = - 1 < 0 donc la parabole du trinôme - x ² ⁺ 8 x ⁻ 7 a les branches vers le bas et ainsi :

3 × 1 ³ + 4 × 1 ² − 7 × 1 = - 1

3 × 7 ³ + 4 × 7 ² − 7 × 7 = - 1

f ( x ) = 2 x ³ ⁺ 3 x ² ⁺ 12 x ⁺ 1 sur R.

1) f '( x ) = 2 × 3 x ² ⁺ 3 × 2 x ⁺ 12 = 6 x ² ⁺ 6 x ⁺ 12

∆ = b ² ⁻ 4 ac = - 252 < 0 donc il n'y a pas de racine.

De plus a = 6 > 0 donc la parabole du trinôme 6 x ² ⁺ 6 x ⁺ 12 a les branches vers le haut et ainsi:

f ( x ) = x ³ ⁻ 6 x ² ⁺ 12 x ⁻ 4 sur R.

1) f '( x ) = 3 x ² ⁻ 6 × 2 x ⁺ 12 = 3 x ² ⁻ 12 x ⁺ 12

∆ = b ² ⁻ 4 ac = 0 < 0 donc il y a une racine : x 0 = - b 2 a ⁼ ^-

De plus a = 3 > 0 donc la parabole du trinôme 3 x ² ⁻ 12 x ⁺ 12 a les branches vers le haut et

où f (2) = 2 ³ − 6 × 2 ² + 12 × 2 − 4 = 4