MAT2011 : Analyse II
Solution ` a Devoir 1
Professeur : Steven Lu
Si vous avez des questions avant l’examen, je serai dans mon bureau tout apr`es midi lundi.
Aussi, JE PERMET JUSQU’A TROIS FEUILLES DES NOTES DANS L’EXAMEN.
1 [20 points] SoitA={0} ∪ {1n|n∈Z}, B =Q∩(0,1).
(a) Est-ce que A est un ferm´e dans R? dans Q?
OUI pour LE DEUX, carAest compact : 0 est le seul point d’accumulation de tout sous-ensemble infini deAet 0∈A(caracterisation de Bolzano-Weierstrass (B.W.)). Rappelons qu’un compact est toujours ferm´e et born´e.
(b) Est-ce que B est un ouvert dansR? dans Q?
OUI pour Q par d´efinition et NON pour R car B contient aucun intervalle ouvert de R qui est non-vide (et donc B◦ =∅ dans R).
(c) Est-ce que A\ {0} est un ouvert dans A? dans Q?
OUI dans A car R \ {0} est un ouvert dans R, mais NON dans Q car A contient aucun intervalle ouvert non-vide de Q (ce qui est toujours infini), et donc A◦ =∅ dans Q.
(d) D´eterminer les int´erieurs, les adh´erences et les fronti`eres de A et B dans R et dans Q respectivement.
Dans R:
A◦ =∅, A=A et ∂A=A; B◦ =∅, B = [0,1] et ∂B= [0,1] ; Dans Q:
A◦ =∅, A=A et ∂A=A;
B◦ =∅, B =B ∪ {0,1} et∂B ={0,1}.
2 [20 points] Pour chaque fonction suivante, d´eterminer avec justification si la fonction est uniform´ement continue sur l’intervalle (0,∞) et si la fonction y est Lipschitzienne (et si oui, un rapport Lipschitzienne) :
Rappelons qu’une fonction sur un intervalle I y est uniform´ement continue si pour tout > 0 assez petit, il existe un δ > 0 tel que x, y ∈ I, |x − y| < δ =>
|f(x)−f(y)|< .(**)
Rappelons aussi que toute fonction naturelle (i.e. n’est pas d´efinie par morceau par des fonctions naturelle) est continue sur son domaine de d´efinition.
(a) (i)f(x) =√
x est uniform´ement continue sur (0,∞) : Sol’n 1 : V´erifier que pour x≥ y ≥ 0,√
x−√ y ≤√
x−y (Piste : prendre le carr´e de√
x“≤(?) ”√ y+√
x−y). Cela v´erifie qu’il suffit de prendre δ=2. Sol’n 2 :f est uniform´ement continue surA= [0,2] carf y est continue etAest compact. Donc pour tout suffissament petit, il existe un δ1 pour la condition (**) dansA et on peut supposer que δ1 <1 (pourquoi ?). De plus,f0(x)<1/2 pour x ∈ B = (1,∞) et donc x, y ∈ B, |x−y| < δ2 => |f(x)−f(y)| =
|f0(ζ)(x−y)| < δ2/2 (le th´eor`eme des accroissements finis, ζ >1) et on peut prendre δ2 = 2. Par consequent, en prenant δ = min(δ1, δ2) et en observant que |x−y| < δ => x, y sont soit dans A soit dans B, (**) s’obtient dans [0,∞) = A∪B et doncf est uniform´ement continue sur (0,∞).
Remarque : Le mˆeme raisonnement nous donne le fait que si deux intervalles A, B est tels que A∩B contient un ouvert non-vide, alors une fonction uni- form´ement continue surA et sur B est uniform´ement continue surA∪B.
(ii) f(x) =√
x n’est pas Lipshitzienne sur (0,∞) :
|f(x)−f(y)| = (|f0(ζ)|)|(x−y)| et f0(ζ) = 1/(2√
ζ) → ∞ lorsque x, y → 0 (car ζ est entre x ety).
(b) (i)f(x) = logx n’y est pas uniform´ement continue :
Sol’n 1 : logx−logy ≥ <=> x/y ≥ e <=> x −y ≥ (e −1)/y. Donc, condition (**) est viol´ee si on choisi (e−1)/y =δ, i.e., y = (e−1)/δ, ce qui est positive et donc dans (0,∞) pour tout choix de δ >0.
Sol’n 2 : logxn’est pas born´e sur (0,1) et donc n’est pas uniform´ement continue sur (0,∞) par le fait (exercise) qu’une fonction uniform´ement continue est born´e sur tout intervalle born´e.
(ii) Par cons´equent, f n’y est pas Lipschitzienne.
(c) (i)f(x) =xsin(x12) y est uniform´ement continue :
Soit f(0) = 0. Alors f est continue sur [0,2] et donc y est uniform´ement continue. De plus,f l’est sur [1,∞) car sa d´eriv´eef0(x) = sin(x12)−2x12 cos(x12) y est born´e puisque limx→∞f0(x) = 0. Donc, Sol’n 2 de (a) s’applique.
(ii) f n’y est pas Lipschizienne car |f0(ζn)|= 2nπ → ∞ lorsque ζn = √1
2nπ >0 tend vers 0, (n ∈N), et on peut prendre x, y →ζn lorsque n → ∞.
3 [15 points] Construire deux ferm´esF1etF2dansRtel queF1∩F2 =∅et dist(F1, F2) = 0. (Piste : On peut prendre F1 = N.) Montrer que ce n’est plus possible si un des F1 etF2 est compact.
Partie 1 :F1 =NetF2 ={n+n+11 |n∈N}. Alors dist(F1, F2)≤(n+n+11 )−n = n+11 pour tout n∈N.
Partie 2 : dist(F1, F2) = 0 => il existent des suites (xn) dans F1 et (yn) dans F2 telles que |xn−yn| → 0 lorsque n → ∞ (car dist est d´efini par inf). Si un des F1 et F2 est compact, et on peut supposer que c’est F1, alors il existes un sous-suite (xnk) de xnqui converge vers un pointxdansF1 par (B.W.). Puisque|xnk−x| →0, in´egalit´e triangulaire implique (pourquoi ?) que |ynk−x| → 0 lorsque n → ∞, i.e., x est un point d’adherence deF2. Donc x∈F2 (car F2 est ferm´e) et F1∩F2 ⊃ {x}
est non-vide.
4 [15] Soitf, g : [a, b]→R des fonctions continues telles quef ≥g sur [a, b]. Montrer que
Z b
a
f(x)dx≥ Z b
a
g(x)dx
avec ´egalit´e si et seulement si f =g sur [a, b].
Partie 1 : Puisque supf ≥infg sur tout intervalle, la somme sup´erieur def est plus grande que la somme inf´erieur de g pour toute partition de [a, b]. Donc l’in´egalit´e de l’int´egrales d´ecoule de l’int´egrabilit´e de f etg, qui sont continues.
Partie 2 : Si f ≥g mais f 6=g sur [a, b], alors il existex0 tel que f(x0)6=g(x0). Par la continuit´e de f et g, il existe un δ tel que f(x) > g(x) +δ sur (x0−δ, x0+δ).
Doncf > g+ho`uh(x) =δ(1− |x−x0|) sur (x0−δ, x0+δ) eth= 0 ailleurs. Donc, dans ce cas on a par Partie 1,
Z b
a
f(x)dx≥ Z b
a
(g(x)+h(x))dx= Z b
a
g(x)+
Z b
a
h(x)dx= Z b
a
g(x)+δ >
Z b
a
g(x)dx.
5 [15 points] Rappel qu’on appelle un e.v.n. complet un espace de Banach. Montrer que Rn est un espace de Banach avec n’importe quelle norme dans deux ´etapes : (1) Montrer que le produit de deux e.v.n. complets (Ei,| |i), i= 1,2,avec le norme produite|(x1, x2)|=max(|x1|1,|x2|2) est complet ; (2) Montrer que toutes les normes dansRnsont ´equivalentes. Conclure qu’un sous-espace vectoriel deR-dimension finie d’un espace vectoriel est toujours un ferm´e.
Partie (1) : On applique le mˆeme raisonnement (exercice) que pour le produit du deux espace compact, fait dans le cours.
Partie (2) : Fait dans un exercice : utilise le fait que la boule ou la sph`ere unit´e S dans la norme | |∞ est compact et comparer les normes sur S en utilisant le fait qu’une norme est toujours une fonction continue par rapport d’une autre norme (v´erifier) et le th´eor`eme des valeurs extrˆemes.
Partie (3) : Comme le compact, on a fait un lemme dans le cours qui dit qu’un complet est toujours un fern´e dans un espace m´etrique et qu’un ferm´e dans un complet est toujours complet (vous devriez ˆetre capable de le prouver). Puisque Rn est complet avec n’importe quelle norme, il est toujours ferm´e dans un espace vectoriel norm´e.
6 [15 points] Montrer que siA est une partie dense d’un espace m´etrique complet X, i.e. A = X, et f est une fonction r´eelle et uniform´ement continue sur A, alors il existe une fonction uniform´ement continueF surX telle que F|A =f.
(Piste : Pour x ∈X et une suite (an) dans A qui tend vers x, v´erifier que la limite limn→∞f(an) existe et qu’elle est ind´ependante du choix de la suite (an). Soit F(x) cette limite, et montrer que F est uniform´ement continue sur X.)
Existence d’uneF bien d´efinie : Soitx∈X et (xn) et (yn) deux suite dansAqui tend versx, ce qui existent carAest dense dansX. Alors limn→∞|xn−yn|= 0 (l’in´egalit´e triangulaire ou la continuit´e de | |) et donc limn→∞|f(xn)−f(yn)| < pour tout > 0 par la continuity uniforme de f, i.e. limn→∞|f(xn)−f(yn)| = 0. Puique (xn) est une suite de Cauchy (par l’in´egalit´e triangulaire) et f est uniform´ement continue, on a pour tout > 0 il existe un δ > 0 tel que |f(xn)−f(xm)| < pour
|xn−xm|< δ, ce qui est vrai pour n, m > N pour unN assez grand car (xn) est de Cauchy. Donc (f(xn)) et de mˆeme fa¸con (f(yn)) est de Cauchy dans R. Puisque R est complet, il existent des limites a etb des deux suites respectivement et|a−b|= limn→∞|f(xn)−f(yn)|= 0. Donc a=b et donc la d´efinition F(x) = limn→∞f(xn) est ind´ependante du choix de la suite (xn) qui tend vers x.
La continuit´e uniforme de F : Pour >0, il existe δ >0 tel que |xn−yn|< δ =>
f(xn)− f(yn) < (continuit´e uniforme de f). Alors |F(x)−F(y)| < d`es que
|x−y| < δ car si l’on prend x = limn→∞xn et y = limn→∞yn alors |xn−yn| < δ pour n assez grand (pourquoi ? deux fa¸con : continuit´e de la distance et l’in´egalit´e triangulaire).
