Devoir surveillé 6

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L’emploi des calculatrices personnelles est interdit.

Instructions générales

Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction. La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.

Toute application numérique ne comportant pas d'unité ne donnera pas lieu à attribution de points.

Les divers problèmes sont indépendants. Les diverses parties peuvent être traitées dans l'ordre choisi par le candidat. Le candidat prendra soin de bien numéroter les questions.

Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les résultats numériques peuvent être donnés sous forme approchée.

Il est proposé à titre indicatif la répartition suivante des points : Physique : - première partie : 50%

- deuxième partie : 50%

Problème 1 :

(adapté de CCP TSI 2007 + CCP TSI 2010)

Dans tout le problème, la permittivité électrique de l’air est égale à celle du vide, notée ₀. De même, la perméabilité magnétique de I'air est égale à celle du vide, notée ₀.

Première partie : préliminaires

On considère un champ électromagnétique

 

^{E B, où E} désigne le champ électrique et B le champ magnétique.

1.1) Ecrire les quatre équations de Maxwell en présence de charges et de courants en précisant bien la signification de tous les termes intervenant dans ces équations.

Que deviennent ces équations dans le vide ?

1.2) Déterminer les équations de propagation des champs E et B dans une région sans charges ni courants.

1.3) Montrer qu’une onde électromagnétique dont les champs E et B sont donnés par les expressions ci-dessous satisfait aux équations de propagation précédentes à condition que c soit lié à

0 et ₀ par une relation que l’on démontrera.

 

 

0

0

, cos

, cos

E x t E t x c B x t B t x

c





     

   

  

   

     

   



où E₀ et B₀ sont des vecteurs constants

Quelle est la signification physique de c ?

1.4) Soit une onde plane progressive monochromatique, de pulsation  et de vecteur d’onde k se propageant dans le vide. Son champ électrique E et son champ magnétique B en un point M de l’espace repéré par le vecteur OM r peuvent s’écrire sous la forme :

 

 

0

0

cos cos

E E t k r

B B t k r





   



  

 où E₀ et B₀ sont des vecteurs constants

En utilisant les équations de Maxwell et le formulaire donné en début d’énoncé, démontrer que : - le champ électrique E est perpendiculaire à la direction de propagation donnée par le vecteur d’onde k,

- le champ magnétique B est perpendiculaire à la direction de propagation donnée par le vecteur d’onde k,

- le champ électrique E et le champ magnétique B sont perpendiculaires entre eux, - les normes du champ électrique et du champ magnétique sont telles que : E

B  c

On pourra éventuellement, pour simplifier les notations lors des calculs, décomposer les vecteurs

E0 , B₀ et k sur les trois axes d’un repère orthonormé (Oxyz) :

0 0

0 0 0 0

0 0

x x x

y y y

z z z

E B k

E E B B k k

E B k

1.5) Donner l’expression du vecteur de Poynting  associé à une onde électromagnétique

 

^{E B, .}

Quelle est la signification physique de ce vecteur ? Quelle est l’unité du système international qui lui correspond ?

1.6) Déterminer l’expression du vecteur de Poynting  relatif à une onde plane progressive monochromatique du type de l’onde décrite précédemment dans la question 1.4. On donnera l’expression de en fonction de c, ₀, d’un vecteur unitaire que l’on précisera et de E (norme du vecteur champ électrique).

Deuxième partie : réflexion d’une onde plane progressive monochromatique sur un conducteur parfait

On se place dans l’espace rapporté à un repère cartésien



^{O e e e, x, y, z}



^.

Une onde plane progressive monochromatique à polarisation rectiligne de pulsation  et de vecteur d’onde k se propage dans le vide dans la direction (Ox), dans le sens des x croissants :

 

0cos

i y

E E tkx e avec E₀ constant.

En x = 0, elle arrive sur la surface plane d’un miroir métallique parfaitement conducteur (on admet que dans un tel conducteur, les champsE et B sont nuls) et donne naissance à une onde réfléchie se propageant dans la direction (Ox) dans le sens des x décroissants : E_z E0_rcos



tkx



.

Figure 1. Réflexion d’une onde plane progressive monochromatique sur un conducteur parfait Les relations de passages du champ électrique et du champ magnétique à l’interface entre deux milieux sont données par :

 

2

 

1

 

^{1 2}

 

2

 

1 0

 

^{1 2}

0

s

E M E M  M n et B M B M j M n

 ^  ^

    

où l’on note n12 la normale en un point M de l’interface, orientée du milieu 1 vers le milieu 2, M1 et M2 deux points dans chaque demi-espace au voisinage du point M, σ(M) la densité surfacique de charge au point M et j M_s( ) la densité surfacique de courants au point M.

1.7) Réécrire ces conditions aux limites vérifiées par les champs E et B sur le plan d’équation x = 0 qui limite l’espace entre le vide et le miroir métallique.

1.8) Montrer en utilisant les relations données dans la question précédente que le champ électrique réfléchi est lui aussi polarisé suivant l’axe Oy et établir l’expression du vecteur E_0r en fonction de E₀ et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.

1.9) Déterminer les expressions en fonction du temps du champ magnétique incident B_i et du champ magnétique réfléchi B_r. On exprimera B_i et B_r en fonction de E₀, , k, t, x, c et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.

1.10) Déterminer le champ électrique E et le champ magnétique B du champ électromagnétique résultant de l’onde incidente et de l’onde réfléchie dans le demi-espace x < 0. Caractériser l’onde résultante.

1.11) Déterminer l’expression du vecteur de Poynting  de l’onde résultante ainsi que sa valeur moyenne  au cours d’une période 2

T 

  . Commenter.

Troisième partie : superposition de deux ondes planes progressives monochromatiques

Une onde plane progressive monochromatique de pulsation  et de vecteur d’onde se propage dans le vide.

Un point M quelconque de l’espace et tel que OM r est repéré par ses coordonnées (x, y, z).

k1 est donné par ^k1k



^{cosexsinez}



où k est une constante et k c

 .

Le champ électrique de cette onde est polarisé rectilignement dans la direction parallèle à (Oy) :

 

1 0cos 1 _y

E E t k r e .

Une deuxième onde plane progressive monochromatique, de même pulsation  , de même amplitude et de vecteur d’onde ^{k2 k}



^{cosexsinez}



se superpose à la première :

 

2 0cos 2 _y

E E t k r e .

Figure 2. Superposition de deux ondes planes progressives monochromatiques

1.12) Déterminer l’expression du champ électrique E de l’onde globale qui résulte de la superposition des deux ondes précédentes. On exprimera E en fonction de , k, , E₀, z, t, x et d’un vecteur unitaire et on mettra sous la forme du produit d’un terme dépendant du temps et d’un terme indépendant du temps.

1.13) Quelle est la direction de propagation de cette onde ? Est-elle plane ?

1.14) Dans cette question, il sera admis sans démonstration que la valeur moyenne  du vecteur de Poynting  est proportionnelle au carré de l’amplitude du vecteur champ électrique E.

On se place sur un écran perpendiculaire à l’axe Ox et d’équation x = a (avec a constante positive).

Indiquer comment est répartie l’énergie sur cet écran ?

Quel phénomène physique cette répartition d’énergie évoque-t-elle ?

Problème 2 :

(adapté de e3a PSI 2009 + CCP TSI 2007)

La propagation de l’onde lumineuse s’effectue dans un milieu transparent, diélectrique, linéaire, homogène et isotrope.

La vitesse de la lumière dans le vide est notée c3.10⁸m s. ^1.

Une source lumineuse ponctuelle située en S émet, de manière pulsée, des trains d’ondes lumineuses supposées de même pulsation . Dans le modèle scalaire de la lumière, la fonction de l’onde monochromatique est caractérisée en un point M et à l’instant t par le signal lumineux ou vibration lumineuse : ^{s M t}



^,



^acos



^{ t}



^{M t,}

 

, où a est l’amplitude supposée constante de l’onde et ^



^{M t,}



son retard de phase en M et à l’instant t par rapport au point de référence S.

Le modèle des trains d’ondes suppose que la phase à la source _S reste constante pendant des intervalles de temps de durée constante _c entre lesquels elle change aléatoirement de valeur.

L’onde émise durant cet intervalle de temps appelé temps de cohérence est nommée « train d’onde ». Le train d’onde est ainsi limité dans le temps et se propage dans le vide à la célérité c. La phase de l’onde _S à la source S prend une nouvelle valeur aléatoire à chaque nouveau train d’onde.

Première partie : Rayon lumineux

La lumière se propage de S à M le long d’un rayon lumineux avec pour vitesse au point P :

   

^c

v P n P où ^{n P}

 

est l’indice de réfraction du milieu en P ; par définition, le chemin optique

(SM) entre les points S et M du rayon lumineux est :

 

^M

   

S

SM 



n P dl P . L’élément d’arc de la courbe suivie par la lumière est noté ^{dl P}

 

; il est définit en P et est parcouru par la lumière à la vitesse de propagation ^{v P}

 

pendant la durée dt.

L’onde se propage sans déformation, le signal ^{s M t}



^,



reproduit le signal de la source avec un retard

 

^M

 .

2.1) Relier le chemin optique (SM) à la durée de propagation du signal ^

 

^M . Conclure quant à l’interprétation du chemin optique.

2.2) Dans le domaine visible, pour une longueur d’onde moyenne dans le vide _m de l’ordre de 600 nm, calculer l’ordre de grandeur de la pulsation _m du signal lumineux.

2.3) Etablir l’expression du retard de phase P_M 



M t^,

  

 ^P,t lié à la propagation entre P et M, en fonction du chemin optique (PM) et de la longueur d’onde ₀ de l’onde étudiée dans le vide.

2.4) Définir une surface d’onde. Justifier le caractère d’onde sphérique associé au signal lorsque celui-ci se propage dans un milieu d’indice n constant. Enoncer le théorème de Malus.

2.5) Quel instrument d’optique permet d’obtenir une onde plane à partie d’une source ponctuelle ? Illustrer votre réponse à l’aide d’un schéma faisant apparaître les surfaces d’onde.

L’intensité lumineuse ^{I M}

 

est mesurée par un détecteur quadratique placé en M sensible à la valeur moyenne temporelle de ^s2



^{M t,}



. Elle est conventionnellement définie au point M (à une constante multiplicative près) par : I M

 

 s²



M t,



.

Cette moyenne temporelle est effectuée sur un temps de réponse _R du détecteur toujours très grand devant les temps de cohérence temporelle des sources supposés identiques à _C. Ce temps de cohérence est la durée moyenne de passage des trains d’ondes en un point donné de l’espace.

2.6) Donner des ordres de grandeurs de temps de cohérence de sources usuelles. Dans le cas du laser de longueur d’onde moyenne _m, relier le temps de cohérence à son étendue spectrale . Faire l’application numérique.

Deuxième partie : Interférences entre deux sources ponctuelles

L’intensité lumineuse ^{I M}

 

résulte de la superposition en M de deux ondes issues de deux sources ponctuelles S₁ et S₂ de longueurs d’onde dans le vide différentes ₁ et ₂. Elles sont notées respectivement : s M t1



,



a1cos



1t1



M t,

 

et s2



M t,



a2cos



2t2



M t,

 

.

2.7) Exprimer l’intensité lumineuse ^{I M}

 

en fonction des intensités I₁ et I₂ de chacune des ondes, de leurs pulsations respectives ₁ et ₂ et du déphasage 2/1



M t,



2



M t,



1



M t,



de l’onde issue de S₂ par rapport à l’onde issue de S₁. Identifier le terme d’interférences.

2.8) A quelle condition, relative au terme d’interférence, observe-t-on des interférences lumineuses en M ? Les ondes sont alors dites cohérentes. Que vaut l’intensité lumineuse ^{I M}

 

pour des ondes incohérentes ? Qualifier cet éclairement.

L’intensité lumineuse ^{I M}

 

résulte maintenant de la superposition en M de deux ondes issues de deux sources ponctuelles S₁ et S₂ de même longueur d’onde dans le vide ₀. Elles sont notées respectivement : s M t1



,



a1cos



0t1



M t,

 

et s2



M t,



a2cos



0t2



M t,

 

.

2.9) Déterminer le déphasage 2/1



M t,



2



M t,



1



M t,



en fonction de la longueur d’onde dans le vide ₀, de la différence de chemin optique notée 

  

M  S M2

 

 S M1



et des phases _S1 et _S2 des signaux émis aux points sources S₁ et S₂.

2.10) Deux ondes synchrones donnent-elles nécessairement des interférences ? Le contraste du phénomène d’interférences est défini par : ^{MAX MIN}

MAX MIN

I I

C I I

 

 .

Pour des ondes lumineuses parfaitement cohérentes, l’évolution de l’intensité lumineuse ^{I M}

 

est définie en fonction du déphasage 2/1



M t,



par : I M

 

 I1 I22 I I1 2cos



2/1

 

M



.

2.11) Tracer ^{I M}

 

en fonction de 2/1

 

M . Exprimer et préciser sur le graphe les éclairements maximum I_MAX et minimum I_MIN en fonction de I₁ et I₂. Déterminer le contraste C en fonction de

I1 et I₂. Dans quelle situation le contraste est-il maximal ?

Troisième partie : dispositif des trous d’Young

On réalise, dans l’air, l’expérience des trous d’Young à l’aide du dispositif décrit et schématisé ci- dessous.

Un laser, de longueur d’onde dans le vide  , émet un faisceau lumineux cylindrique d’axe z’z.

On suppose par la suite, sauf mention contraire dans la question 1/, que le faisceau du laser éclaire entièrement et de manière uniforme les différentes ouvertures qui sont placées sur son passage.

Une plaque opaque (P), percée de deux trous circulaires S₁ et S₂ de même taille et de faibles dimensions, est placée perpendiculairement à l’axe z’z.

On note O’ le milieu du segment



S S1 2



. Le point O’ appartient à l’axe z’z.

La distance entre les centres des deux trous S₁ et S₂ est notée a.

Le phénomène d’interférences est observé sur un écran (E) placé perpendiculairement à l’axe z’z.

Soit O le point de l’écran (E) appartenant à l’axe z’z.

La distance entre la plaque (P) et l’écran (E) est égale à D. On a ainsi DO O' . L’espace est rapporté au repère cartésien



^{O e e e, x, y, z}



défini comme suit :

ez : vecteur unitaire de l’axe Oz, orienté de la plaque (P) vers l’écran (E).

ex : vecteur unitaire de l’axe Ox, parallèle à



S S1 2



et orienté de S₂ vers S₁.

ey : vecteur unitaire de l’axe Oy tel que la base



^{e e ex, y, z}



soit orthonormée directe.

Dans tout le problème, l’indice de réfraction de l’air sera pris égal à 1.

Figure 3. Dispositif des trous d’Young

2.12) Nous nous plaçons, uniquement pour cette question, dans le cas où le laser dont nous disposons ne permet pas d’éclairer simultanément les deux trous S₁ et S₂ de la plaque (P) : le diamètre du faisceau laser est inférieur à la distance a.

Nous souhaitons réaliser un dispositif permettant d’élargir le faisceau laser. Pour cela nous disposons de deux lentilles : une lentille divergente L₁ et une lentille convergente L₂ de distances focales respectives f '₁ et f '₂, telles que f'₁  f'₂.

On dispose les deux lentilles de telle sorte que le foyer image de la lentille divergente L₁ soit confondu avec le foyer objet de la lentille convergente L₂ .

La lentille est placée avant la lentille sur le trajet du faisceau laser.

Soit d_av le diamètre du faisceau laser avant son élargissement et d_ap le diamètre du faisceau laser après son élargissement.

Faire un schéma du montage ainsi réalisé et mettant en évidence l’élargissement du faisceau incident.

Calculer le rapport ^ap

av

d

d en fonction de f'₁ et f '₂.

2.13) Quelle est la couleur émise par le laser dans le cas d’un laser He-Ne de longueur d’onde dans le vide 632,8nm ?

Quelles sont les longueurs d’onde et les couleurs respectives qui correspondent aux limites du spectre de la lumière visible ?

2.14) En se référant uniquement aux lois de l’optique géométrique, quelle devrait être l’allure de la figure observée sur l’écran (E) ?

Pour quelle raison l’optique géométrique ne permet-elle pas de prévoir l’existence d’un champ d’interférences dans le cas du dispositif des trous d’Young ?

A quel phénomène physique doit-on faire appel pour en comprendre l’existence ? 2.15) Réaliser un schéma représentant le champ d’interférences.

Les réponses aux questions suivantes seront justifiées. Une démonstration quantitative ne sera toutefois pas exigée.

2.16) Qu’observe-t-on sur l’écran (E) ? Décrire précisément la figure d’interférences obtenue.

2.17) Qu’observe-t-on sur l’écran (E) si l’on obture l’un des deux trous ?

2.18) Comment est modifiée la figure d’interférences si on translate la plaque (P) suivant l’axe Ox ? suivant l’axe Oy ?

2.19) Comment est modifiée la figure d’interférences si on translate l’écran (E) suivant l’axe z’z ? Soit un point M de l’écran (E), de coordonnées (x, y, 0) dans le repère



^{O e e e, x, y, z}



^.

2.20) Exprimer les coordonnées des trous S₁ et S₂ dans le repère



^{O e e e, x, y, z}



^.

Exprimer les distances S M₁ et S M₂ , respectivement entre les trous S₁ et S₂ et le point M. On exprimera S M₁ et S M₂ en fonction de a, D, x et y.

En déduire l’expression de la différence de chemin optique 

 

M S M2 S M1 au point M entre les rayons issus de S₁ et S₂. On exprimera ^

 

^M en fonction de a, D, x et y. Le calcul sera mené sans aucune approximation.

2.21) La distance a entre les deux trous étant petite par rapport à la distance d’observation D, et le point M étant proche du point O, on peut considérer que a, x, y sont très petits devant D.

En faisant un développement limité au premier ordre de l’expression de ^

 

^M obtenue précédemment, en déduire l’expression simplifiée de ^

 

^M en fonction de a, D et x.

2.22) En prenant en compte l’expression de ^

 

^M calculée à la question précédente, expliquer comment serait modifiée la figure d’interférences si on remplaçait les deux trous par deux fentes très fines appartenant à la plaque (P), parallèles à l’axe Oy et distantes de a ?

2.23) On représente pars t1

 

s t2

 

s0cos

 

t l’expression des ondes respectivement aux points S1 et S₂. s₀ représente l’amplitude de l’onde considérée, c représente la célérité de la lumière dans le vide et t le temps.

On néglige l’atténuation de l’onde entre les trous et le point M.

Exprimer l’intensité lumineuse I_M au point M en fonction de s₀,  et  puis en fonction de s₀, a, x,  et D.

2.24) Calculer, en détaillant clairement le raisonnement effectué, l’expression de l’interfrange i de la figure d’interférences. Exprimer i en fonction de a,  et D.

2.25) Tracer l’allure du graphe de I_M en fonction de x.

2.26) Quelle est la position de la frange d’ordre 0 ?

Quatrième partie : modification du dispositif interférentiel

Nous nous plaçons encore pour cette partie dans le cas où la distance a entre les deux trous étant petite par rapport à la distance d’observation D, et le point M étant proche du point O, on peut considérer que a, x, y sont très petits devant D.

Dans cette partie uniquement, on rajoute devant le trou S₂ une petite lame (L) (verre ou mica) à faces parallèles, d’épaisseur e et d’indice n pour la longueur d’onde  utilisée. Le faisceau laser arrive toujours perpendiculairement à la plaque (P) et traverse la lame (L) sous incidence normale.

Figure 4. modification du dispositif interférentiel

2.27) Donner l’expression de la différence de chemin optique ^'

 

^M entre deux rayons parcourant chacun la distance e, l’un dans l’air et l’autre dans le verre d’indice n.

2.28) Calculer la différence de chemin optique ^''

 

^M au point M entre les rayons issus de S₁ et S₂. Exprimer ^''

 

^M en fonction de n, e, a, x et D.

En déduire, en utilisant les résultats de la partie précédente, de quelle distance d la figure d’interférences sera translatée. On exprimera d en fonction de n, e, a et D.

Dans quel sens se déplace la figure d’interférences par rapport au cas de la question précédente ?

Annexe 1. Relations et formules de trigonométrie

   

 

 

 

 

cos cos cos sin sin

cos cos cos sin sin

sin sin cos sin cos

sin sin cos sin cos

cos cos 2cos cos

2 2

cos cos 2sin sin

2 2

sin sin 2sin

rot rotZ grad divZ Z

a b a b a b

a b a b a b

a b a b b a

a b a b b a

p q p q

p q

p q p q

p q

p q

  

  

  

  

  

 

 

 

  

  cos

2 2

sin sin 2sin cos

2 2

p q p q p q p q

p q

 

 

 