Devoir surveillé n˚6

1^èreBT S DOM OT IQU E Développements limités Lundi 30 mars 2009

Devoir surveillé n˚6

EXERCICE n^o 1

Déterminer dans chaque cas le développement limité de la fonction f à l’ordre indiqué : 1. f(x) =e^cos(x) à l’ordre 2.

2. f(x) = ln(1 +x²)− 2

1 +x² à l’ordre 8.

3. f(x) = 1

√4 +x à l’odre 3.

EXERCICE n^o 2

À l’aide de développements limités, déterminer les limites suivantes : 1. lim

t→0

1−cost t² . 2. lim

t→0

sint−t t² .

EXERCICE n^o 3

Soitf la fonction définie surR parf(x) = 1 + 2x 1 +x+x². 1. Déterminer une primitiveF de f sur R.

2. Déterminer le développement limité à l’odre 3 en 0 deF. 3. En déduire le développement limité à l’odre 2 en 0 de f.

EXERCICE n^o 4

Soitf la fonction de la variable réellexdéfinie surRparf(x) =e^2x(1−x)+1 etC_f la courbe représentative de f dans le plan muni du repère orthonormal (O;−→ı ;−→ ) d’unité graphique 2 cm.

1. Démontrer que le développement limité d’ordre 3 def au voisinage de 0 est :

f(x) = 2 +x−2

3x³+x³ε(x) avec lim

t→0ε(x) = 0.

2. En déduire une équation de la tangenteT à la courbe C_f au point d’abscisse 0.

3. Étudier la position deT par rapport àC_f au voisinage de ce point.

4. Dans le repère (O;−→ı ;−→), tracer T etC_f.

http://nathalie.daval.free.fr -1-

1^èreBT S DOM OT IQU E Développements limités Lundi 30 mars 2009

Correction du DS n˚6

EXERCICE n^o 1 1. e^X = 1 +X+X²

2 +X²ε₁(X) et cos(x) = 1−x²

2 +x²ε₂(x). Donc :

f(x) = 1 + 1−x²

2 +x²ε₂(x)

! +

1−x²

2 +x²ε₂(x)

!2

2 +x²ε₃(x).

f(x) = 1 + 1− x²

2 +1−x²

2 +x²ε₄(x).

D’où : f(x) = 5

2 −x²+x²ε₄(x)

2. ln(1 +x²) =x²−(x²)²

2 +(x²)³

3 − (x²)⁴

4 +x⁸ε₁(x) =x²−x⁴ 2 +x⁶

3 −x⁸

4 +x⁸ε₁(x) 2

1 +x² = 2×1−(x²) + (x²)²−(x²)³+ (x²)⁴+x⁸ε₂(x)= 2−2x²+ 2x⁴−2x⁶+ 2x⁸+x⁸ε₂(x).

f(x) =x²− x⁴ 2 +x⁶

3 − x⁸

4 −2 + 2x²−2x⁴+ 2x⁶−2x⁸+x⁸ε₃(x).

D’où : f(x) =−2 + 3x²− 5 2x⁴+7

3x⁶−9

4x⁸+x⁸ε₃(x)

3. 1

√4 +x = (4 +x)⁻¹² =41 +x 4

₋¹

2 = 4⁻¹² 1 + x 4

₋¹

2 = 1 2 ×

1 +x

4 ₋¹

2. Or, (1 +X)⁻¹² = 1−1

2X+ −¹₂(−¹₂ −1)

2! X²+−¹₂(−¹₂ −1)(−¹₂ −2)

3! X³+X³ε(X)

= 1− 1 2X+3

8X²− 5

16X³+X³ε(X).

f(x) = 1

2 1−1 2×x

4 +3 8 ×

x 4

2

− 5 16 ×

x 4

3

+x³ε₁(x)

!

D’où : f(x) = 1 2 − 1

16x+ 3

256x²− 5

2048x³+x³ε₁(x)

EXERCICE n^o 2 1. 1−cost

t² = 1−1 + t²

2!+t²ε(t)

t² = 1

2 +ε(t).

limt→0

1−cost t² = lim

t→0

1

2 +ε(t)= 1

2 car lim

t→0ε(t) = 0.

D’où lim

t→0

1−cost t² = 1

2

2. sint−t

t² = t−t³

3!+t³ε(t)−t t² =−t

6 +tε(t).

limt→0

sint−t t² = lim

t→0

−t

6 +tε(t)= 0 car lim

t→0

t

6 = 0 et lim

t→0 tε(t) = 0.

D’où lim

t→0

sint−t t² = 0

http://nathalie.daval.free.fr -2-

1^èreBT S DOM OT IQU E Développements limités Lundi 30 mars 2009

EXERCICE n^o 3

1. F(x) = ln(1 +x+x²) 2. ln(1 +X) =X−X²

2 +X³

3 +X³ε(X).

F(x) = ln(1 + (x+x²)) = x+x²− x+x²²

2 + x+x²³

3 +x³ε₁(x).

F(x) =x+x²−x²+ 2x³ 2 +x³

3 +x³ε₁(x).

D’où : F(x) =x+1 2x²− 2

3x³+x³ε₁(x)

3. En dérivant le développement limité à l’odre 3 deF, on obtient : f(x) = 1 +x−2x²+x²ε₂(x)

EXERCICE n^o 4

1. e^2x= 1 + (2x) + (2x)²

2! + (2x)³

3! +x³ε₁(x) = 1 + 2x+ 2x²+4

3x³+x³ε₁(x).

f(x) =1 + 2x+ 2x²+ 4

3x³+x³ε₁(x)(1−x) + 1 = 2 + 2x+ 2x²+4

3x³−x−2x²−2x³+x³ε₂(x).

D’où : f(x) = 2 +x− 2

3x³+x³ε₂(x)

2. La tangenteT en 0 a donc pour équation T :y= 2 +x 3. f(x)−(2 +x) =−2

3x³+x³ε(x).

On admet que le signe de f(x)−(1 +x) est le même que celui de−2

3x³ carx³ε₂(x) est négligeable aux alentours de 0, on a donc le tableau suivant :

x 0

Signe def(x)−(x+ 1) + 0 −

Position relative deC_f etT C_f est au dessus de T | C_f est en dessous de T 4. Graphique :

−1 1

−2

−3

−4

−5

1 2 3

−1

−2

−3

C_f T

http://nathalie.daval.free.fr -3-