Groupes totaux

Groupes totaux

Bruno DESCHAMPS et Ivan SUAREZ ATIAS Université du Maine

Abra.—Total groups are groups for which the dimension of the invariant algebra center of a cen- tral simple algebraA_fassociated to a 2-cocyclef∈Z²(Gal(L/k), L^∗)under a lifting of the Galois aion toA_f is conant for allkandf. In this article, we show that the quasi-CC groups (groups with cyclic center and for which all the centralizer of non-central elements are cyclic) are total. CC-groups, which are quasi-CC groups with trivial center, are thus total. We give a complete classification of these groups. We also describe a general family of quasi-CC groups which are not CC : the meta-dicyclic groups.

Résumé.—Les «groupes totaux» sont les groupes pour lesquels la dimension du centre l’algèbre des invariants d’une algèbre simple centraleA_f associée à un 2-cocyclef∈Z²(Gal(L/k), L^∗)sous l’aion d’un relevé de l’aion galoisienne àA_f econante quels que soientketf. Dans cet article, nous montrons que les groupes quasi-CC (qui sont les groupes de centre cyclique et dont les centralisa- teurs des éléments hors du centre sont cycliques) sont totaux. Les groupes de type CC qui sont les groupes quasi-CC à centre trivial sont donc totaux. Nous en donnons une classification complète.

Nous décrivons également une famille infinie de groupes quasi-CC qui ne sont pas de type CC : les groupes méta-dicycliques.

Introduion.

Dans ce texte, nous introduisons et étudions la notion de groupe total. La totalité e une propriété arithmétique liée aux algèbres simples centrales. Etant donné un groupe fini Get une extension galoisienne finieL/k, de groupe de GaloisGde neutree, on se donne un 2-cocylef ∈ Z²(G, L^∗) et l’on noteA_f l’algèbre muni du produit croisé relatif à f et rapportée à uneL-base{aσ}_σ∈G. Il exie un plongement tout à fait canonique du corpsL dans l’algèbreA_f, donné par l’application

pf : L −→ A_f λ 7−→ f⁻¹(e, e)λae

Dans cette situation, il se peut que le groupeGse relève en un sous-groupe de Autk(Af).

Autrement dit, il peut exier un morphisme injeifϕ:G−→Autk(Af) tel que pour tout λ∈Let toutg∈G, on ait

pf(λ^g) =ϕ(g)◦pf(λ)

Dans le cas où un tel relevé exie, on peut considérer l’algèbre des invariants deA_f par G, notéeA^G_f, ainsi que son centre Z(A^G_f ). On dit que le groupeGetotal si la dimension surkde Z(A^G_f) eindépendante du choix deL/ket def. Le but de cet article ed’étudier cette notion et de donner une vae série d’exemples de groupe totaux.

Bien que, de part sa définition, la totalité puisse apparaître comme une notiona priori improbable, les résultats établis dans ce texte montrent que de nombreuses familles clas- siques de groupes finis la possèdent. Parmi les plus connues, nous montrons que, pour tout entiern, le groupe cyclique C_n (proposition), le groupe diédral D4n+2(corollaire), le

Mathematics SubjeClassification PrimaryE,D,SSecondaryE,K



groupe dicycliqueQ_4n(corollaire) et le groupe spécial linéaire projeif de dimension 2 sur le corps fini à 2ⁿéléments PSL2(F_2n) (corollaire) sont des groupes totaux. D’autres exemples plus exotiques de groupes totaux sont donnés et dans le cas de la non-totalité, le texte donne des résultats numériques qui indiquent les dimensions possibles que peut prendre Z(A^G_f) dans le cas de groupesGde petits ordres.

Cet article se compose de trois parties. Les deux premières sont assez élémentaires et concernent la queion du relèvement de l’aion galoisienne et l’étude du centre de l’algèbre des invariants. La troisième se consacre à l’étude des groupes totaux. Plus pré- cisément :

Dans la première partie on s’intéresse à la queion du relèvement du groupe G à Autk(A_f). Cette queion, ainsi que lesruures des algèbresA^G_f et Z(A^G_f), sont invari- antes par cobordisme. Plus précisément, sif , g∈Z²(G, L^∗) sont deux 2-cocycles cohomo- logues, disonsf =d(µ)gavecµ∈C¹(G, L^∗), il exie un isomorphisme entreA_f etA_g, donné par l’application

θ: A_f −→ A_g

X

σ∈G

λ_σa_σ 7−→ X

σ∈G

λ_σµ(σ)a_σ

Cet isomorphisme respee les plongements deL dans A_f et A_g (i.e. p_g =θ◦p_f), par ailleurs il induit un isomorphisme

θ: Aut_k(A_f) −→ Aut_k(A_g) α 7−→ θ◦α◦θ⁻¹

Puisqueθ(α)◦p_g=θ◦α◦θ⁻¹◦θ◦p_f =θ(α◦p_f), on en déduit queθapplique un relevé de Gdans Aut_k(A_f) à un relevé deGdans Aut_k(A_g) et que les algèbresA^G_g etA^G_g (resp. Z(A^G_g) et Z(A^G_g)) sontk-isomorphes.

Ainsi, on peut reformuler plus globalement la problématique en la regardant sur le groupe H²(G, L^∗) : étant donné un élémentα ∈H²(G, L^∗) on dira queGse relève àα, si le groupe d’automorphismesGse relève dans Aut_k(A_f) oùf ∈Z²(G, L^∗) désigne n’importe quel représentant deα. La colleion des relevés ainsi que les algèbres invariantes et leurs centres ne dépendent donc pas, à k-isomorphisme près, du choix du représentant f de α. Nous montrons dans cette partie queG se relève à Autk(Af) si et seulement sif e cohomologue à un 2-cocyle à valeurs dansk^∗(théorème) ce qui se traduit par le fait que les éléments du H²(G, L^∗) pour lesquels Gse relève sont exaement ceux qui sont dans l’image du morphisme canonique H²(G, k^∗)−→H²(G, L^∗). Une foisf fixé, l’ensemble des relevés deGdans Aut_k(A_f) a naturellement uneruure de groupe abélien.

La deuxième partie s’intéresse à l’algèbre des invariants,A^G_f , deA_f par un relevé deG.

Nous montrons que la dimension surkdeA^G_f etoujours égale à l’ordre deG(théorème

) et nous montrons que la dimension surkdu centre Z(A^G_f) de l’algèbreA^G_f correspond au cardinal d’un ensemble de classes de conjugaison deGpour lesquelles un certain mor- phisme e trivial (théorème). Dans le cas des groupes non-abélien nous en déduisons que l’algèbre des invariantsA^G_f n’e jamais commutative (corollaire). Dans le cas des groupes abéliens, ce résultat ecomplété par le fait que la dimension surkde Z(A^G_f) e un entier tel queo(G)/dim_kZ(A^G_f) soit un carré parfait (proposition).

La troisième partie econsacrée à la propriété de totalité à proprement dite. En vertu des résultats établis dans les partieset, un groupe finiGetotal lorsque la dimension de Z(A^G_f) eégale au nombre de classes de conjugaisons deG, quels que soient le corpsk



et le 2-cocyclef. Cette notion eintrinsèquement liée à l’arithmétique du groupe que l’on étudie et ne reeable pour aucune des opérations usuelles sur les groupes (passage aux quotients, au sous-groupes, au produit cartésiens ou encore aux extensions). Nous donnons toutefois plusieurs critères pour obtenir des groupes totaux. Nous montrons, par exemple, que tout groupe dont l’ordre eun entier radicalaire etotal (corollaire).

Nous nous intéressons, par ailleurs, à la notion de groupes de type CC, qui sont les groupes pour lesquels les centralisateurs des éléments non triviaux sont cycliques. Ils sont toujours totaux. Nous donnons une classification de ces groupes (théorème) : ce sont exaement les groupes cycliques, les groupes spéciaux linéaires projeif PSL2(F_2n) et les produits semi-dire de deux groupes cycliques pour une aion ayant de "bonnes pro- priétés". Cette classification permet d’exhiber plusieurs familles explicites de groupes to- taux. Plus généralement, lesgroupes quasi-CC(même définition que CC, mais l’on autorise le centre à être cyclique) sont totaux. Nous donnons un exemple de famille de groupes quasi-CC qui ne sont pas de type CC : les groupes méta-dicycliques. Il s’agit d’une famille obtenue en généralisant la conruion des groupes dicycliques (paragraphe ..). Elle compte des groupes de centre d’ordres arbitrairement grands.

.— Relèvement de l’aion galoisienne.

On conserve les notations de l’introduion et pour ce qui edes objets cohomologiques, nous utilisons les notationsandards.

Théorème .—Le groupeG se relève àAut_k(A_f)si et seulement sif ecohomologue à un 2-cocyle à valeurs dansk^∗. En particulier, l’ensemble des α ∈ H²(G, L^∗) pour lesquellesG se relèvent àαeexaement l’image du morphisme canoniqueH²(G, k^∗)−→H²(G, L^∗).

Quand f ecohomologue à un2-cocyle à valeurs dansk^∗, l’ensemble des relevés de G à Aut_k(A_f) a alors uneruure de groupe, isomorphe au groupe d⁻¹(Z²(G, k^∗))/C¹(G, k^∗)(où d: C¹(G, L^∗)−→Z²(G, L^∗)el’application de cobord pour leG-groupeL^∗). Plus précisément, sif echoisi normalisé (i.e. f(e, e) = 1) et à valeurs dansk^∗, alors la correspondance annoncée s’obtient, pourµ∈C¹(G, L^∗)telle qued(µ)∈Z²(G, k^∗), par

G −→ Aut_k(A_f)

g 7−→ conjugaison parµ(g)ag

Preuve du théorème : Commençons par montrer que si f e supposé normalisé et à valeurs dansk^∗alors pour toutµ∈C¹(G, L^∗) telle qued(µ)∈Z²(G, k^∗), l’application

θ:g7−→conjugaison parµ(g)a_g

ebien un relevé. En premier lieu, puisquef enormalisé, on a pour toutg∈G,f(e, g) = f(g, e) = 1 et le plongement naturel deLdansA_f edonné parλ7−→λae. Ainsi, pourλ∈L, on a

θ(g)(λa_e) = µ(g)a_gλa_e(µ(g)a_g)⁻¹=µ(g)a_gλa_eµ(g)^−g−1f(g, g⁻¹)^−g−1a_g⁻1

= µ(g)λ^gf(g, e)a_gµ(g)^−g−1f(g, g⁻¹)^−g−1a_g⁻¹

= µ(g)λ^gµ(g)⁻¹f(g, g⁻¹)⁻¹f(g, g⁻¹)a_e

= λ^ga_e

et donc l’aion deθ(g) surLcoïncide avec celle deg.

Ree à voir queθebien un monomorphisme : pour toutg, h∈Gon a µ(g)a_gµ(h)a_h=µ(g)µ(h)^gf(g, h)a_gh=µ(gh)f₀(g, h)a_gh



oùf0=d(µ)f ∈Z²(G, k^∗). Commef0(g, h)∈k^∗= Z(Af)^∗, la conjugaison par l’élémentf0(g, h) vaut l’identité. Ainsi, on a θ(gh) =θ(g)◦θ(h). Par ailleurs, θ e bien injeive carg ∈ ker(θ)⇐⇒µ(g)ag∈k^∗=⇒g=e.

Venons-en maintenant à la preuve du coeur du théorème. Puisque la propriété de relèvement ree vraie par isomorphisme, on peut supposer quef edéjà normalisé (sous cette hypothèse le plongement deLdansA_f ecanonique).

Supposons donc donné un relèvementG −→Aut_k(A_f) et notons alors x^g l’aion de l’élémentg ∈Gsur l’élément x∈A_f viace relèvement. Le théorème de Skolem-Noether assure qu’il exiex_g ∈A_f tel que l’aion deg surA_f soit la conjugaison parx_g. Ainsi, pour toutλ∈L, on aλ^gxg =xgλ. Cependant, pour toutλ ∈L, on aλa⁻_g¹=a⁻_g¹λ^g, donc a⁻_g¹xg∈Z(Lae) =Lae. Ainsi, il exieµg∈L^∗tel quexg=µgag.

Maintenant, pourg, h∈Gdonnés, la conjugaison par (µ_ga_g).(µ_ha_h) doit être égale à celle parµ_gha_gh. On en déduit qu’il exie un élémenta(g, h)∈k^∗= Z(A_f)^∗tel que (µ_ga_g).(µ_ha_h) = a(g, h)µ_gha_gh. Ceci équivaut àµ_gµ^g_hf(g, h)a_gh=a(g, h)µ_gha_ghou encore

∀g, h∈G, µ^g_hµ⁻_gh¹µgf(g, h) =a(g, h)

Cette dernière propriété exprime exaement le fait que le 2-cocyle (g, h)7−→ f(g, h) e cohomologue (par le 2-cobord associé à l’applicationg7−→µ_g) au 2-cocyle (g, h)7−→a(g, h) qui e, par définition, à valeurs dansk^∗.

Si on suppose quef e déjà à valeurs dansk^∗, alors les relevés sont paramétrés par les applicationsµdécrites précédemment. Leur ensemble correspond alorsd⁻¹(Z²(G, k^∗)), mais deux telles applications donnent le même relevé si les conjugaisons associées sont les mêmes, c’e-à-dire si elles différent d’une 1-cochaîne à valeurs dansk^∗.

Il efacile de décrire des situations où le morphisme H²(G, k^∗)−→H²(G, L^∗) n’epas surjeif et donc où G ne se relève pas. Par ailleurs, signalons que l’image de H²(G, k^∗) dans H²(G, L^∗) apparaît dans d’autres queions relatives aux algèbres simples centrales : on trouvera, par exemple, dans [Ti, Th..] une caraérisation (sous certaines hypothèses) de la décomposition en produit d’algèbres cycliques d’une algèbre simple centrale qui fait intervenir cette image.

.— Algèbre des invariants.

On se fixe un 2-cocycle f ∈ Z²(G, k^∗) normalisé et on considère un relevé deG dans Autk(Af). Quitte à modifierf par un cobord on peut supposer que le relevé en queion ele relevé canonique g 7−→conjugaison par ag. En effet, considérons un relevé Gdans Aut_k(A_f) paramétré, d’après ce qui précède, par une application µ∈ C¹(G, L^∗) telle que d(µ)∈Z²(G, k^∗). Considérons alors le 2-cocyclef0=d(µ)f ∈Z²(G, k^∗) (quitte à modifierµ par une 1-cochaîne à valeurs dansk^∗, on peut supposer quef0eaussi normalisé). Comme rappelé dans l’introduion de ce texte, l’application

θ: A_f0 −→ A_f

X

σ

λ_σa_σ −→ X

σ

λ_σµ(σ)a_σ

ealors unk-isomorphisme d’algèbres qui respee les plongements naturels deLdansA_f0 etA_f. Sic_λdésigne la conjugaison par l’élémentλalors l’image parθde l’automorphisme



ca_g el’automorphismeθ◦ca_g◦θ⁻¹. Pourx, ytel quey=θ(x), on a θ◦c_ag◦θ⁻¹(y) =θ(a_gxa⁻_g¹) = (µ(g)a_g)y(µ(g)a_g)⁻¹=c_µ(g)ag(y)

On en déduit queθ⁻¹envoie le relevé deGdans Aut_k(A_f) relatif àµsur le relevé canon- ique deG dans Aut_k(A_f0). On va s’intéresser à l’algèbreA^G_f des invariants deA_f parG.

Ce que l’on vient d’expliquer montre en particulier qu’àk-isomorphisme près l’algèbreA^G_f ne dépend pas du relevé que l’on choisit pourG. Ainsi, pour ces queions, on peut tou- jours se ramener au cas du relevé canonique, le paramètre d’étude devenantf, le 2-cocyle normalisé à valeurs dansk^∗.

Caraérisons maintenant les éléments deA^G_f : Proposition .—Un élémentx=P

σλσaσ appartient àA^G_f si et seulement si on a

(SG) ∀g, σ∈G, λ^g_σ=λ_{gσ g}⁻1f(gσ g⁻¹, g) f(g, σ) Preuve :

x∈A^G_f ⇐⇒ ∀g∈G, a_gxa⁻_g¹=x

⇐⇒ ∀g∈G, X

σ

λ^gσf(g, σ)f⁻¹(g, g⁻¹)f(gσ , g⁻¹)a_{gσ g}⁻¹=x

⇐⇒ ∀g∈G, X

σ

λ^gσf(g, σ)f⁻¹(gσ g⁻¹, g)a_{gσ g}⁻1=X

σ

λ_σa_σ carf(g, g⁻¹)^{gσ g−1}f(gσ g⁻¹,1) =f(gσ , g⁻¹)f(gσ g⁻¹, g)

⇐⇒ ∀g, σ∈G, λ^gσ =λ_{gσ g}⁻¹f(gσ g⁻¹, g) f(g, σ)

Pourσ∈Gfixé, on noteωσ ∈C¹(G, k^∗) l’application définie par : ω_σ: G −→ k^∗

g 7−→ f(gσ g⁻¹, g) f(g, σ) Lemme .—Pour toutσ , g, h∈G, on aωσ(gh) =ω_{hσ h}⁻¹(g)ωσ(h).

Preuve :Pour toutσ , g, h∈Gon a

(1) f(g, h)^{ghσ h−1g−1}f(ghσ h⁻¹g⁻¹, gh) =f(ghσ h⁻¹, h)f(ghσ h⁻¹g⁻¹, g) (2) f(hσ h⁻¹, h)^gf(g, hσ) =f(ghσ h⁻¹, h)f(g, hσ h⁻¹)

(3) f(h, σ)^gf(g, hσ) =f(gh, σ)f(g, h) En quotientant (1) et (2) on obtient

f(ghσ h⁻¹g⁻¹, g)

f(g, hσ h⁻¹) =f(ghσ h⁻¹g⁻¹, gh) f(g, hσ)

f(g, h) f(hσ h⁻¹, h) On a donc

ω_{hσ h}⁻¹(g)ωσ(h) = f(ghσ h⁻¹g⁻¹, g) f(g, hσ h⁻¹)

f(hσ h⁻¹, h) f(h, σ)

= f(ghσ h⁻¹g⁻¹, gh) f(g, h) f(g, hσ)f(h, σ)



Comme d’après (3) on a f(g, h)

f(g, hσ)f(h, σ)= 1

f(gh, σ), on en déduit finalement que ω_{hσ h}⁻¹(g)ω_σ(h) =f(ghσ h⁻¹g⁻¹, gh)

f(gh, σ) =ω_σ(gh)

Cette propriété traduit simplement le fait que, pour toutg, h, σ∈G, on a (a^h_σ)^g=a^ghσ .

Notations :Dans la suite de ce texte, pourσ∈G, on notera

•CenG(σ), le centralisateur deσdansG,

•Lσ, le corpsLCenG(σ)des invariants deLpar CenG(σ),

•bσ, une classe de représentants de l’ensemble quotientG/Cen_G(σ),

•σe, la classe de conjugaison deσ :σe=n

gσ g⁻¹/g∈ bσo

(description biunivoque),

•G_conj, une classe de représentants de l’ensemble des classes de conjugaison deG.

Une première conséquence du lemmeeque la reriion deω_σ à Cen_G(σ) eun morphisme de groupes et que siσ , σ⁰∈Gsont deux éléments conjugués, alors les fonions ωσ etω_σ⁰ rereintes aux centralisateurs deσ etσ⁰ sont égales. Plus précisément, siσ⁰= gσ g⁻¹, alors on a Cen_G(σ⁰) = gCen_G(σ)g⁻¹ et, pour tout h∈ Cen_G(σ), si l’on considère h⁰=ghg⁻¹, on a

ω_σ⁰(h⁰) =ω_{gσ g}⁻¹(h⁰) =ω_σ(h⁰g)

ωσ(g) =ω_σ(gh)

ωσ(g) =ω_{hσ h}⁻1(g)ω_σ(h)

ωσ(g) =ωσ(h)

Cette propriété va être importante pour l’étude du centre Z(A^G_f) à venir. Mais com- mençons par étudier l’algèbreA^G_f elle-même : on considère, pourσ ∈Gdonné, le sous-L- espace veoriel deA_f

E_σ=









 x=X

g∈ bσ

λ_{gσ g}⁻1a_{gσ g}⁻1











On a bien surA_f = M

σ∈Gconj

E_σ. La relation (SG) montre que l’aion deGlaisseable chaque E_σ, on en déduit donc que

A^G_f = M

σ∈Gconj

E_σ^G

oùE_σ^Gdésigne l’ensemble des invariants deE_σ parG.

Théorème .—Pour toutσ∈Gconj, l’ensembleE_σ^Ge(non canoniquement) un sous-L_σ-espaces veoriels deA_f. On adimL_σE^G_σ = 1et plus précisément,

E_σ^G= VeL_σ(u) avecu=X

g∈ bσ

λ^g₀

ωσ(g)a_{gσ g}⁻1

oùλ₀∈Leun élément non nul qui vérifieλ^g₀=λ₀ω_σ(g)pour toutg∈Cen_G(σ).

En conséquence de quoi on adim_kA^G_f =o(G).



Preuve :Le sous-groupeE_σ^GeunLσ-espaces veoriels, pour la loi de composition externe suivante :

Lσ×E_σ^G −→ E^G_σ











λ, x=X

g∈ bσ

λ_{gσ g}⁻¹a_{gσ g}⁻¹











7−→ λ.x=X

g∈ σb

λ^gλ_{gσ g}⁻¹a_{gσ g}⁻¹

En effet, il e clair que les axiomes définissant laruure d’espace veoriel sont bien vérifiés, la seule chose à détailler eque la loi de composition ebien à valeurs dansE_σ^G. Considéronsλ∈L_σ etx=P

g∈

bσλ_{gσ g}⁻1a_{gσ g}⁻1∈E_σ^G, pour touth∈Getg∈ bσ on a (λ^gλ_{gσ g}⁻¹)^h=λ^hgλ^h_{gσ g}⁻1=λ^hgλ_{hgσ g}⁻¹_h⁻¹f(hgσ g⁻¹h⁻¹, h)

f(h, gσ g⁻¹)

Pour montrer queλ.x∈E_σ^G il faut donc montrer que pour touth∈Get toutg ∈

bσ, on a λ^hg =λ^g

0

oùg⁰∈

σbele représentant dehgmodulo Cen_G(σ). Or, il exieτ∈Cen_G(σ) tel hg=g⁰τ, et donc commeλ∈Lσ, on aλ^hg=λ^g

0

τ=λ^g

0

. Ainsi,λ.x∈E_σ^G.

On remarque, au passage, qu’en considérantkcomme sous-corps deL_σ alors laruc- ture induite par cette loi àkredonne laruure dek-espace veoriel naturel deE_σ^G(c’e- à-dire celle obtenue par la multiplication à gauche).

Six=P

g∈

bσλ_{gσ g}⁻1a_{gσ g}⁻1 ety=P

g∈

σbµ_{gσ g}⁻1a_{gσ g}⁻1 sont deux éléments non nuls deE_σ^G, alors pour toutg∈Cen_G(σ), on a

λ^gσ =λ_σω_σ(g)et µ^gσ=µ_σω_σ(g)

et doncλ_σ/µ_σ einvariant par Cen_G(σ). Il exie doncα∈L_σ tel queµ_σ=αλ_σ. On a alors

α.x = X

g∈ bσ

α^gλ_{gσ g}⁻¹a_{gσ g}⁻¹=X

g∈ bσ

α^gλ^gσω_σ(g)⁻¹a_{gσ g}⁻¹

= X

g∈ bσ

(αλ_σ)^gω_σ(g)⁻¹a_{gσ g}⁻1=X

g∈ bσ

(µ_σ)^gω_σ(g)⁻¹a_{gσ g}⁻1

= X

g∈ bσ

µ_{gσ g}⁻¹ω_σ(g)ω_σ(g)⁻¹a_{gσ g}⁻¹=y

Ceci prouve queE_σ^Geau plus une droiteL_σ-veorielle. Ree donc à montrer queE_σ^G, {0}.

Commençons par regarder la condition (SG) quandg parcourt CenG(σ). Dans cette situation,ωσ eun élément de Hom(CenG(σ), k^∗). Sid=o(Im(ωσ)), on a Im(ωσ) =µd⊂k^∗. Considérons le sous-groupeH= ker(ωσ), on a alors CenG(σ)/H 'µd et l’extensionL^H/Lσ

e cyclique de degréd. Comme µd ⊂k^∗ et que d e premier à la caraériique dek (puisque]µd =d), l’extensionL^H/Lσ ekummérienne et il exie donc un élémentα∈k^∗ tel que`=√^d

α∈L^Hsoit un élément primitif. On considère alors l’épimorphisme canonique ϕ: G= Gal(L/L_σ) −→ µ_d

g −→ `^g

`

Puisqueωσ etϕont même noyauH, il exieθ∈Aut(µd) tel queωσ=θ◦ϕ.

G _ωσ

&&

MM MM M 1 //H

&&

MM MM MM

88q

qq qq

q µ_dvv θ

G ^ϕ

88q

qq qq



Comme Aut(µd)'(Z/dZ)^∗, il exie alorsr∈(Z/dZ)^∗ tel queθ(ξ) =ξ^r pour toutξ∈µd. Posonsλ0=`^r, on a alors pour toutg∈G,

λ^g₀= (`<sup>r</sup>)<sup>g</sup>= (`^g)^r=ϕ(g)^r`^r=θ◦ϕ(g)λ₀=ωσ(g)λ₀ Prenons maintenant un élémentg∈Gquelconque et posons

λ_{gσ g}⁻1= λ^g₀ ω_σ(g)

Cette définition e sans ambiguïté, car sig, g⁰ ∈G sont tels quegσ g⁻¹=g⁰σ g⁰⁻¹ alors il exieh∈CenG(σ) tel queg⁰=ghet donc

λ^g

0

0

ωσ(g⁰) = λ^gh₀

ω_σ(gh)= (λ^h₀)^g

ω_σ(g)ω_σ(h) (d’après le lemme)

= λ^g₀ ωσ(h)^g

ω_σ(g)ω_σ(h)= λ^g₀ ω_σ(g) Vérifions maintenant quex=P

g∈

bσλ_{gσ g}⁻¹a_{gσ g}⁻¹ebien un élément deE_σ^G. Sig0∈G, alors pour toutg∈

bσ, on a

λ^g_{gσ g}⁰ −1 = λ^g₀^0g

ω_σ(g)=λ_{g0gσ g}⁻1g₀⁻¹

ωσ(g0g) ω_σ(g)

= λ_{g0gσ g}⁻1g₀⁻¹

ω_{gσ g}⁻1(g₀)ω_σ(g)

ω_σ(g) (d’après le lemme)

= λ_{g0gσ g}⁻1g₀⁻¹ω_{gσ g}⁻¹(g0)

et doncxvérifie bien la condition (SG). Ainsi, on a bien E_σ^G= VeL_σ(u) avecu=X

g∈ bσ

λ^g₀

ω_σ(g)a_{gσ g}⁻1

oùλ₀ ∈L e un élément non nul qui vérifieλ^g₀ =λ₀ω_σ(g) pour tout g ∈ Cen_G(σ). On remarque que, réciproquement, pour n’importe quel choix deλ₀∈Lnon nul vérifiant que pour toutg ∈Cen_G(σ) on aitλ^g₀ =λ0ω_σ(g), l’élémentu=P

g∈ bσ

λ^g₀

ω_σ(g)a_{gσ g}⁻¹ engendre bien surL_σ l’espaceE^G_σ.

On déduit de cela que

dimk(E^G_σ) = dimk(Lσ)dimLσ(E_σ^G) = [G: CenG(σ)]

et donc, l’équation des classes permet d’écrire dim_kA^G_f = dim_k M

σ∈Gconj

E^G_σ = X

σ∈Gconj

[G: Cen_G(σ)] =o(G)

Abordons maintenant l’étude du centreA^G_f et établissons préalablement deux lemmes à cette fin.



Lemme .—Posonsn=o(G). Il exie uneL-base,(e1,· · ·, en), deLⁿtelle que si l’on pose pour i= 1,· · ·, n,e_i= (λ⁽ⁱ⁾σ )_σ∈GalorsX

σ∈G

λ⁽ⁱ⁾σ a_σ ∈A^G_f.

Preuve : ConsidéronsGconj={σ1,· · ·, σr}et, pour touti∈ {1,· · ·r}, posonsσbi={gi,1,· · ·, gi,h_i} (on convient quegi,1=e). Pouri∈ {1,· · ·r}fixé, on considère un élément non nul

x=

h_i

X

j=1

λ_gi,jσig⁻¹

i,ja_gi,jσig⁻¹

i,j

∈E^G_σi

On sait qu’aucun desλ_gi,jσig⁻¹

i,j n’enul, et que pour toutj= 1,· · ·, hi, on a λ_gi,jσig⁻¹

i,j = λ^gσ^i,j_i

ω_σi(g_i,j)

Commeh_i = [G: Cen_G(σ)], on ah_i = dim_kL_σi et l’on considère{α₁,· · ·, α_hi}unek-base deL_σi. Pour touts= 1,· · ·, h_i, on pose

(e_σi)_s= (α_sλ_σi)^gi,1

ω_σi(g_i,1) ,· · ·,(α_sλ_σi)^gi,hi ω_σi(g_i,hi)

!

∈L^hi

On remarque quePh_i j=1

(α_sλ_σi)^gi,j

ω_σ(g_i,j) a_gi,jσig⁻¹

i,j =α_s.x∈E_σ^G(ruure deL_σ-espace veoriel deE_σ^G introduite dans le théorème) et donc le veeur (eσ_i)s eà coordonnées dansE^G_σ. On a, par ailleurs,

det

{(e_σi)_s}_1≤s≤h

i

=

h_i

Y

j=1

λ^gσ^i,j_i

ω_σi(g_i,j)

α^g₁^i,1 · · · α₁^gi,hi ... ... α^gs^i,1 · · · αs^gi,hi

Ce dernier déterminant e certainement non nul, car si tel était le cas, il exierait une équation deL-dépendance linéaire pour lesgi,1,· · ·, gi,h_i∈Isom_k(L_σi, L), ce qui econtraire au lemme de Dedekind.

Ainsi, la famille {(e_σi)_s}_1≤s≤h

i e uneL-base de L^hi. On rajoute alors des zéros aux coordonnées manquantes des veeurs (eσ_i)s,

(e_σi)_s=















]σb₁

z }| {

0,· · ·,0,· · ·,· · ·,(α_sλ_σi)^gi,1

ω_σi(g_i,1) ,· · ·,(α_sλ_σi)^gi,hi

ω_σi(g_i,hi) ,· · ·,· · ·,

]bσ_r

z }| { 0,· · ·,0















et{(e_σi)_s}_1≤s≤h

i devient alors une familleL-libre deLⁿ. La famille{(e_σi)_s}_{1≤i≤r,1≤s≤h}

i e visiblement une familleL-libre deLⁿsatisfaisant aux conditions demandées, mais comme cette dernière ede cardinal

r

X

i=1

hi = X

σ∈Gconj

[G: Cen_G(σ)] =o(G) =n

on en déduit finalement qu’il s’agit bien d’une base.



Notons maintenant A_f(k) = M

σ∈G

kaσ (c’e une sous-algèbre de A_f puisque f e à valeurs dansk^∗) et considérons, pourσ∈G,

E^G_σ(k) =E_σ^G∩A_f(k)

Lemme .—Pour toutσ∈G,E^G_σ(k)eunk-espace veoriel de dimension0ou1et l’on a dimkE_σ^G(k) = 1⇐⇒ωσ|CenG(σ)≡1

Preuve : L’ensembleE_σ^G(k) evisiblement unk-espace veoriel (interseion de deuxk- espaces veoriels). Un élémentx∈E_σ^G(k) s’écrit

x=X

g∈ bσ

λ_{gσ g}⁻1a_{gσ g}⁻1=X

g∈ bσ

λ^gσ

ωσ(g)a_{gσ g}⁻1=λ_σX

g∈ bσ

1

ωσ(g)a_{gσ g}⁻1

ce qui prouve queE_σ^G(k) eau plus une droite veorielle.

Supposons queE_σ^G(k),{0}et soitλ_σ∈k^∗tel queλ_σP

g∈ bσ 1

ω_σ(g)a_{gσ g}⁻1∈E_σ^G(k). Pour tout g∈Cen_G(σ), on a

λ_σ=λ^gσ=λ_{gσ g}⁻1ω_σ(g) =λ_σω_σ(g) et doncω_σ(g) = 1.

Réciproquement, supposons queωσ|CenG(σ)≡1. Le choix deλ0= 1 dans le théorème

montre que

E^G_σ =









 X

g∈ σb

λ^g

ω_σ(g)a_{gσ g}⁻¹/ λ∈L_σ











et donc, on en déduit que

E_σ^G(k) =k.









 X

g∈ σb

1

ω_σ(g)a_{gσ g}⁻¹









 ,{0}

Théorème .— On a Z(A^G_f ) = A^G_f ∩A_f(k) = M

σ∈Gconj

E_σ^G(k). En conséquence de quoi, on a dim_kZ(A^G_f ) =]SoùS={σ∈G_conj/ ω_σ|CenG(σ)≡1}.

