MATHEMATIQUES : EXAMEN DU SEMESTRE 2

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Maths Sup PTSI 18 juin 2015

MATHEMATIQUES : EXAMEN DU SEMESTRE 2

ICAM LILLE, NANTES, PARIS-SENART, TOULOUSE

Durée : 4 heures

Calculatrices non autorisées.

La notation tiendra compte de la clarté des explications et du soin apporté à la rédaction et à la présentation des résultats.

Rendre séparément le problème, l’exercice 1, l’exercice 2.

2/4 PROBLEME (10 points)

Dans tout ce problème, on se place dans l’espace vectoriel ℝ³.

On désigne par C la base canonique deℝ³. On noteM₃( )_ℝ l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels et I la matrice identité d’ordre 3. On considère la matrice

0 1 1 1 0 1 1 1 0 A

 

 

= 

 

.

Partie A

1. CalculerA et² A , puis exprimer³ A et ² A comme combinaison linéaire de A et I. ³ 2. On considère la suite

( )

αn n≥1définie par α = α =_{1 2} 1 et ∀ ≥ αn 1, _n+2= α_n+1+ α2 _n.

Montrer par récurrence que : ∀ ≥n 2, Aⁿ= α_nA+ α2 _n−1I.

3. Calculer α_n pour toutn≥1. En déduire l’expression deA en fonction de n, pour toutⁿ n≥1^.

Partie B

On note Id l’application identité deℝ³et f l’endomorphisme deℝ³dont la matrice dans la baseC _{est A.}

1. Déterminer une baseB _{1 de}^{Ker f}

(

+^Id

)

et une baseB _{2 de}^Ker

(

^f −^2Id

)

^.

2. a. Prouver que la famille B =

( (

1 ; -1 ; 0 ; 1 ; 0 ; -1 ; 1 ; 1 ; 1

) ( ) ( ) )

est une base deℝ³. b. Déterminer la matrice D de f dans la base B _.

c. Donner la matrice de passage P deC _vers B _.

d. Retrouver l’expression de A en fonction de n pour toutⁿ n≥1^.

Partie C

1. a. Calculer (A I+ )(A−2I). En déduire que A est inversible et exprimerA⁻¹comme combinaison linéaire de A et I.

b. Calculer (A+I)^2et(A−2I)². Conjecturer une expression simple de(A+I)^net(A−2I)^{npour tout}n≥1^. 2. SoitM a,b

( )

la matrice définie parM a,b

( )

^{a b b}b a b

b b a

 

 

= 

 

où

( )

a,b ∈ℝ²et F l’ensemble défini par^F=

{

M a,b , a,b( ) ( )∈ℝ²

}

. On pose K= +A IetJ= −A 2I^.

a. Montrer que F est un sous-espace vectoriel deM₃( )_ℝ , et déterminer sa dimension.

b. Montrer que

(

K , J

)

est une base de F et calculer les coordonnées

( )

α β^{, de}M a,b

( )

dans cette base.

3. Calculer

[

^{M a,b}

( ) ]

^{npour toutn≥1}. Vérifier le résultat obtenu dans le cas de^M

( )

^{0 1, .}

Partie D

Soitn≥1etR_nle reste de la division euclidienne du polynôme Xⁿpar le polynôme(X+1)(X−2). 1. Déterminer R_n.

2. Retrouver l’expression de Aⁿen utilisant le résultat précédent.

3/4 EXERCICE 1 (6 points)

Partie A

Soit g la fonction définie sur

^D

^{= −π π}

]

^;

[

^{\{ }0 parg x( )=}_sin^xex_x^.

1. a. Montrer que g est prolongeable par continuité en 0.

On gardera la notation g pour la fonction ainsi prolongée sur

]

^{−π π;}

[

^.

b. Déterminer le développement limité deg x d’ordre 2 au voisinage de 0. ( ) 2. a. Montrer que g est dérivable en 0 et donnerg '( )0 .

b. Calculer g ' x pour tout( ) x∈

D

_.

c. Soit h la fonction définie surℝparh x( ) (= +1 x)sinx−xcosx. Déterminer un équivalent deh x( )au voisinage de 0.

d. En déduire que la fonction g est de classeC¹_sur

]

^{−π π;}

[

^.

e. Montrer que g'est bornée sur 0

;π2

 

 

 . On notera M un majorant de g ' sur 0

;π2

 

 

 .

f. Donner l’équation de la tangente en 0 à la courbe représentative Γ de la fonction g ainsi que sa position relative par rapport à la courbe Γ.

Partie B

Pour toutn∈ℕ, on définit la fonctionf par_n ^,

( )

_{2 2} ^e

1 sin

x n

x f x x

n x x

∀ ∈ = ×

+

D

et l’intégrale ² ( )

0

n n

I f x dx

π

=

∫

^.

1. a. Montrer que

[

( ) ( )

]

₀^{2 2 ( ) ( )}

0

1 1

, _n Arctan Arctan '

n I nx g x nx g x dx

n n

π π

∀ ∈^ℕ = −

∫

^.

b. En déduire que : ^{2 2} ( )

0

, Arctan Arctan

2 2

n

n I e n M nx dx

n n

π π

π  π

∀ ∈ −   ≤

 

∫

ℕ ,

puis que :

2

, 2Arctan

2 2 4

n

n I e n M

n n

π π  π π

∀ ∈ −   ≤ ×

 

ℕ .

2. Calculer alors la limite de la suite

( )

In .

4/4 EXERCICE 2 (4 points)

Soit n un entier naturel non nul.

Une urneU contient n boules numérotées de 1 à n. On effectue dans cette urne une succession de tirages d’une boule, en appliquant _n la règle suivante : si la boule tirée porte le numéro k, avant de procéder au tirage suivant, on enlève de l’urne toutes les boules dont le numéro est supérieur ou égal à k.

On noteX la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour vider l’urne_n U de toutes ses boules. _n Partie A

1. Donner la loi deX , la loi de₁ X et leurs espérances. ₂ 2. Déterminer la loi deX et calculer ₃ E X

( )

3 .

Partie B

On étudie désormais le cas général.

1. CalculerP X

(

n=¹

)

^etP X

(

n=n

)

^.

2. SoitN₁la variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée.

a. Reconnaître la loi deN₁.

b. Expliquer pourquoi

₍ ¹ ₎

( ) (

1

)

0 si 1

2 , 2 ,

1 si

N i n

i

i k

i ;n k ;n P X k

P X k i k

= −

≤ −

∀ ∈ ∀ ∈ = = = − ≥ ^.

c. Montrer que

( )

¹

( )

1

2 , 1 1

n

n i

i k

k ; n P X k P X k

n

−

= −

∀ ∈ = =

∑

= − ^.

3. Pour toutn≥2^{, on pose} vn=n P X^!

(

n= −n ¹

)

^.

a. Etablir que∀ ≥n 2, v_n+1=v_n+n.

b. Pour toutn≥2, en déduirev_nen fonction de n puis P X

(

n = −n ¹

)

.

Partie C

On admet que

( )

¹

( )

^{( )}

1

2, 1 1

n

n i

i

n E X E X *

n

−

=

∀ ≥ =

∑

+ ^.

1. Montrer que

( ) (

1

)

2, _{n n} 1

n E X E X

− n

∀ ≥ = + .

2. En déduire que

( )

1

1, 1

n n

k

n E X

= k

∀ ≥ =

∑

^.

BONUS : On rappelle que

1 1 1

2 1 1 2

n n n i

ik ik

k i k i k

a a

− − +

= = − = =

   

=

   

   

   

∑ ∑ ∑ ∑

pour toute suite

( )

aik . Démontrer ( )* .