Solution de la question 178

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

B. J AUFROID

Solution de la question 178

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 7

(1848), p. 144-147

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— 144 -

SOLUTION DE LA QUESTION 178 (p. 75).

P A R M. B . J A U F R O I D ,

maître d'études au lycée de Dijon, admissible à l'École normale supérieure.

(Fig. 25.) Je prends pour axes des coordonnées,, les axes principaux de l'ellipse : on aura

ay'-\-b*x7=aT pour l'ellipse;

(!) y + x* = a* po°r le cercle décrit sur le grand axe;

(2) y = a (x—c) pour une corde quelconque MN passant par le foyer F.

(3) yz=z (x—c) pour la corde PQ perpendiculaire a

à la première.

{Fig. 25.) Soient x', y\ xl\yv les coordonnées des points d'intersection de MN avec le cercle.

En changeant dans cette expression a en - , et par con- séquent a3 en ~ , on trouve :

a

^ t ^ , d'où <f-H" = 4(<*M-62)i

a

PQ 4 ^ ^

donc les cordes MN , PQ sont égales à deux diamètres con- jugués dans l'ellipse.

So\ty=mx l'équation du diamètre égal à <i, et xt\ yl>

(3)

— 145 -

x,", y[' les coordonnées des extrémités de ce diamètre, on a :

On trouve :

( l B ) i *

aW+b*

£n changeant m en-m', on a pour d'* :

Les deux équations en m et m sont donc _ ^a4-^2aa a'bXi+m'2) _

en les résolvant et prenant m et m' de signes contraires, on a :

^ b o L ,__ b^

et l'on a bien

mm! = . a

Soit maintenant y=<xx un diamètre parallèle à la corde y=7.[x—c), les coordonnées du point d'intersection de ce

diamètre avec la corde y = (.r—c) sont :

oc

C . OLC

la distance de ce point d'intersection au centre est donc

par conséquent, les segments de ce diamètre sont :

AN*, DE MATHEM. VII. 1 0

(4)

- 146 -

r\ (4)

Cherchons maintenant les rayons vecteurs menés du foyer F aux extrémités du diamètre conjugué y=mx ou —x,bx en prenant le signe + pour m. Les coordonnées des points d'intersection de ce diamètre avec l'ellipse sont :

h a j ba.

la distance du foyer F à chacun de ces points est

\/(

^{c a}

~ V _{î - K}

=

**y/c-h*(i+a^j,**

expression égale à (4). Faisant le même calcul pour le deuxième rayon , on trouve :

— c

expression égale à (5).

Si on prend le diamètre y = x parallèle à la corde a

y=z (x—c), on trouve pour les segments de ce dia-

(5)

— 117 —

mètre, déterminés par la corde y = a(x—c), et pour tes rayons vecteurs menés du foyer F aux extrémités du dia-

mètre conjugué y = x , les expressions communes

V . I

La deuxième partie du théorème se trouve ainsi démon- trée. Dans l'hyperbole, la somme des carrés des cordes MN et PQ est constante.

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