N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
E D . D EWULF
Note sur les fonctions symétriques des racines communes à deux équations
Nouvelles annales de mathématiques 1resérie, tome 19 (1860), p. 18-20
<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1860_1_19__18_0>
© Nouvelles annales de mathématiques, 1860, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
NOTE
Sar les fonctions symétriques des racines eonnunes à i c n équations;
PAR M. E D . D E W U L F , Capitaine du génie.
I. Dans un Mémoire inséré aux 4finales rie Mathé- mathiques de Gergonne, Abel a donné un moyen de cal- culer une fonction quelconque d'une racine commune à deux équations. Ce procédé exige que les équations n'aient qu'une seule racine commune.
On peut ainsi calculer une fonction symétrique des raci- nes communes à deux équations , quel que soit le nombre de ces racines, et par suite ces racines elles-mêmes.
II. Soient les deux équations
(2) F(j) = ƒ• + qxy»-1 4~ ?2r-2 + . • ••+• qn = o, qui ont t racines communes et qui n'en ont pas d'autres.
Proposons-nous de calculer la fonction symétrique y de ces t racines.
Soient j i , j2, j3, . . ., y„ les n racines de l'équa- tion (a). En portant ces racines dans le premier membre de l'équation (1), nous aurons ces n résultats
Les t premiers de ces résultats sont nuls, par hypothèse.
Faisons les produits n — t h n — t du ces résultats , et désignons , en général, par R^? Vj w .. le produit
le nombre des facteurs du dénominateur étant R.
( ' 9 ) Les quantités
rc' Rr R'
" t . 2 . 3 . . . / ' 1 . 3 . 3 . . . (/— I ) ( H - l ) ' I . J . 3 . . . (t— I ) (M-2) '
sont toutes nulles, excepté la première, qui ne contient aucun des facteurs nuls ƒ ( j i ) , ƒ ( yt) , • • • , / (y«) ; on a donc, identiquement,
ou, symboliquement,
3'indice ^vyxs... désignant une des combinaisons tk t des chiffres i . 2 . 3 . . . , n.
On a de même, identiquement,
1 . 2 . 3 . . . t J?4 / * , V, 1
11 résulte de ces deux identités, que
( 3 ) cp ' Y Y- Y • Y )
Cette expression est une fonction symétrique et ration- nelle des racines de l'équation (2). On peut donc la cal- culer par des méthodes connues.
III. Soit
(4) Poj'-f- Pi ;>''"' -f- P2.r'-2-f-. . . - f P ^ o
Féquation qui donnerait les racines communes aux équa- tions (1) et (2), et posons
2 .
( II est très-aisé de voir que
1.2 dp'-1 dp'
L'équation (4) peut donc s'écrire
xdpl-ldp 7 1.2 dpl~* dp*
Cette équation, déjà donnée par M Brioschi, se déduit ici d*une théorie générale.
