Racines communes à deux équations algébriques entières. Note additionnelle

(1)

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

V. H

^IOUX

Racines communes à deux équations algébriques entières.

Note additionnelle

Annales scientifiques de l’É.N.S. 2^e série, tome 11 (1882), p. 135-136

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(2)

RACINES COMMUNES

A DEUX ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES ENTIÈRES,

PAR M. V. HIOUX,

P R O F E S S E U R A U L Y C É E D E T O U R S .

NOTE ADDITIONNELLE.

Le Mémoire q'ue nous avons publié dans le Tome X de ce Recueil (numéros de novembre et décembre 1,881) contient, pages 386 et 387, l'énoncé et la démonstration du théorème suivant, d o n t nous croyons devoir donner une nouvelle démonstration.

THÉORÈME I. — Si l'on pose n —• i=p — i:, les conditions nécessaires et suffisantes pour que les équations A == o et B == o aient exactemml p racines communes sont

N/,o== o, N,,1 = o, .... N/^....^ a et, N,...,.^0^0.

En d'autres termes : Le polynôme T/ clou être identiquement nul et le polynôme T^ doit être effectivement de degré p.

Démonstration. — i° Les c o n d i t i o n s sont nécessaires.

En effet, pour que tes équations A = = o . e t B = o aient exactement p racines communes, il faut que les polynômes A et B aient un plus grand commun diviseur de degré/?. Soit D ce plus grand commun diviseur. Divisons par I) les deux termes de la fraction ,.; nous pou- vons représenter le quotient par — —3 en désignant par Ai et B^

Ji i

deux polynômes entiers en oc, premiers entre eux, et de degrés respec- tivement égaux à m — p et à n — p .

(3)

î 36 Y. H I O U X . — RACINES COMMUiNES A DEUX ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES E N T I È n E S .

On devra donc avoir i d e n t i q u e m e n t

BA,-+-AB,==o.

Mais, en formant l'identité

T/==BA/-(-AB/.,'

on a constitué les polynômes désignés ci-dessus par A, et B/, et p o u r q u e ces polynômes soient premiers entre eux et de degrés égaux à m — p ci n — p , il faut que l'on ait N,_.,^o.

D'ailleurs le choix des m u l t i p l i c a t e u r s employés f a i t de T, un p o l y - n ô m e entier en se de degré p — i.

L'expression BA,-+-AB, devant être identiquement nulle, il en est de même du polynôme T, qui lui est identique. On a donc avec N/^,.^o,

N,-,o -= o, N,,i == o, . . ., N^..,-, == o.

Les c o n d i t i o n s énoncées sont donc nécessaires.

^° Les conditions énoncées sont suffisantes.

En effet, en les supposant remplies, on a i d e n t i q u e m e n t BAr+-AB,==o,

e(, comme N^, n'est pas nul, les polynômes A, et B, sont premiers .ntre eux et de degrés égaux à m ~^-p el n -p. Il suit de la que les deux polynômes A et B ont un plus grand commun diviseur de degré/., a l'aide duquel on peut remplacer la fraction ^ par la fraction égale _ A ,

H,'

Les équations A = o et B == o ont deux p racines communes Donc les conditions énoncées sont suffisantes.