MODÉLISER UN MÉCANISME2-A-Réaliser et exploiter des schémas cinématique et/ou technologique.2-B

2-B - Décoder le paramétrage d’un mécanisme 2-C - Tracer un graphe d’analyse d’un mécanisme

SOMMAIRE 1- Repérage d’un point 2- Repérage d’un solide 3- Les liaisons

4- Paramétrage d’un système 5- Graphe d’analyse

Pour pouvoir étudier des phénomènes physiques, économiques, sociaux… on essaie d'en élaborer une représentation mathématique simplifiée. Cette démarche est appelée modélisation.

Plus on souhaite représenter fidèlement un phénomène et plus le modèle est complexe (à créer, à utiliser...).

Heureusement, dans bon nombre d'études, une représentation fidèle n'est pas nécessaire. En utilisant des hypothèses adéquates on pourra mettre en place des modèles "simples" donnant des résultats suffisamment précis.

Sauf indication contraire, on fera les hypothèses suivantes sur les solides :

- Solide parfait : Les défauts des pièces sont négligés (défauts de dimension, de forme, d’orientation, fissures…).

- Solide indéformable : il possède une masse constante et une forme invariable quels que soient les efforts appliqués.

On fera également des hypothèses sur les liaisons et les efforts appliqués sur les solides.

Dans cette démarche de modélisation, un problème essentiel en mécanique consiste à décrire la position et le mouvement de points ou de solides au cours du temps (au passage, ayons une petite pensée pour Galilée et tous ses précurseurs).

Pour cela, il est fondamental de préciser quelle est la référence (ou observateur) et ensuite de faire intervenir un repérage par rapport à cette référence.

(ci-contre, schéma très simplifié du modèle cosmologique de Ptolémée, II^e siècle de notre ère, qui constitue l’apogée du géocentrisme).

1. Repérage d’un point M par rapport à un point O (appelé origine).

D’une manière générale, la position d’un point M sera défini par le vecteur position OM qu’il reste à définir…

1.1 SUR UNE DROITE Vecteur position : OM = Paramètre :

1.2 DANS UN PLAN

Coordonnées cartésiennes

Vecteur position : OM = Paramètres :

coordonnées polaires

Vecteur position : OM = :

Paramètres :

1.3 DANS L’ESPACE

On note : R0





Vecteur position : OM =

Paramètres :

coordonnées cylindriques

Vecteur position : OM = et M'M zz0

Paramètres :

coordonnées sphériques

Vecteur position : OM = u

OM'cos et sin 0

'M z

M   

Paramètres :

2. Repérage d’un solide S

2.1 CAS GÉNÉRAL

Un solide dans l’espace a comme possibilités de mouvements : -

-

Pour repérer un solide par rapport à un observateur il nous faut 6 paramètres indépendants entre eux : -

-

2.2 CAS D’UN SOLIDE EN T°

2.3 CAS D’UN SOLIDE EN R°

M

O

x

y

z

M’

M

O

x

y

z

M’

M

O

x

y

z

M’

3. Les liaisons

3.1 TABLEAU DES LIAISONS

3.2 EXEMPLE D’UTILISATION DES LIAISONS : LE SCHÉMA CINÉMATIQUE.

Démarche de réalisation d’un schéma cinématique : 1. Tracer les axes principaux (axes des liaisons…), 2. Positionner les centres des liaisons,

3. Dessiner les liaisons,

4. Relier les liaisons par des traits continus,

5. Utiliser le symbole "masse" pour montrer quel solide est supposé fixé,

6. pour faciliter la compréhension, utiliser des couleurs et indiquer par des flèches le mouvement des pièces d’entrée et de sortie.

4. Paramétrage d’un système

Paramétrer, c’est définir les variables et les invariants.

Objectif : obtenir des relations entre les paramètres.

Par exemple, obtenir la loi d’entrée-sortie d’un mécanisme (relation entre les paramètres d’entrée et de sortie).

Démarche :

1- Définir les invariants,

2- Associer un (ou plusieurs) repère(s) à chacune des pièces, 3- Choisir des variables : les paramètres de mise en position.

Exemple : système bielle-manivelle

Schématisation Paramétrage

Loi entrée-sortie :

Invariant : distance ou angle fixe.

Exemple : d, l , h…

Variable : distance ou angle qui varie.

Exemple : x, z, α, θ …

5. Graphe d’analyse

Ce type de graphe permet de représenter de manière simplifiée les pièces et liaisons d’un mécanisme.

Il sera très utile pour préparer les études de statique, dynamique, énergétique…

Démarche d’obtention :

1. Tracer un cercle par sous-ensemble,

2. Représenter les liaisons par un trait entre deux sous-ensembles, 3. Indiquer le nom de la liaison sur le trait correspondant,

4. Utiliser le symbole "masse" pour montrer quel solide est supposé fixé.

Exemple : Portique de soudage automatique d’une chaîne d’assemblage de caisses automobiles (utilisé en particulier pour la R18 à Flins, il y a bien longtemps…)

Le portique est constitué de 6 solides :

1 : chariot à déplacement longitudinal (non représenté sur la figure de droite). Repère lié :

R

( O

, x , y , z )

Mouvement (1/R) : translation rectiligne de direction x 2 : chariot à déplacement transversal (non représenté sur la figure de droite). Repère lié :

R

( O

, x , y , z )

Mouvement (2/1) : translation rectiligne de direction y 3 : chariot à déplacement vertical (partiellement représenté sur la figure de droite). Repère lié : R₃(O₃,x,y,z)

Mouvement (3/2) : translation rectiligne de direction z 4 : première unité de rotation. Repère lié :

) , , ,

(

4

O x y z

R

Mouvement (4/3) : rotation d’axe (O₃,z)

5 : 2^ème unité de rotation. Repère lié :

) , , ,

( _{4 4 5 5}

5 O x y z

R

Mouvement (5/4) : rotation d’axe

( O

, x

)

6 : 3^ème unité de rotation (pince de soudage). Repère lié :

) , , ,

( _{4 6 6 5}

6 O x y z

R

Mouvement (6/5) : rotation d’axe (G₅,z₅)

Tracer le graphe d’analyse de ce mécanisme.