D180. Une belle collection d'angles
Les angles aux sommets B et C d'un triangle ABC valent respectivement 80° et 60°. Sur la droite BC, on trace le point D de l'autre côté de B par rapport à C tel que l'angle ADB est égal à 40°.On porte sur le côté AC entre A et C le point E tel que l'angle ABE est égal à 10°. A l'intérieur du segment BE, on trace le point F tel que l'angle ACF est égal à 20°. Sur la droite AF on porte le point G du même côté que F par rapport à BC tel que CG = CD. Enfin à l'intérieur du segment BC, on trace le point H tel que EH + HB = EC + CH. Trouver les trois angles que font respectivement les droites AF, CG et EH avec la droite BC.
Nota : une solution purement géométrique est évidemment la bienvenue.
Solution trigonométrique proposée par Patrick Gordon 1. angle de la droite AF avec la droite BC
On appellera I le point où AF coupe BC et l'on notera θ l'angle AIB. La méthode consistera à exprimer le rapport FI/AI de deux manières :
־ dans les triangles FCI et ACI
־ dans les triangles FBI et ABI et à égaliser les deux expressions obtenues.
Dans les triangles FCI et ACI, on peut calculer les rapports FI/AI et AI/CI (par la "loi des sinus"), et en déduire une première expression du rapport FI/AI :
FI/AI = sin 40 sin (θ-60) / sin 60 sin (θ-40).
On calcule ensuite ces mêmes rapports FI/AI et AI/CI dans les triangles FBI et ABI et on en déduit une seconde expression du rapport FI/AI :
FI/AI = sin 70 sin (θ+80) / sin 80 sin (θ+70).
Reste à écrire que ces deux expressions sont égales pour en déduire θ. On tâtonne un peu car, si la figure est tracée adroitement, on a certes l'intuition que la solution est θ = 90° mais on ne peut en être sûr. Et puis on découvre que θ = 90° est bien solution car (ô miracle!) :
sin 20 sin 30 sin 40 sin 80 = sin 10 sin 50 sin 60 sin 70
Dès lors que l'on a trouvé ce résultat, on peut le vérifier d'une manière plus simple. Si AF est vraiment perpendiculaire à BC, alors dans les triangles BFC et BAC, le rapport IB/IC vaut respectivement : cot 70 / cot 40 et cot 80 / cot 60.
Mais a-t-on vraiment : tan 80 / tan 70 = tan 60 / tan 40? Pour une raison mystérieuse, la réponse (fournie par un tableur) est oui.
La réponse à la première question est donc : AF est perpendiculaire à BC.
Ce résultat simplifie la suite des calculs.
2. angle de la droite CG avec la droite BC
Dès lors que l'on sait que AF est perpendiculaire à BC, on peut utiliser une méthode plus simple qu'à la question 1.
L'angle GCB a pour cosinus IC / CG. Mais, d'une part CG = CD par construction et, d'autre part IC = AC / 2 car le triangle ICA est un demi-équilatéral.
Ainsi, cos GCB = ½ AC / CD.
Mais, dans le triangle ACD, les angles sont connus : l'angle en D vaut 40° par construction et l'angle en A vaut 20° par complémentation à BCA, qui vaut 60° par construction. La "loi des sinus" nous donne donc :
cos GCB = ½ AC / CD = ½ sin 40 / sin 20 = cos 20.
La réponse à la seconde question est donc : CG fait avec BC un angle de 20°.
3. angle de la droite EH avec la droite BC
Il nous faut exprimer la longueur des segments EH, HB, EC, CH. Nous prendrons comme unité de longueur BC = 1 et noterons cette fois φ l'angle EHB.
Dans le triangle HEB, on peut calculer HB par la "loi des sinus", à savoir : HB = BE sin HEB / sin φ.
Mais BE peut être calculé dans le triangle BEC : BE = sin 60 / sin 50.
Or, avec nos notations, l'angle HEB s'écrit : 180 – 70 – φ = 110 – φ.
D'où une expression de HB, dont on déduira le moment venu celle de CH = 1 – HB (nous soulignons les segments au fur et à mesure de leur détermination.) :
HB = sin 60 sin (110 – φ) / sin 50 sin φ.
Quant à EH, il se calcule dans le triangle EBH par : EH / sin 70 = BE / sin φ.
Mais BE est connu par le triangle BEC. Il vaut : sin 60 / sin 50. D'où : EH = sin 60 sin 70 / sin 50 sin φ
Enfin EC se calcule aisément dans le triangle BEC : EC = sin 70 / sin 50.
Tous calculs faits, on arrive à l'équation en φ :
sin 60 [sin 70 + 2 sin(110 – φ)] = (sin 70 + sin 50) sin φ.
On trouve, là encore par itérations au moyen d'un tableur : φ = 80° Les miracles reviennent!
La réponse à la troisième question est donc : EH fait avec BC un angle de 80°.
Conclusion : la trigonométrie réserve bien des surprises. Et la géométrie dans tout cela?
Hmmm!
